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2020江苏高考理科数学二轮讲义:专题七第7讲 矩阵与变换 WORD版含解析.doc

上传人:高**** 文档编号:341059 上传时间:2024-05-27 格式:DOC 页数:7 大小:273KB
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1、高考资源网() 您身边的高考专家第7讲矩阵与变换 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171矩阵变换B题江苏高考对本讲的命题方向:常见的平面变换与矩阵的乘法运算;二阶矩阵的逆矩阵及其求法;矩阵的特征值与特征向量的求法试题基础,处于“送分题”位置2逆矩阵与矩阵运算B题3矩阵的特征值与特征向量A题1矩阵的乘法与逆矩阵(1) (2)若二阶矩阵A,B满足ABBAE(E为二阶单位矩阵),则称A是可逆矩阵,B为A的逆矩阵,记为BA12矩阵对应的变换矩阵M对应的变换T:(x,y)(x,y)满足 3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设是二阶矩阵M的一个特征值,它的一个特征向量为,则有M(

2、2)f()2(ad)adbc为矩阵M的特征多项式(3)如果是二阶矩阵M的特征值,则是M的特征多项式的一个根,它满足f()0,此时将代入可得到一组非零解,它即为M的属于的一个特征向量矩阵变换典型例题 (2019姜堰中学期中检测)在平面直角坐标系xOy中,设曲线C:xy1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F,且F的方程为x2y2a2(a0),求和a的值【解】设P(x0,y0)是曲线C上任意一点,P(x0,y0)在矩阵对应的变换下变为:P(x0,y0);则有,所以,代入到x2y2a2中,有:(x0cos y0sin )2(x0sin y0cos )2a2,且x0y01,化简得:(xy)(cos2sin2

3、)4x0y0sin cos a2即(xy)(cos2sin2)4sin cos a2;所以cos2sin20且a24sin cos ,而,a0;所以,a解决这类问题一般是设变换T:,求出原曲线在T的变换下得到的曲线,再根据条件求相应的系数值对点训练1变换T1是逆时针旋转的旋转变换,对应的变换矩阵是M1;变换T2对应的变换矩阵是M2(1)求点P(2,1)在T1作用下的点P的坐标;(2)求函数yx2的图象依次在T1,T2变换的作用下所得曲线的方程解 (1)M1,M1 ,所以点P(2,1)在T1作用下的P点的坐标是P(1,2)(2)MM2M1,设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是,则M,也

4、就是,即,所以所求曲线的方程是yxy2逆矩阵与矩阵运算典型例题 (2018高考江苏卷)已知矩阵A(1)求A的逆矩阵A1;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P(3,1),求点P的坐标【解】(1)因为A,det(A)221310,所以A可逆,从而A1(2)设P(x,y),则,所以A1,因此,点P的坐标为(3,1)正确进行矩阵变换,注意变换的先后顺序,记住求逆矩阵的过程是解题的关键 对点训练2已知矩阵A,B(1) 求AB;(2)若曲线C1:1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ,求C2的方程解 (1)因为A,B,所以AB (2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对

5、应的变换作用下变为P(x,y),则 ,即所以因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则1,从而1,即x2y28因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2y28矩阵的特征值与特征向量典型例题 (2019高考江苏卷)已知矩阵 A(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值【解】(1)因为A所以A2 (2)矩阵A的特征多项式为f()254令f()0,解得A的特征值11,24在求矩阵变换的特征值与特征向量时,要利用定义建立关系对点训练3(2019镇江市高三调研)求矩阵的特征值及对应的特征向量解 由题意得矩阵的特征多项式f()(3)21268,由f()0,解得12,24设1为12对应的特征向量,则,即

6、x1y10,故可取为属于特征值12的一个特征向量同理,设2为24对应的特征向量,则,即x2y20,故可取为属于特征值24的一个特征向量综上所述,矩阵有两个特征值12,24,属于12的一个特征向量为,属于24的一个特征向量为1(2019南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A有特征值6,其对应的一个特征向量为e,并且矩阵A对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4),求矩阵A解 设所求二阶矩阵A,则,所以,所以,解方程组得A2(2019南京、盐城模拟)已知矩阵A,A的逆矩阵A1(1)求a,b的值; (2)求A的特征值 解 (1)因为AA1所以 解得a1,b(2)由(1)得A,则A的特征多项式

7、f()(3)( 1)令f()0,解得A的特征值11,233(2019南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,设点A(1,2)在矩阵M对应的变换作用下得到点A,将点B(3,4)绕点A逆时针旋转90得到点B,求点B的坐标解 设B(x,y),依题意,由 ,得A(1,2)则(2,2),(x1,y2)记旋转矩阵N,则 ,即,得所以点B的坐标为(1,4)4(2019江苏四星级学校联考)设矩阵A,已知矩阵A的特征值11的一个特征向量为1,特征值24的一个特征向量为2,求adbc的值解 由特征值、特征向量的定义可知A111,即 1,可得,同理可得 4,即,由解得a2,b3,c2,d1,因此adbc264- 6 - 版权所有高考资源网

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