1、第六节对数函数1对数的概念如果axN(a0，且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN2对数的性质与运算法则(1)对数的性质loga10；logaa1(2)对数恒等式alogaNN(其中a0，且a1).(3)对数的换底公式logbN(a，b均大于零且不等于1，N0).(4)对数的运算法则如果a0且a1，M0，N0，那么loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlogaM(nR).3对数函数的定义、图象与性质定义函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数图象a10a1性质定义域：(0，)值域：(，) -当x1时，y0，即过定点(1，0)当0x
2、1时，y0；当x1时，y0当0x1时，y0；当x1时，y0在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数4反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称1换底公式的三个重要结论(1)logab；(2)logambnlogab；(3)logablogbclogcdlogad.2对数函数的图象与底数大小的比较如图所示，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大1(基本能力：对数运算)lg 2lg 5()A10 B1Clg 7 Dlg 2 lg 5答案
3、：B2(基本方法：作对数函数的图象)yln |x|的图象为()答案：B3(基本应用：比较大小)alog23.4，blog82，clog0.32.7，由大到小的排列顺序为_答案：Abc4(基础知识：定义域)函数ylg (x1)lg (x1)的定义域为_答案：(1，)5(基本能力：求单调区间)函数y2ln (x1)的递增区间为_答案：(1，)题型一对数式的化简与求值 1计算的值为_解析：4.答案：42已知lg xlg y2lg (2x3y)，则log_解析：因为lg xlg y2lg (2x3y)，所以解得或1(舍).所以loglog2.答案：23设2a5bm，且2，则m_解析：alog2m，bl
4、og5m.logm2logm5logm10，logm102，m210，m.答案：方法总结 1不同底的对数运算，利用换底公式化为同底，再结合对数运算性质求解此题的普遍规律：logablogbclogcdlogad.2对数的运算方法，主要有两种方法：一是对数式转化为指数式；二是利用对数运算法则，进行变形：(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并，正确使用幂的运算法则(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算，正确使用对数的运算法则(3)注意指数式与对数式的
5、相互转化关系 题型二对数函数的图象及应用 典例剖析类型 1图象的辨认例1(2020山东潍坊模拟)若函数f(x)axax(a0且a1)在R上为减函数，则函数yloga(|x|1)的图象可以是()解析：由f(x)在R上是减函数，知0a1.又yloga(|x|1)是偶函数，定义域是(，1)(1，)，当x1时，yloga(x1)的图象由ylogax向右平移一个单位得到因此选项D正确答案：D方法总结对数函数与绝对值相联系的函数的图象常见有：(1)y|logax|(a1)的图象如图.(2)yloga|x|(a1)的图象如图.(3)y|loga|x|(a1)的图象如图.辨认时可通过特殊点、单调性、奇偶性等性
6、质进行类型 2图象的应用例2(一题多解)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A BC(1，) D(，2)解析：法一：构造函数f(x)4x和g(x)logax，要使0x时，4xloga x，只需f(x)在上的图象在g(x)的图象下方即可当a1时不满足条件；当0a1时，画出两个函数在上的图象，可知只需fg，即2loga，则a，所以a的取值范围为.法二：因为0x，所以14x2，所以logax4x1，所以0a1，排除选项CD；取a，x，则42，log1，显然4xlogax不成立，排除选项A.答案：B方法总结应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数
7、，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解求参数时往往使其中一个函数图象“动起来”，找变化的边界位置，得参数范围(3)与绝对值相联系的函数图象题组突破1(2021湖南张家界模拟)在同一直角坐标系中，函数f(x)2ax，g(x)loga(x2)(a0，且a1)的图象大致为()解析：由题意，知函数f(x)2ax(a0，且a1)为单调递减函数，当0a1时，函数f(x)2ax的零点x2，且函数g(x)loga(x2)在(2，)上为单调递减函数，选项CD均不满足；当a1时，函数f(x)2ax的零点x
8、2，且x0，又g(x)loga(x2)在(2，)上是增函数，排除选项B，综上只有选项A满足答案：A2若不等式x2logax0对x恒成立，求实数a的取值范围解析：显然0a1，当yloga x过点时，即loga，a，如图所示，显然满足x2logax0，令ylogax绕(1，0)顺时针转动时，满足x2logax0，a1.题型三对数函数的性质及其应用 典例剖析类型 1比较大小例1(1)(2021河南洛阳联考)设alog36，blog510，clog714，则()Acba BbcaCacb Dabc解析：因为alog36log33log321log32，blog510log55log521log52，c
9、log714log77log721log72，因为log32log52log72，所以abc.答案：D(2)(2020江西吉安模拟)如果logxlogy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx解析：因为ylogx在(0，)上为减函数，所以xy1.答案：D方法总结比较对数式大小的类型及相应的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较(3)若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较类型 2与对数有关的不等式例2(1)解不等式2loga(x4)loga(x
10、2).解析：当a1时，原不等式等价于解得x6.当0a1时，原不等式等价于解得4x6，所以当a1时，不等式的解集为(6，)；当0a1时，不等式的解集为(4，6).(2)已知当0x时，不等式logax2恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2) B(1，)C D(0，)解析：当0x时，不等式logax2恒成立，所以logax0.又0x，所以a1，因此yloga x是增函数，故xa2恒成立，所以a2，得1a.答案：B方法总结解对数不等式的类型及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论(2)形如logaxb的不等式，需先
11、将b化为以a为底的对数式的形式类型 3对数性质的综合应用例3(1)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，且a1).若f(x)1在区间1，2上恒成立，则实数a的取值范围为_解析：当a1时，f(x)loga(8ax)在1，2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(82a)1，解得1a.若0a1时，f(x)在x1，2上是增函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(8a)1，08aa，4a8，无解综上，a的取值范围为.答案：(2)已知函数f(x)log4(ax22x3).若f(1)1，求f(x)的单调区间；是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不
12、存在，请说明理由解析：因为f(1)1，所以log4(a5)1，因此a54，a1，这时f(x)log4(x22x3).由x22x30，得1x3，函数f(x)的定义域为(1，3).令g(x)x22x3，则g(x)在(1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减又ylog4x在(0，)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(1，1)，单调递减区间是(1，3).假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)ax22x3应有最小值1，因此应有解得a.故存在实数a，使f(x)的最小值为0.方法总结1(1)形如函数ylogaf(x)求定义域，要在a0，a1的前提下，使f(x)0；(2)判断ylogaf(x
13、)型的奇偶性要结合对数的运算：logaf(x)logaf(x)及logaf(x)logaf(x)，其单调性利用复合函数ylogan，nf(x)的单调性的法则2求形如ylogaf(x)的单调区间，首先求定义域：f(x)0，同时结合复合函数“同增异减”的法则题组突破1(2021四川雅安模拟)已知奇函数f(x)在R上是增函数，若af，bf(log2 4.1)，cf，则a，b，c的大小关系为()Aabc BbacCcba Dcab解析：依题意aff(log25)且log25log24.120.8，结合函数的单调性有f(log25)f(log24.1)f(20.8)，即abc.答案：C2设函数f(x)若
14、f(a)f(a)，则实数a的取值范围是()A(1，0)(0，1) B(，1)(1，)C(1，0)(1，) D(，1)(0，1)解析：由题意可得或解得a1或1a0.答案：C3(2020江西九江七校联考)若函数f(x)log2(x2ax3a)在区间(，2上是减函数，则实数a的取值范围是()A(，4) B(4，4C(，4)2，) D4，4)解析：由题意得x2ax3a0在区间(，2上恒成立且函数yx2ax3a在(，2上递减，则2且(2)2(2)a3a0，解得实数a的取值范围是4，4).答案：D4(母题变式)将例2(1)改为：若2loga(a4)loga(a2)，求a的取值范围解析：原不等式等价为或得a
15、6或，故a的取值范围是(6，).1(2018高考全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln (1x) Byln (2x)Cyln (1x) Dyln (2x)解析：函数y(x)的图象与函数y(ax)的图象关于直线x对称，令a2可得与函数yln x的图象关于直线x1对称的是函数yln (2x)的图象答案：B2(2019高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数 y，yloga(a0，且a1)的图象可能是()解析：当0a1时，函数yax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增，于是函数y的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数yloga的图象过定点，在上单调递增显
16、然选项ABC都不符合答案：D3(2019高考天津卷)已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a，b，c的大小关系为()Aacb BabcCbca Dcab解析：alog52log5，而c0.50.20.51，故ac；blog0.50.2log0.50.252，而c0.50.20.501，故cb.所以acb.答案：A4(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)eax.若f(ln 2)8，则a_解析：设x0，则x0.当x0时，f(x)eax，f(x)eax.f(x)是奇函数，f(x)f(x)eax，f(ln 2)ea ln 2(eln 2)a2a.又f(ln 2)8，2a8，a3.答案：3设平行于y轴的直线分别与函数y1log2x及函数y2log2x2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2log2x2的图象上，如图，若ABC为正三角形，则m2n_解析：由题意知，nlog2m2，所以m2n2.又BCy2y12，且ABC为正三角形，所以可知B(m，n1)在y1log2x的图象上，所以n1log2(m)，即m2n1，所以2n4，所以m，所以m2n412.答案：12
