1、高考资源网（） 您身边的高考专家第7讲矩阵与变换 2019考向导航考点扫描三年考情考向预测2019201820171矩阵变换B题江苏高考对本讲的命题方向：常见的平面变换与矩阵的乘法运算；二阶矩阵的逆矩阵及其求法；矩阵的特征值与特征向量的求法试题基础，处于“送分题”位置2逆矩阵与矩阵运算B题3矩阵的特征值与特征向量A题1矩阵的乘法与逆矩阵(1) (2)若二阶矩阵A，B满足ABBAE(E为二阶单位矩阵)，则称A是可逆矩阵，B为A的逆矩阵，记为BA12矩阵对应的变换矩阵M对应的变换T：(x，y)(x，y)满足 3二阶矩阵的特征值和特征向量(1)设是二阶矩阵M的一个特征值，它的一个特征向量为，则有M(
2、2)f()2(ad)adbc为矩阵M的特征多项式(3)如果是二阶矩阵M的特征值，则是M的特征多项式的一个根，它满足f()0，此时将代入可得到一组非零解，它即为M的属于的一个特征向量矩阵变换典型例题 (2019姜堰中学期中检测)在平面直角坐标系xOy中，设曲线C：xy1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，且F的方程为x2y2a2(a0)，求和a的值【解】设P(x0，y0)是曲线C上任意一点，P(x0，y0)在矩阵对应的变换下变为：P(x0，y0)；则有，所以，代入到x2y2a2中，有：(x0cos y0sin )2(x0sin y0cos )2a2，且x0y01，化简得：(xy)(cos2sin2
3、)4x0y0sin cos a2即(xy)(cos2sin2)4sin cos a2；所以cos2sin20且a24sin cos ，而，a0；所以，a解决这类问题一般是设变换T：，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值对点训练1变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2(1)求点P(2，1)在T1作用下的点P的坐标；(2)求函数yx2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程解 (1)M1，M1 ，所以点P(2，1)在T1作用下的P点的坐标是P(1，2)(2)MM2M1，设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，则M，也
4、就是，即，所以所求曲线的方程是yxy2逆矩阵与矩阵运算典型例题 (2018高考江苏卷)已知矩阵A(1)求A的逆矩阵A1；(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P(3，1)，求点P的坐标【解】(1)因为A，det(A)221310，所以A可逆，从而A1(2)设P(x，y)，则，所以A1，因此，点P的坐标为(3，1)正确进行矩阵变换，注意变换的先后顺序，记住求逆矩阵的过程是解题的关键 对点训练2已知矩阵A，B(1) 求AB；(2)若曲线C1：1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程解 (1)因为A，B，所以AB (2)设Q(x0，y0)为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对
5、应的变换作用下变为P(x，y)，则 ，即所以因为点Q(x0，y0)在曲线C1上，则1，从而1，即x2y28因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2y28矩阵的特征值与特征向量典型例题 (2019高考江苏卷)已知矩阵 A(1)求A2；(2)求矩阵A的特征值【解】(1)因为A所以A2 (2)矩阵A的特征多项式为f()254令f()0，解得A的特征值11，24在求矩阵变换的特征值与特征向量时，要利用定义建立关系对点训练3(2019镇江市高三调研)求矩阵的特征值及对应的特征向量解 由题意得矩阵的特征多项式f()(3)21268，由f()0，解得12，24设1为12对应的特征向量，则，即
6、x1y10，故可取为属于特征值12的一个特征向量同理，设2为24对应的特征向量，则，即x2y20，故可取为属于特征值24的一个特征向量综上所述，矩阵有两个特征值12，24，属于12的一个特征向量为，属于24的一个特征向量为1(2019南师附中、淮阴、海门、天一开学联考)二阶矩阵A有特征值6，其对应的一个特征向量为e，并且矩阵A对应的变换将点(1，2)变换成点(8，4)，求矩阵A解 设所求二阶矩阵A，则，所以，所以，解方程组得A2(2019南京、盐城模拟)已知矩阵A，A的逆矩阵A1(1)求a，b的值； (2)求A的特征值 解 (1)因为AA1所以 解得a1，b(2)由(1)得A，则A的特征多项式
7、f()(3)( 1)令f()0，解得A的特征值11，233(2019南通市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，2)在矩阵M对应的变换作用下得到点A，将点B(3，4)绕点A逆时针旋转90得到点B，求点B的坐标解 设B(x，y)，依题意，由 ，得A(1，2)则(2，2)，(x1，y2)记旋转矩阵N，则 ，即，得所以点B的坐标为(1，4)4(2019江苏四星级学校联考)设矩阵A，已知矩阵A的特征值11的一个特征向量为1，特征值24的一个特征向量为2，求adbc的值解 由特征值、特征向量的定义可知A111，即 1，可得，同理可得 4，即，由解得a2，b3，c2，d1，因此adbc264- 6 - 版权所有高考资源网