1、第2讲函数的概念、图象与性质 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171函数及其表示第4题江苏高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，通过数形结合的思想解决问题对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，常以填空题的形式考查，难度较大分段函数往往是试题的载体2函数的图象3函数的性质第14题第9题4分段函数第14题第14题1必记的概念与定理(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表
2、示的是一个函数(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质若函数满足f(xT)f(x)(T0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(nZ且n0)也是函数的周期2记住几个常用的公式与结论图象变换规则(1)水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由yf(
3、x)的图象向左()或向右()平移a个单位而得到(2)竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由yf(x)的图象向上()或向下()平移b个单位而得到(3)yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称(4)yf(x)与yf(x)的图象关于x轴对称(5)yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称(6)要得到y|f(x)|的图象，可将yf(x)的图象在x轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变(7)要得到yf(|x|)的图象，可将yf(x)，x0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y轴的对称性，作出x0时的图象(8)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0(9)奇函数的图象关于原点对称，偶
4、函数的图象关于y轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反3需要关注的易错易混点(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能
5、用“或”联结(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件函数及其表示典型例题 (1)(2019高考江苏卷)函数y的定义域是_(2)函数f(x)的值域为_【解析】(1)要使函数有意义，则76xx20，解得1x7，则函数的定义域是1，7(2)当x0时，函数f(x)2x单调递增，此时函数f(x)的值域为(0，1；当x0时，函数f(x)x21单调递减，此时函数f(x)的值域为(，1)故函数f(x)的值域为(，1【答案】(1)1，7(2)(，1函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念求给定函数的定义域往往转化为解不
6、等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴对点训练1(2018高考江苏卷)函数f(x)的定义域为_解析 要使函数f(x)有意义，则log2x10，即x2，则函数f(x)的定义域是2，)答案 2，)2(2019南京四校第一学期联考)函数f(x)的定义域为_解析 要使f(x)有意义，必须，所以，所以函数f(x)的定义域为3，)答案 3，)函数的图象及应用典型例题 (1)函数f(x)的图象大致为_(2)(2019镇江市高三调研考试)已知函数y与函数y的图象共有k(kN*)个公共点：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，Ak(xk，yk)，则(xiyi)_【解析】(1)由f(x)，可得f
7、(x)，则当x(，0)和x(0，1)时，f(x)0，f(x)单调递增又当x0时，f(x)，得1x0，则x的取值范围是_解析 因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称又f(2)0，且f(x)在0，)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x1)0，得2x12，即1x3答案 (1，3)分段函数典型例题 (2018高考江苏卷)函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2，2上，f(x)则f(f(15)的值为_【解析】因为函数f(x)满足f(x4)f(x)(xR)，所以函数f(x)的最小正周期是4因为在区间(2，2上，f(x)所以f(f(15)f(f(1)fcos【答案】求分段函数
8、的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围对点训练5 (2019江苏省高考名校联考(三)已知函数f(x)当x时，恒有f(xa)f(x)，则实数a的取值范围是_解析 显然a0，故考虑a0和a0两种情形当a0时，画图知，函数f(x)在R上单调递增，故f(xa)f(x)，不符合题意；当a0时，此时f(x)的图象如图所示，由于不等式f(xa)f(x)中两个函数值对应的自变量相差为a，因此用弦长为a的线段“削峰填谷”，可得，即，即
9、2a2a20，解得a0答案 6设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1，1)上，f(x)其中aR若ff，则f(5a)的值是_解析 由题意可得ffa，ff，则a，a，故f(5a)f(3)f(1)1答案 1已知函数f(x)若ff(0)4a，则实数a_解析 由题意知，f(0)2012，则ff(0)f(2)42a，即42a4a，所以a2答案 22(2019江苏省六市高三调研)函数f(x)的定义域是_解析 由题意得解得2x2，所以所求函数的定义域为2，2答案 2，23已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab 的值是_解析 因为f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，所
10、以a12a0，所以a又f(x)f(x)，所以b0，所以ab答案 4若f(x)对于任意实数x恒有2f(x)f(x)3x1，则f(x)_解析 由题意知2f(x)f(x)3x1将中x换为x，则有2f(x)f(x)3x12得3f(x)3x3，即f(x)x1答案 x15(2019江苏省高考名校联考信息(八)已知aR，函数f(x)a的图象经过点A，则关于x的不等式f(x2x)f(x8)0的解集为_解析 因为函数f(x)a的图象经过点A(，)，所以f()a，解得a1，所以f(x)1，易知函数f(x)是R上的增函数又f(x)f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，所以关于x的不等式f(x2x)f(x8)0可转化
11、为f(x2x)f(8x)，所以x2x8x，即x22x80，解得4x2答案 4x26(2019江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在0，)上的函数f(x)满足f(x)f(x2)，且当x0，2)时，f(x)x21，则log2 f(8)_解析 由题意得f(x2)2f(x)，所以f(8)2f(6)4f(4)8f(2)16f(0)16，所以log2f(8)log2164答案 47定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于_解析 由已知得当2x1时，f(x)x2，当10，a1)(1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值；(2)若f(x)的
12、图象如图(2)所示，求a、b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|m有且仅有一个实数解，求出m的范围解 (1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，2)，所以a2b0，a0b2，解得a，b3(2)由题图(2)知，f(x)单调递减，所以0a1，又f(0)0，即a0b0，所以b1(3)画出y|f(x)|的草图，如图所示，知当m0或m3时，|f(x)|m有且仅有一个实数解13已知函数f(x)exex(xR且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解 (1)因为f(x)
13、exex，且yex是增函数，yex是增函数，所以f(x)是增函数由于f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，所以f(x)是奇函数(2)由(1)知f(x)是增函数且是奇函数，所以f(xt)f(x2t2)0对一切xR恒成立，f(x2t2)f(tx)对一切xR恒成立，x2t2tx对一切xR恒成立，t2tx2x对一切xR恒成立，t2t(x2x)min对一切xR恒成立，即t2t，(2t1)20，所以t即存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切xR都成立14(2019扬州模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)(1)求f(2 016)的值；(2)求证：函数f(x)的
14、图象关于直线x2对称；(3)若f(x)在区间0，2上是增函数，试比较f(25)，f(11)，f(80)的大小解 (1)因为f(x4)f(x)，所以f(x)f(x4)f(x4)4f(x8)，知函数f(x)的周期为T8所以f(2 016)f(2528)f(0)又f(x)为定义在R上的奇函数所以f(0)0，故f(2 016)0(2)证明：因为f(x)f(x4)，所以f(x2)f(x2)4f(x2)f(2x)，即f(2x)f(2x)成立故函数f(x)的图象关于直线x2对称(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(25)f(3)81f(1)，f(11)f(83)f(3)f(1)f(1)，f(80)f(1080)f(0)又f(x)在0，2上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在2，2上为增函数，则有f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)
