1、3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)必备知识自主学习 导思(1)如何用tan 和tan 表示tan(+)和 tan(-)?(2)两角和与差的正切公式中,、是任意角吗?两角和与差的正切公式【思考】由同角三角函数的商数关系知tan(+)=由此能否推导出两 角和的正切公式?提示:能.tan(+)=分子分母同除以cos cos 可 得tan(+)=sincos （），（）sinsin coscos sincoscos cossin sin （），（）tantan.1tan tan【基础小测】1.辨析记忆(对的打“”,错的打“”)(1)存在,R,使tan(+)=tan +tan 成立.()
2、(2)对任意,R,tan(+)=都成立.()(3)tan(+)=等价于tan +tan =tan(+)(1-tan tan ).()tantan1tan tan tantan1tan tan 2.(教材二次开发:例题改编)为()A.1 B.-1 C.D.-【解析】选C.原式=tan(45-15)=tan 30=.1tan 151tan 153333tan 45tan 151tan 45 tan 15333.tan 105的值为_.【解析】tan 105=tan(60+45)=-2-答案:-2-tan 60tan 451tan 60 tan 4531133.3关键能力合作学习 类型一 正切公式的
3、基本运算(数学运算、直观想象)【题组训练】1.(2018全国卷)已知tan 则tan =_.2.计算 =_.3.求值:(1)tan (2)5145（），1tan 153tan 60 tan 1511.121tan 75.1tan 75【解题策略】公式T(+),T(-)应用的解题策略(1)将公式T(+),T(-)中的tan tan ,tan +tan (或tan -tan ),tan(+)(或tan(-)分别看作整体.三者知二可求出第三个.(2)化简过程中注意“1”与“tan ”,“”与“tan ”等特殊数与特 殊角的函数值之间的转化.433【补偿训练】1.已知tan(+)=3,tan =,那么
4、tan =_.【解析】因为tan=,tan(+)=3,所以tan=.答案:tantan1tan tan431313432.=_.【解析】=tan(60-15)=tan 45=1.答案:1 3tan 1513tan 153tan 1513tan 15tan 60tan 151tan 60 tan 15类型二 条件求值问题(直观想象、数学运算)角度1 式子的变换问题 【典例】设tan ,tan 是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两个实根,则 的值为()1tan（）bcbccaacA.B.C.D.aabb【思路导引】利用一元二次方程的根与系数关系及两角和的正切公式求解.【解析】选C.由根与
5、系数的关系,得:tan +tan =tan tan =所以 ba，ca，c111tan tancaa.btantantanba （）【变式探究】已知tan 、tan 是方程x2+5x-12=0的两根,则tan(+)=()【解析】选D.由已知,tan+tan=-5,tan tan=-12.所以tan(+)=1155A.B.C.D.221313tantan55.1tan tan1(12)13 角度2 角的变换问题 【典例】已知 ,cos(-)=,sin(+)=-,求tan 2 与 tan 2 的值.【思路导引】用-,+表示2、2,进而求值.234121335【解析】因为 ,所以0-,+.所以 所以
6、cos 2=cos(+)+(-)=cos(+)cos(-)-sin(+)sin(-)23443222125sin()1cos1)1313（）(，2234cos()1sin1).55 （）(4123533)51351365(，sin 2=sin(-)+(+)=sin(-)cos(+)+cos(-)sin(+)所以tan 2=同理可得:cos 2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)5412356).13513565(sin 256.cos 233 4123563).51351365(sin 2=sin(+)-(-)=sin(+)cos(-)-cos(+)sin
7、(-)所以tan 2=.3124516)51351365(，1663【解题策略】给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换:分析已知式子的结构特点,结合两角和与差的三角函数公式,通过变形,建立与待求式间的联系以实现求值.(2)角的变换:首先从已知角间的关系入手,分析已知角与待求角间的关系,如用=-(-)、2=(+)+(-)等关系,把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系,从而求值.【题组训练】1.若sin =tan(+)=1,且 是第二象限角,则tan 的值为()【解析】选C.由sin =且 是第二象限角,可得cos =则 tan =所以tan =tan(+)-=35，441A.B.C.
8、7 D.33735，45，34，31tantan47.31tantan14 （）（）（）（）2.已知tan(+)=tan 那么tan 等于()【解析】选C.2,51,44（）4（）131333A.B.C.D.18222218tantan()()44 （）21354.21221543.已知 =3,tan(-)=2,则tan(-2)=_.【解析】由条件知 则tan=2,因为tan(-)=2,所以tan(-)=-2.故tan(-2)=tan(-)-答案:sincossincos sincostan13sincostan1 ，tan()tan224.1tan()tan1(2)23 43【拓展延伸】两角
9、和的正切公式的变形(1)tan +tan =tan(+)(1-tan tan ).(2)1-tan tan =(3)tan +tan +tan tan tan(+)=tan(+).(4)tan tan =1-tantan.tan()tantan.tan()【拓展训练】计算tan 72-tan 42-tan 72tan 42=_.【解析】原式=tan(72-42)(1+tan 72tan 42)-tan 72tan 42=tan 30(1+tan 72 tan 42)-tan 30tan 72tan 42=tan 30=.答案:33333333【补偿训练】计算:(1)tan +tan +tan
10、tan .(2)(1+tan 21)(1+tan 22)(1+tan 23)(1+tan 24).9293929类型三 给值求角问题(数学运算、逻辑推理)【题组训练】1.已知tan =2,tan =-,其中0 ,.则+的值为 _.2.在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角,它们的终边分别与 单位圆交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为 (1)求tan(+)的值.(2)求+2 的值.2 2 5.105，1322【思路导引】1.直接求tan(+),再求+.2.先计算tan ,tan ,再求tan(+),然后用+,表示+2.【解析】1.因为tan(+)=1,又因为0 ,所以 +,只有
11、的正切值等于1.所以+=.答案:12tantan321tan tan13232225454542.由条件得cos=cos=因为,为锐角,所以sin=sin=所以tan=7,tan=.(1)tan(+)=(2)因为tan(+2)=tan(+)+=-1,又因为,为锐角,所以0+20,tan=-0,则-结合 则有2-(-2,-),所以2-=11tantan321.111tan tan132 （）（）1317(2，)，(0)2，12(2，)，(2，)，7.41.(2020威海高一检测)若tan =5,则tan 的值为()【解析】选C.tan =5,即 =5,解得tan =.课堂检测素养达标()4332
12、2A.B.C.D.2233()41tan1tan232.已知,都是锐角,tan =,tan =,则+的值为()【解析】选C.tan(+)=1,又因为,都是锐角,所以+(0,),所以+=.1213A.B.C.D.234611tantan23111tantan123 43.(2020鹤壁高一检测)计算:tan 73-tan 193-tan 73tan 13=_.【解析】原式=tan 73-tan 13-tan 73tan 13=tan(73-13)(1+tan 73tan 13)-tan 73tan 13=.答案:333334.(教材二次开发:练习改编)已知tan tan 则tan =_.【解析】tan =答案:1(22)，1(23)，22tan(22)()11tan(tan12322.1171tan(tan12223)()()175.已知tan +tan =2,tan(+)=4,则tan2+tan2 的值为_.【解析】因为tan(+)=4,所以 =4,又tan+tan=2,所以tan tan=,所以tan2+tan2=(tan+tan)2-2tan tan=22-2 =3.答案:3 tantan1tan tan 1212