1、第3讲复合函数的导数 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测201920182017复合函数导数的综合运用复合函数导数问题近年江苏高考都没有涉及作为附加题的一个考点，仍是命题的一个素材，要关注其与二项式定理综合在一起出题1求复合函数的导数的关键是要分清函数的复合关系，也就是明确复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量2求复合函数的导数时，分步求导中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数，如(cos 2x)2sin 2x，而(cos 2x)sin 2x3根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求
2、ysin的导数，设ysin u，u2x，则yxyuuxcos u22cos4若yf(u)，ug(v)，v(x)，则yxyuuvvx复合函数导数的综合运用 设b0，函数f(x)(ax1)2xln bx，记F(x)f(x)(f(x)是函数f(x)的导函数)，且当x1时，F(x)取得极小值2(1)求函数F(x)的单调增区间；(2)求证：|F(x)n|F(xn)|2n2(nN*)【解】(1)由题意知F(x)f(x)2(ax1)a，x0，b0于是F(x)若a0，则F(x)0，与F(x)有极小值矛盾，所以a0令F(x)0，又x0，所以当且仅当x时，F(x)取得极小值所以解得ab1故F(x)x(x0)由F(
3、x)0得x1，所以F(x)的单调增区间为(1，)(2)证明：因为x0，所以记g(x)|F(x)n|F(xn)|F(x)nF(xn)Cxn1Cxn2Cxn3Cx因为CxnrCxr2C(r1，2，n1)，所以2g(x)2(CCCC)2(2n2)，故|F(x)n|F(xn)|2n2(nN*)复合函数导数的综合运用与一般函数的导数的综合运用的方法和思想一样，就是试题一般与二项式定理和数学归纳法相结合，这在后面第4讲和第5讲会讲到，希望同学们对照学习对点训练已知函数f(x)ln(ax1)，x0，其中a0(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围解 (1)f(
4、x)因为f(x)在x1处取得极值，故f(1)0，解得a1 (经检验符合已知)(2)f(x)，因为x0，a0，故ax10，1x0当a2时，在区间0，)上f(x)0，f(x)不恒为0，f(x)递增，f(x)的最小值为f(0)1当0a0，解得x；由f(x)0，解得x 所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为于是，f(x)在x 处取得最小值ff(0)1，不符合题意综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是2，)1设函数f(x)xln x(1x)ln(1x)(0x1)，求f(x)的最小值解 f(x)(xln x)(1x)ln(1x)ln xln(1x)于是f0当x时，f(x)ln xln(1x)
5、时，f(x)ln xln(1x)0，f(x)在区间是增函数所以f(x)在x时取得最小值，fln 22已知：m，n是正整数，且1m(1n)m证明 因为1m1，(1n)m1若(1m)n(1n)m成立，则两边取以e为底的对数，所得不等式nln(1m)mln(1n)成立，即成立设F(x)(x2)，显然前面的不等式是函数F(x)在x2，)区间取两个整数m，n的函数值的不等关系因为mn，所以只须证明F(x)在2，)上是减函数即可对F(x)关于x求导，F(x)(x2)再考察F(x)表达式的分子，令f(x)ln(1x)(x2)，对f(x)关于x求导，f(x)0(x2)，所以f(x)在2，)上是减函数，且f(2
6、)ln 30，所以f(x)0(x2)，F(x)0(x2)，故F(x)在2，)上是单调减函数所以当2m，所以nln(1m)mln(1n)，即(1m)n(1n)m3已知f(x)axln(x)，xe，0)，其中e是自然对数的底数，aR (1)当a1时， 求f(x)的单调性、极值；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由解 (1)因为 f(x)xln(x)，f(x)1，当ex1时，f(x)0，当1x0，所以f(x)在(e，1)上单调递减，在(1，0)上单调递增所以f(x)的极小值为f(1)1(2)假设存在实数a，使f(x)axln(x)有最小值3，f(x)a，当a时，由于xe，0)，则f(x)a0, 函数f(x)axln(x)在e，0)上为增函数，所以f(x)minf(e)ae13 解得a (舍去)当a时，列表如下：xf(x)0f(x)减极小值增所以f(x)minf1ln3 解得ae2所以ae24已知函数f(x)2nx在0，)上的最小值是an(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)证明：解 (1)由f(x)2nx，求导得f(x)1，令f(x)0, 即10，由此解得x当x时，f(x)0所以f(x)在0，)上的x处取得最小值，即f(x)minfan，即an(2)证明：因为，所以
