1、专题四带电粒子在磁场、组合场和复合场中的运动课题任务带电粒子在有界磁场中的运动1带电粒子在几种常见的不同边界磁场中的运动规律(1)直线边界磁场：如图所示，粒子进出磁场具有对称性，且粒子以多大的锐角射入磁场，就以多大的锐角射出磁场；粒子进入磁场时的速度v垂直于边界时，出射点距离入射点最远，且dmax2R，如图甲所示；同一出射点，可能对应粒子的两个入射方向，且一个“优弧”，一个“劣弧”，如图乙、丙所示。(2)平行边界磁场：常见的临界情景和几何关系如图所示。(3)矩形边界磁场：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。(4)三角形边界磁场：如图所示是正ABC区域内某正粒子垂直AB方向进入磁场的
2、粒子临界轨迹示意图。已知边长为2a，D点距A点a，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。(5)圆形边界磁场带电粒子在圆形边界磁场区域运动的几个特点：若粒子沿着边界圆的某一半径方向进入磁场，则粒子离开磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心(即沿着另一半径方向射出)，如图甲所示。若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为，如图乙所示。2解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法解决此类问题时，找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小，以及与半径相关的几何关系是解题的关键。解决此类问题时应注意下列结论：(1)刚好穿出或刚好不能
3、穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。(3)当比荷相同、速率v变化时，在匀强磁场中运动的带电粒子圆心角越大，运动时间越长。例1(多选)长为L的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B，板间的距离为L，板不带电，一质量为m、电荷量为q带正电的粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直于磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的方法是()A使粒子的速度v0的空间中存在匀强电场，场强沿y轴负方向；在y0的空间中存在匀强磁场，磁场方向垂直xy平面(纸面)
4、向外。一电荷量为q、质量为m的带正电的运动粒子，经过y轴上yh处的点P1时速率为v0，方向沿x轴正方向；然后经过x轴上x2h处的P2点进入磁场，并经过y轴上y2h处的P3点。不计重力。求：(1)粒子到达P2时速度的大小和方向；(2)磁感应强度的大小。规范解答(1)先作出粒子运动的示意图如图，粒子在电场中做类平抛运动，将出电场(进磁场)的速度线进行反向延长，由平抛运动的推论可知：末速度的反向延长线交于水平位移的中点处，由此可见粒子到达P2时的速度(进入磁场的初速度)与x轴的夹角为45。由运动的合成与分解可知水平速度和竖直速度相等，合速度vv0。(2)设磁场的磁感应强度为B，在洛伦兹力作用下粒子做
5、匀速圆周运动，此圆周与x轴和y轴的交点分别为P2、P3。因OP2OP32h，OP2P345，由几何关系可知，P2、P3连线为圆轨道的直径，由此可求得rh。再由牛顿第二定律qvBm，可得B。完美答案(1)速度方向与x轴的夹角为45斜向下，大小为v0(2)B (1)基本思路：明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律，然后找出两种场分界线上两种运动的联系，利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理，特别注意场的交界处的联系物理量，一般是速度。(2)关键点：画出轨迹示意图。(3)具体解决方案如图所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB、CD的距离为d，在边界AB左侧是竖直向下、场
6、强为E的匀强电场。现有质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45角射入磁场。若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且碰不到正极板。(1)请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；(2)求匀强磁场的磁感应强度B的大小；(3)求金属板间的电压U的最小值。答案(1)轨迹图见解析v0(2)(3)解析(1)轨迹如图所示，由此可知vv0。(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设其轨道半径为R，由几何关系可知Rd，又因为qvBm，解得B。(3)粒子进入板间电场至速度减为零且恰不与
7、正极板相碰时，板间电压U最小，由动能定理有qU0mv2，解得U。课题任务带电粒子在复合场中的运动1复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。2带电粒子在复合场中的常见运动带电粒子在复合场中运动时，其运动状态是由粒子所受静电力、洛伦兹力和重力的共同作用来决定的，对于有轨道约束的运动，还要考虑弹力、摩擦力对运动的影响。带电粒子在复合场中的常见运动情况如下：静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动较复杂的曲线运动当带电粒
8、子所受合力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线例4如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，y轴竖直向上。第、象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场(图中未画出)。一带电微粒以速度v从x轴上的A点经过，恰好从P点垂直于y轴进入第象限，然后做圆周运动，从Q点垂直于x轴进入第象限，Q点距O点的距离为d，重力加速度为g。根据以上信息，下列说法正确的是()A圆周运动的速度是vB可以求出微粒在第象限运动的时间C可以求出磁感应强度大小D可以求出电场强度的大小和方向规范解答在第象限如果只
9、有电场和磁场微粒不可能做圆周运动，故微粒还受重力。在第象限同时存在重力场和磁场，洛伦兹力不做功，由A到P点过程由动能定理知：mgdmvmv2，由此可求出微粒做圆周运动的速度vP，A错误；微粒在第象限运动的时间tT，B正确；在第象限，微粒做圆周运动，则有mgqE，由于m、q未知，不能求出电场强度的大小，由d知，不能求出磁感应强度大小，C、D错误。完美答案B1此类问题的一般分析方法2注意一些必然规律，比如这里三种场叠加在一起物体做圆周运动，其结论必然是重力和电场力平衡，这是解决此题的关键。如图所示，在xOy坐标系第象限，磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为B1.0 T；电场方向水平向右，电
10、场强度大小为E N/C。一个质量m2.0107 kg、电荷量q2.0106 C的带正电粒子从x轴上P点以速度v0射入第象限，恰好在xOy平面中做匀速直线运动。0.10 s后改变电场强度大小和方向，带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，取g10 m/s2。求：(1)带电粒子在xOy平面内做匀速直线运动的速度v0的大小和方向；(2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时电场强度的大小和方向；(3)若粒子做匀速圆周运动时未离开第象限，x轴上入射点P应满足什么条件？答案(1)2 m/s方向斜向上与x轴夹角为60(2)1.0 N/C方向竖直向上(3)P点离O点的距离至少为0.27 m解析(1)如图，粒子
11、在复合场中做匀速直线运动，设速度v0与x轴夹角为，依题意得，粒子合力为零。重力mg2.0106 N，电场力F电Eq2106 N，洛伦兹力f4.0106 N，由fqv0B得v02 m/s，tan，60，速度v0大小为2 m/s，方向斜向上与x轴夹角为60。(2)带电粒子在xOy平面内做匀速圆周运动时，电场力必须与重力平衡，洛伦兹力提供向心力。故电场强度E1.0 N/C，方向竖直向上。(3)如图，带电粒子做匀速圆周运动恰好未离开第象限，圆弧左边与y轴相切于N点；粒子在PQ段做匀速直线运动，PQv0t0.2 m，洛伦兹力提供向心力，qv0Bm，整理并代入数据得R0.2 m。由几何知识得OPRRsin
12、60PQcos600.27 m，x轴上入射点P离O点距离至少为0.27 m。1(多选)如图所示，长均为d的两正对平行金属板MN、PQ水平放置，板间距离为2d，板间有正交的匀强电场和匀强磁场，一带电粒子从MP的中点O垂直于电场和磁场方向以v0射入，恰沿直线从NQ的中点A射出；若撤去电场，则粒子从M点射出(粒子重力不计)。以下说法正确的是()A该粒子带正电B该粒子带正电、负电均可C若撤去磁场，则粒子射出时的速度大小为2v0D若撤去磁场，则粒子射出时的速度大小为v0答案AD解析若撤去电场，则粒子从M点射出，根据左手定则知粒子应带正电荷，故A正确，B错误。设粒子的质量为m，电荷量为q，则粒子沿直线通过
13、场区时：Bqv0Eq；撤去电场后，在洛伦兹力的作用下，粒子做圆周运动，由几何知识知r，洛伦兹力提供向心力：qv0B；撤去磁场，粒子做类平抛运动，设粒子的加速度为a，穿越电场所用时间为t，则有Eqma，yat2，dv0t，联立解得yd；设末速度为v，由动能定理知mv2mvEqyqEd，解得vv0，知C错误，D正确。2(2017全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周
14、上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2v1为()A.2 B.1 C.1 D3答案C解析相同的带电粒子垂直匀强磁场入射均做匀速圆周运动。粒子以v1入射，一端为入射点P，对应圆心角为60(对应六分之一圆周)的弦PP必为垂直该弦入射的粒子运动轨迹所在圆周的直径，如图甲所示，设圆形区域的半径为R，由几何关系知r1R。其他不同方向以v1入射的粒子的出射点在PP对应的圆弧内。同理可知，粒子以v2入射及出射情况，如图乙所示。由几何关系知r2 R，可得r2r11。因为m、q、B均相同，由公式r可得vr，所以v2v11。故选C。3(多选)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成角从O点进入方向如图所
15、示的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，下列说法中正确的是()A该微粒一定带负电荷B微粒从O到A的运动可能是匀变速运动C该磁场的磁感应强度大小为D该电场的场强为答案AC解析若微粒带正电荷q，它受竖直向下的重力mg、向左的电场力qE和斜向右下方的洛伦兹力qvB，可知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷q，它受竖直向下的重力mg、向右的电场力qE和斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，则A正确，B错误；由平衡条件得cos，tan，得磁场的磁感应强度B，电场的场强E，故C正确，D
16、错误。4(多选)如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m、电荷量为q，电场强度为E，磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中()A小球的加速度一直减小B小球的机械能和电势能的总和保持不变C下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是vD下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v答案CD解析对小球受力分析如图所示，开始时，有mg(qEqvB)ma，随着v的增加，小球加速度先增大，当qEqvB时达到最大值，amaxg，继续运动，mg(qvBqE)ma，随着v的增大，a逐渐减小，故
17、A错误；因为有摩擦力做功，机械能与电势能总和在减小，故B错误；若在前半段达到最大加速度的一半，则mg(qEqvB)，得v，若在后半段达到最大加速度的一半，则mg(qvBqE)，得v，故C、D正确。5(2018南充高中月考)(多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，A60，AOa。在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0，发射方向由图中的角度表示。对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是()A粒子有可能打到A点B以60飞入的粒子在磁场中运动时间最短C以30飞入的粒子在磁场中运动的时
18、间都相等D在AC边界上只有一半区域有粒子射出答案AD解析根据Bqv0，可知粒子的运动半径Ra，因此当60入射时，粒子恰好从A点飞出，故A正确；以0飞入的粒子，在磁场中恰好从AC中点飞出，所对弦长为a，以入射点O为定点，从0开始旋转轨迹圆，可知轨迹圆的弦长从a开始减小，直到当30时弦垂直于AC达到最小，接着又开始增大，60时弦长为a，然后逐渐减小到零，根据弦长越长弧长越长，而弧长正比于在磁场中的运动时间，可知从0到60粒子在磁场中运动时间先减小后增大，故B、C错误；因为以0飞入的粒子恰好从AC中点飞出，且轨迹圆与AC中点右侧边界相交，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确。6如图所示，
19、一束带负电的粒子(质量为m、电荷量为e)以速度v垂直磁场的边界从A点射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中。若粒子的速度大小可变，方向不变，要使粒子不能通过磁场的右边界，则粒子的速度最大不能超过多少？答案解析解答此题时可从动态圆模型角度思考，通过画出几个粒子速度大小不同的轨迹圆弧，从而得到临界轨迹圆弧，如图所示。由几何关系可知：Rd，即粒子运动轨迹与磁场的右边界相切。又evB，联立解得v即粒子的速度最大不能超过。7如图所示，宽度为l0.8 m的某一区域存在相互垂直的匀强电场E与匀强磁场B，其大小E2108 N/C，B10 T。一带正电荷的粒子以某一初速度由M点垂直电场和磁场方向射入，沿直线运
20、动，从N点离开；若只撤去磁场，则粒子从P点射出且速度方向发生了45的偏转，求粒子的比荷(不计粒子的重力)。答案2.5106 C/kg解析设粒子的初速度为v0，粒子在复合场中做直线运动时受力平衡qEqv0B。当只撤去磁场后，粒子在电场中做类平抛运动，lv0t，vxv0，vyt，tan451，联立以上各式得2.5106 C/kg。8如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上下两部分，上部分充满垂直纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度皆为B。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角30。MC的边长为a，MN的边长为8a，不计粒子的重力。求：(
21、1)若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是多少？(2)若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中运行的时间至少是多少？答案(1)(2)解析(1)画出该粒子恰好不从MN边射出磁场时的轨迹如图，设其半径为r，由几何关系得rcos60ra，解得ra。又由qvBm，解得v，则最大速度为vm。(2)参照上图，当粒子的轨迹半径为Rr时，由几何关系可知，粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为轨迹半径R的倍。设粒子进入磁场后第n次经过PQ线时恰好到达Q点，有nR8a，且Ra，联立解得n4.62，故n所能取的最小自然数为5。粒子做圆周运动的周期为T，粒子每经过PQ分界线一次用去的时间为tT，粒子到达
22、Q点的最短时间为tmin5t，联立以上几式解得tmin。9一匀强磁场，磁场方向垂直于xOy平面，磁场分布在以O为圆心的一个圆形区域内，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为v，方向沿x轴正方向，后来粒子经过y轴上的P点，此时速度方向与y轴的夹角为30，P到O的距离为l。不计重力的影响，求磁场的磁感应强度B的大小和磁场区域的半径R。答案l解析由题意知，粒子在磁场中的轨迹的圆心C必在y轴上，由题中给出的粒子过P点时的速度方向与y轴成30角判断出P点在磁场区之外。画出粒子运动的轨迹如图所示。其中r为轨迹半径，R为磁场半径。由图中几何关系知rl，则l3r。粒子在磁场中做匀速圆周
23、运动，则：qvBm，由两式解得B，由图中几何关系得Rrl。10如图所示，在矩形ABCD内，对角线BD以上的区域存在平行于AD向下的匀强电场，对角线BD以下的区域存在垂直于纸面的匀强磁场(图中未标出)，其中AD边长为L，AB边长为 L，一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力)以初速度v0从A点沿AB方向进入电场，经对角线BD上的P点垂直BD进入磁场。求：(1)该粒子进入磁场时速度的大小；(2)电场强度的大小；(3)要使该粒子能从磁场返回电场，磁感应强度应满足什么条件？(结论可用根式来表示)答案(1)2v0(2)(3)若磁场方向向外，B1；若磁场方向向里，B2解析(1)如题图所示，由几何关系可得BDC30，带电粒子受电场力作用做类平抛运动。离开电场的速度垂直BD，可得vxv0，vyv0，则v2v0。(2)设BP的长度为x，则有xsin30t1，Lxcos30v0t1。Eqma，vyat1解得x，t1，E。(3)若磁场方向向外，临界轨迹与DC相切，轨迹半径为R1，如图甲所示。有R1，解得R1；而B1qvm，联立得B1。故磁场方向向外时，要使粒子返回电场，则B1。若磁场方向向里，临界轨迹与BC相切时，轨迹半径为R2，如图乙所示。有R2，解得R2，而B2qvm，联立得B2。故磁场方向向里时，要使粒子返回电场，则B2。