1、2020届高中毕业班第一次适应性测试理科数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】B
2、【解析】【分析】解出集合中的一次不等式即可.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题考查的是集合的运算，较简单.2.设，其中是实数，则在复平面内所对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】由，其中是实数，得：，所以在复平面内所对应的点位于第四象限.本题选择D选项.3.若实数满足，则的最小值为（ ）A. 2B. 4C. 5D. 10【答案】B【解析】【分析】作出可行域，作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小【详解】作出可行域如图所示：作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小的最小值为4故选：B【点睛】本题考查的是线性规划的知识，较简单.4.已知，
3、则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先算出，然后利用即可算出答案【详解】由，得所以故选：A【点睛】本题考查的是三角函数的平方关系及和差公式，较简单.5.是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35以下空气质量为一级，在3575之间空气质量为二级，在75以上空气质量为超标. 如图是某市2019年12月1日到10日日均值（单位：）的统计数据. 若从这10天中随机抽取3天进行进一步的空气质量数据分析，则空气质量为一级的恰好抽取了2天的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由图易知，第天空气质量为一级，共4天，然后即可
4、求出答案【详解】由图易知，第天空气质量为一级，共4天，故所求事件的概率为故选：A【点睛】本题考查的是古典概型及组合的知识，较简单.6.设a为正实数，函数，若，则a取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先利用导数判断出在上单调递减，然后解出不等式即可【详解】由得所以当时，所以函数在上单调递减所以只需即可，即解得：故选：A【点睛】本题考查的是利用导数研究函数的单调性及解决恒成立问题，较简单.7.已知双曲线的左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A.线段的中点为D，若，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由条
5、件得出，然后利用双曲线的定义建立方程求解即可【详解】由线段的中点为D ，得因为的斜率为，所以可得所以所以由双曲线的定义可得所以故选：C【点睛】本题考查的是双曲线的定义及离心率的求法，较简单.8.如图，四棱锥中，平面，M是BC中点，N是线段SA上点，设MN与平面SAD所成角为，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设的中点为，连接，然后证明为MN与平面SAD所成角,然后，然后求出的最小值即可【详解】设的中点为，连接因为，所以因为平面，所以，所以平面所以为MN与平面SAD所成角，即设，则，的最小值为到的距离，等于所以的最大值为故选：A【点睛】本题考查的是线面角的知识，
6、作出辅助线，找出线面角是解题的关键.9.过曲线外一点作该曲线的切线，则在y轴上的截距为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设切点为，利用导数求出切线的方程，然后将点代入，解出，然后即可算出答案.【详解】由得设切点为，则切线的斜率为所以切线方程为：因为切线过点，所以，解得所以切线方程为： 令，可解得故选：B【点睛】本题考查的是导数的几何意义，考查了学生的计算能力，属于中档题.10.已知抛物线的焦点为F，准线为，与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作，垂足为，若，则四边形的面积为（ ）A. 8B. 10C. 14D. 28【答案】C【解析】【分析】过点作,垂足为，设，然后
7、由条件可得，解出，然后算出答案即可【详解】作出图形如下：过点作,垂足为，设因为，所以，由抛物线的定义，所以，即四边形的面积为故选：C【点睛】本题考查的是抛物线的定义，较简单.11.已知定义域为R的奇函数的导函数为，当时，.若，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，由条件可得出是偶函数且在上单调递增，然后即可比较出的大小【详解】设，因为是奇函数，所以是偶函数当时，所以在上单调递增因为，所以，即故选：C【点睛】本题考查的是利用函数的奇偶性和单调性比较大小，构造出合适的函数是解题的关键，属于中档题.12.已知函数的一个零点是，当时函数取最大值，则当取最小值时，函数
8、在上的最大值为（ ）A. B. C. D. 0【答案】D【解析】【分析】由条件可得，即，将两式相减可得：，然后求出和【详解】由条件可得：，所以，将两式相减可得：，所以的最小值为4此时，因为，所以所以因为，所以所以函数在上的最大值为0故选：D【点睛】本题考查的是三角函数的图象及其性质，由条件求出和是解题的关键，属于中档题.第卷本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面上，是方向相反的单位向量，若向量满足，则的值为_.【答案】1【解析】【分析】根据平面向量垂直的
9、性质，结合平面向量数量积的运算性质和平面向量数量积的定义、共线向量的定义、单位向量的定义进行求解即可.【详解】由题意，即，又，是方向相反的单位向量，所以，所以，即，所以.故答案为：1【点睛】本题考查了平面向量的数量积的定义和运算性质，考查了平面向量垂直的性质，考查了共线向量的定义，考查了单位向量的定义，考查了数学运算能力.14.设a，b，c分别为三角形ABC的内角A，B，C的对边，已知三角形ABC的面积等于，则内角A的大小为_【答案】【解析】【分析】由得，结合余弦定理可推出【详解】因为所以由余弦定理得所以，即因为，所以故答案为：【点睛】本题考查的是三角形的面积公式及余弦定理，较简单.15.已知
10、某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为_ 【答案】【解析】【分析】由三视图画出几何体的直观图即可【详解】由三视图可知正方体边长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如下： 其体积为：故答案为：【点睛】本题考查的是几何体的三视图及体积的求法，较简单，画出直观图是解题的关键.16.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请240名同学，每人随机写下两个都小于1的正实数x，y组成的实数对，再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数m；最后再根据计数m来
11、估计的值假设统计结果是，那么可以估计的近似值为_（用分数表示）【答案】【解析】【分析】由题意，240对都小于1的正实数对，满足，面积为1，两数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且，面积为，然后即可建立方程求解【详解】由题意，240对都小于1的正实数对，满足，面积为1两数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且面积为因为统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对的个数所以，所以故答案为：【点睛】本题考查的是几何概型中的面积型的应用，较简单.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.水稻是人类重要的粮食作物之一，耕种与食用的历史都相当悠久，日前我国南方农户在播种水稻时一
12、般有直播、撒酒两种方式为比较在两种不同的播种方式下水稻产量的区别，某市红旗农场于2019年选取了200块农田，分成两组，每组100块，进行试验其中第一组采用直播的方式进行播种，第二组采用撒播的方式进行播种得到数据如下表： 产量（单位：斤）播种方式840，860）860，880）880,900）900,920）920,940）直播48183931散播919223218约定亩产超过900斤（含900斤）为“产量高”，否则为“产量低”（1）请根据以上统计数据估计100块直播农田的平均产量（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（2）请根据以上统计数据填写下面的22列联表，并判断是否有99%的把握认
13、为“产量高”与“播种方式”有关？产量高产量低合计直播散播合计附：P（K2k0）0.100.0100.001k02.7066.63510.828【答案】（1）100块直播农田的平均产量为907斤，（2）有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关.【解析】【分析】（1）根据，算出答案即可（2）由题目中给的数据完善列联表，然后算出的观察值即可【详解】（1）100块直播农田的平均产量为：（斤）（2）由题中所给的数据得到列联表如下所示：产量高产量低合计直播7030100散播5050100合计12080200由表中的数据可得的观察值所以有99%的把握认为“产量高”与“播种方式”有关【点睛】本题考查的是
14、平均数的算法及独立性检验，考查了学生的计算能力，属于基础题.18.已知数列an满足，（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【答案】（1）证明见详解，（2）【解析】【分析】（1）由得，然后，即可算出答案（2），然后即可求出【详解】（1）因，所以即数列是以首项为2，公差为3的等差数列所以所以（2）由得所以【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法19.如图所示，在四棱柱中，侧棱平面，底面是直角梯形，（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见详解，（2）【解析】【分析】（1）证明和即可（2）以为坐标
15、原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量可取为：，然后即可算出答案【详解】（1）因为侧棱平面，所以平面平面又，平面平面，所以平面而平面，所以因为，侧棱平面，所以四边形是正方形所以，又，所以平面（2）如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则设平面的法向量为，又，则，求得，令得由（1）中可得平面的法向量可取为：所以故二面角的正弦值为【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法20.已知椭圆C：（0b2）的离心率为，F为椭圆的右焦点，PQ为过中心O的弦（1）求面积的最大值；（2）动直线与椭圆交于A，B两点，证明：在第一象限内存在定
16、点M，使得当直线AM与直线BM的斜率均存在时，其斜率之和是与t无关的常数，并求出所有满足条件的定点M的坐标【答案】（1），（2）证明见详解，定点的坐标为.【解析】分析】（1）先由条件得出，然后的面积等于和的面积之和，设点到轴的距离为，然后即可分析出答案（2）设，将代入得，则有，然后可推出，当，时斜率的和恒为0，然后解出即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则由得，所以又由的面积等于和的面积之和，设点到轴的距离为，由是过椭圆的中心的弦，则点到轴的距离也为所以和的面积相等，所以因为的最大值为，所以的最大面积为（2）由（1）知椭圆设将代入得则有直线AM与直线BM的斜率之和：为与无关的常数，可知当，时
17、斜率的和恒为0，解得或（舍）综上所述：所有满足条件的定点的坐标为【点睛】涉及椭圆的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体带入”等解法.21.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数的两个极值点，若，证明：；证明： 【答案】（1）情况较多，见详解，（2）证明见详解【解析】【分析】（1）求出，然后分，三种情况讨论（2）由即可证明；用分析法得到要证原命题即证，然后设，利用导数得到在单调递减，结合可得当时，当时，然后即可证明.【详解】（1）由已知当时，所以，所以函数在上单调递增当时，在上有两不等正实数根记当时，单调递增当时，单调递减当时，单调递增当时，所以当时
18、，单调递减当时，单调递增（2）的定义域为，有两个极值点则在上有两个不等正根由（1）中可得因为，所以，所以原命题即证明当且，时成立即证，即证即证，即证设则当时，在单调递减因为，所以当时，当时又因时，当时所以，原命题得证【点睛】1.解含参的一元二次不等式常从以下几个方面讨论：开口方向、根的个数、根的大小、根在不在给的范围内.2.本题考查了利用导数研究函数的单调性及证明不等式，属于较难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点，以坐标原点O为极点，轴正半轴为极
19、轴建立极坐标系，直线，从原点O作射线交于点M，点N为射线OM上的点，满足| ，记点N的轨迹为曲线C（1）设动点，记是直线的向上方向的单位方向向量，且，以t为参数求直线的参数方程求曲线C的极坐标方程并化为直角坐标方程；（2）设直线与曲线C交于P，Q两点，求的值【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为，直角坐标方程为：；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得直线的参数方程为（为参数），设，由题意可得，由可得（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程中得：，化简得，设为方程的两个根，则，然后利用算出即可.【详解】（1）由题意可得直线的参数方程为（为参数）即（为参数）设，由题意可得
20、因为点在直线上，所以所以，即所以，所以曲线C的直角坐标方程为：（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程中得：，化简得设为方程的两个根，则所以【点睛】本题考查了直线的参数方程、直角坐标方程与极坐标方程的互化及动点的轨迹方程的求法，属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.己知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.【答案】（1）不等式的解集为，（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分3种情况解出即可（2）首先求出，即可得到，然后，用基本不等式即可证明.【详解】（1）等价于或或解得或或所以不等式的解集为（2）因为当时等号成立，所以的最小值为3，即所以所以当且仅当时等号成立【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，属于典型题.
