1、第6节双曲线考试要求了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知 识 梳 理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0：(1)若ac，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(
2、a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2常用结论与微点提醒1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为.2.离心率e.3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.4.若渐近线方程为yx，则双曲线方程可设为(0).5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minca，|PF2|minca.7
3、.焦点三角形的面积：P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且F1PF2，则F1PF2的面积为.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()(4)双曲线(m0，n0，0)的渐近线方程是0.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1.()解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.(2
4、)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0，n0时则表示焦点在y轴上的双曲线.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(老教材选修21P62A6改编)经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_.解析设双曲线方程为：x2y2(0)，把点A(3，1)代入，得8，故所求双曲线方程为1.答案13.(老教材选修21P61A1改编)已知双曲线x21上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于_.解析设双曲线的焦点为F1，F2，|PF1|4，则|PF1|PF2|2，故|PF2|6或2，又双曲线上的点到同侧
5、焦点的距离的最小值为ca1，故|PF2|6.答案64.(2019北京卷)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a()A. B.4 C.2 D.解析由双曲线方程y21，得b21，c2a21.5e21.结合a0，解得a.答案D5.(2019全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|OF|，则OPF的面积为()A. B. C. D.解析由F是双曲线1的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则解得所以P，所以SOPF|OF|y03.答案B6.(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0
6、)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_.解析因为双曲线x21(b0)经过点(3，4)，所以91(b0)，解得b，即双曲线方程为x21，其渐近线方程为yx.答案yx考点一双曲线的定义及应用【例1】 (1)(2020合肥质检)4表示的曲线方程为()A.1(x2) B.1(x2)C.1(y2) D.1(y2)(2)(2019长春质检)双曲线C的渐近线方程为yx，一个焦点为F(0，)，点A(，0)，点P为双曲线第一象限内的点，则当点P的位置变化时，PAF周长的最小值为()A.8 B.10 C.43 D.33解析(1)的几何意义为点M(x，y)到点F1(0，3)的距离，的几何意义为点M(x，y)
7、到点F2(0，3)的距离，则4表示点M(x，y)到点F1(0，3)的距离与到点F2(0，3)的距离的差为4，且40，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，实轴长为6，渐近线方程为yx，动点M在双曲线左支上，点N为圆E：x2(y)21上一点，则|MN|MF2|的最小值为()A.8 B.9 C.10 D.11(2)(2019济南调研)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.解析(1)由题意知2a6，则a3，又由得b1，所以c，则F1(，0).根据双曲线的定义知|MF2|2a|MF1|MF1|6，所以|MN|MF2|MN|M
8、F1|6|EN|MN|MF1|5|F1E|559，当且仅当F1，M，N，E共线时取等号，故选B.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1).答案(1)B(2)x21(x1)考点二双曲线的标准方程【例2
9、】 (1)(一题多解)(2020东北三省四校联考)经过点(2，1)，且渐近线与圆x2(y2)21相切的双曲线的标准方程为()A.1 B.y21C.1 D.1(2)(2019洛阳二模)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(2，)在双曲线上，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则该双曲线的方程为()A.x2y21 B.1C.x21 D.1解析(1)法一设双曲线的渐近线方程为ykx，即kxy0，由渐近线与圆x2(y2)21相切可得圆心(0，2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得1，解得k.因为双曲线经过点(2，1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设
10、双曲线的方程为1(a0，b0)，将(2，1)代入可得1，由得故所求双曲线的标准方程为1.法二设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)，将(2，1)代入方程可得，4mn1.双曲线的渐近线方程为yx，圆x2(y2)21的圆心为(0，2)，半径为1，由渐近线与圆x2(y2)21相切，可得1，即3，由可得m，n，所以该双曲线的标准方程为1，故选A.(2)|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，|PF1|PF2|4c.点P位于第一象限，|PF1|PF2|2a，|PF1|2ca，|PF2|2ca，cos PF2F1，又点P(2，)在双曲线上，sin PF2F1，1，化简得(c2a)23(2ca)2
11、，即c2a2b21，又1，a21，双曲线的方程为x2y21，故选A.答案(1)A(2)A规律方法1.用待定系数法求双曲线的方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为(0)或mx2ny21(mn0)，再根据条件求解.2.与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为(0).【训练2】 (1)(2019昆明调研)“0n2”是“方程1表示双曲线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)已知双曲线的渐近线方程为2x3y0，且双曲线经过点P(，2)，则双曲线
12、的方程为_.解析(1)若方程1表示双曲线，则(n1)(n3)0，解得1n3，则0n2的范围小于1n3，所以“0n0，b0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上一点，若|PF1|PF2|4a，且F1PF260，则双曲线C的渐近线方程是()A.xy0 B.2xy0C.x2y0 D.2xy0解析F1，F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，由双曲线定义可得|PF1|PF2|2a，又知|PF1|PF2|4a，|PF1|3a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理的推论可得cos 60，即，3a210a24c2，即4c27a2，又知b2a2c2，双曲线C的渐近线方程为yx，即x2y0，故选C.答案C
13、规律方法双曲线1(a0，b0)的渐近线是令0，即得两渐近线方程0.渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答.角度2求双曲线的离心率【例32】 (2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A. B. C.2 D.解析设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).则c，如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，则|OP|a，|OM|MP|.在RtOPM中，|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，
14、即e.答案A规律方法求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.角度3双曲线几何性质的综合应用【例33】 (1)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|2a，F1AF2，则()A.1 B. C. D.解析(1)因为F1(，0)，F2(，0)，y1，所以(x0，y0)(x0，y0)xy30，即3y10，解得y00，b0)的左、右焦点，
15、P为双曲线右支上任一点，若的最小值为8a，则该双曲线离心率e的取值范围是()A.(0，2) B.(1，3C.2，3) D.3，)(3)(角度3)(2019长沙统一考试改编)已知F1，F2分别是双曲线C：y2x21的上、下焦点，P是其一条渐近线上的一点，且以F1F2为直径的圆经过点P，则PF1F2的面积为_.解析(1)因为2b2，所以b1，因为2c2，所以c，所以a，所以双曲线的渐近线方程为yxx.(2)由双曲线定义可知|PF1|PF2|2a，|PF1|2a|PF2|，|PF2|4a24a8a，当且仅当|PF2|，即|PF2|2a时，等号成立.的最小值为8a，|PF2|2a，|PF1|4a.点P
16、在双曲线右支上，|PF1|PF2|F1F2|，当且仅当P，F1，F2三点共线且点P为右顶点时等号成立，即6a2c，e3，又e1，e(1，3，故选B.(3)设P(x0，y0)，不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线xy0上，因此可得x0y00.F1(0，)，F2(0，)，所以|F1F2|2，以F1F2为直径的圆的方程为x2y22，又以F1F2为直径的圆经过点P，所以xy2.由得|x0|1，于是SPF1F2|F1F2|x0|21.答案(1)B(2)B(3)A级基础巩固一、选择题1.(2018浙江卷)双曲线y21的焦点坐标是()A.(，0)，(，0) B.(2，0)，(2，0)C.(0，)，(0
17、，) D.(0，2)，(0，2)解析由题可知双曲线的焦点在x轴上，又c2a2b2314，所以c2，故焦点坐标为(2，0)，(2，0).答案B2.(2018全国卷)双曲线1(a0，b0)的离心率为，则其渐近线方程为()A.yx B.yxC.yx D.yx解析由题意知，e，所以ca，所以ba，即，所以该双曲线的渐近线方程为yxx.答案A3.(2019全国卷)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾斜角为130，则C的离心率为()A.2sin 40 B.2cos 40C. D.解析由题意可得tan 130，所以e.故选D.答案D4.(一题多解)(2018全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心
18、率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为()A. B.2 C. D.2解析法一由离心率e，得ca，又b2c2a2，得ba，所以双曲线C的渐近线方程为yx.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为2.法二离心率e的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是yx，点(4，0)到C的渐近线的距离为2.答案D5.已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A.(1，3) B.(1，)C.(0，3) D.(0，)解析方程1表示双曲线，(m2n)(3m2n)0，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解
19、得|m|1，1n0，b0)一个焦点且与其一条渐近线平行，则双曲线方程为_.解析由题意得一个焦点为F(5，0)，c5，2，又a2b2c2，所以a25，b220，所以双曲线方程为1.答案110.(多填题)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则a_；b_.解析由2xy0，得y2x，所以2.又c，a2b2c2，解得a1，b2.答案1211.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为_.解析由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5，0)，F2(5，0)，设曲线C2上的一点P，则|PF
20、1|PF2|8.由双曲线的定义知，a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.即1.答案112.设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_.解析a29，b216，故c5.A(3，0)，F(5，0)，不妨设直线BF的方程为y(x5)，代入双曲线方程解得B.SAFB|AF|yB|2.答案B级能力提升13.(2020长沙雅礼中学模拟)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点为F1，F2，在双曲线上存在点P满足2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A.(1，2 B.2，)C.(1， D.，)解析当P不是双曲线与x轴的交点时，连接OP，因为
21、OP为PF1F2的边F1F2上的中线，所以()；当P是双曲线与x轴的交点时，同样满足上述等式.因为双曲线上存在点P满足2|，所以4|2c，由|a，可知4a2c，则e2，选B.答案B14.(2020石家庄模拟改编)已知双曲线C：1(b0)，F1，F2分别为C的左、右焦点，过F2的直线l分别交C的左、右支于点A，B，且|AF1|BF1|，则|AB|的值为_.解析由双曲线定义知|AF2|AF1|2a，|BF1|BF2|2a，由于|AF1|BF1|，所以两式相加可得|AF2|BF2|4a，而|AB|AF2|BF2|，|AB|4a，由双曲线方程知a4，|AB|16.答案1615.(2020南昌联考)点P
22、是椭圆1(a1b10)和双曲线1(a20，b20)的一个交点，F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，F1PF2，则的值是_.解析不妨设P是第一象限内的交点，|PF1|m，|PF2|n，由椭圆的定义可知mn2a1，由双曲线定义可知mn2a2，由得ma1a2，na1a2.在F1PF2中，由余弦定理的推论可得，cos F1PF2，即m2n2mn4c2，(a1a2)2(a1a2)2(a1a2)(a1a2)4c2，即a3a4c2，又知abc2，abc2，bc23(c2b)4c2，b3b，又知b10，b20，.答案16.(2019全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直
23、线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若，0，则C的离心率为_.解析因为0，所以F1BF2B，如图.所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OABF2，所以F1BOA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tanBF1O，tanBOF2.因为tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以双曲线的离心率e2.答案2C级创新猜想17.(多填题)(2020昆明诊断改编)已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6)，则APF周长的最小值为_，
24、此时该三角形的面积为_.解析设双曲线的左焦点为F1，连接PF1.由双曲线方程x21可知，a1，c3，故F(3，0)，F1(3，0).当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|PF1|2，所以|PF|PF1|2，从而APF的周长为|AP|PF|AF|AP|PF1|2|AF|.因为|AF|15为定值，所以当(|AP|PF1|)最小时，APF的周长最小.由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示).|AF1|AF|15，故APF周长的最小值为32.此时，由题意可知直线AF1的方程为y2x6，由得y26y960，解得y2或y8(舍去)，所以SAPFSAF1FSPF1F666212.答案3212
