1、常用逻辑用语学习指导武汉市吴家山中学 刘忠君【写在前面】 逻辑知识作为整章内容在高中出现，经历了从无到有、由难到易、由繁到简、位置由前到后、内容由少到多的演变.普通高中数学课程标准中明确指出：通过学习常用逻辑用语，使学生能“体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流.”由此可以看出，对本章的学习，其基点应是常用的逻辑用语，而不是简易逻辑的学习，更不是数理逻辑的学习.因此，本章内容应以教材为准，既不要拨高，也不要拓展.要强化基础知识的识记与理解，并使之成为我们分析、解决问题的有效工具.一、基础导学常用逻辑用语由“命题及其关系”、“充分必要条件”、“简单的
2、逻辑联结词”和“全称量词与存在量词”四部分组成1、命题及其关系（1）命题可以判断真假的陈述句叫命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题（2）四种命题及其关系（如图）结论：互为逆否的两个命题同真同假2、充分必要条件（1）定义：一般地，对于命题“若p，则q”，如果pq，则称p是q的充分条件；q是p的必要条件；如果pq，则称p是q的充分必要条件，简称充要条件（2）命题的条件可分为四类：充分不必要条件：即pq，但qp；必要不充分条件：即pq，但qp；充要条件：即pq；既不充分也不必要条件：即pq，同时qp3、简单的逻辑联结词（1）逻辑联结词：“或”、“且”、“非” （2）简单命题：不含逻
3、辑联结词的命题（3）复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题复合命题有三种形式：p或q（pq）；p且q（pq）；非p（p）（4）复合命题的真值表：4、全称量词与存在量词（1）全称量词：短语“对所有的”、“对任意一个”、“对一切”、“对每一个”、“任给”、“所有的”等，在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“”表示含有全称量词的命题叫做全称命题，简记为：，（2）存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等，在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“”表示含有存在量词的命题叫做特称（存在）命题，简记为：，（3）含有一个量词的命题的否定：全称命题p：，的否定为特称命题
4、，即p为：，；特称命题q：，的否定为全称命题，即q为：，二、疑点导析1、对命题的理解：一个语句是否为命题，关键在于能否判断其真假2、对四种命题的理解：四种命题反映了命题之间的内在联系在四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价因此，当一个命题不易判断其真假时，可转化为其等价命题来判断真假；当一个命题不易证明时，可改证其逆否命题（反证法）3、对充要条件的理解：一是借助递推符号“、”的传递性来理解；二是利用命题的真假性来理解，即“原命题成立而逆命题不成立，则原命题的条件是结论成立的充分不必要条件；逆命题成立而原命题不成立，则原命题的条件是结论成立的必要不充分条件；原命题成立且逆命题也成立
5、，则原命题的条件是结论成立的充要条件；原命题与逆命题都不成立，则原命题的条件是结论成立的既不充分又不必要条件”4、对逻辑联结词的理解：（1）与日常生活中的连词“或、且、非”的区别：逻辑联结词“或”用在命题上有三层含义，如或就包含了“但，但，且”三种情形；而日常生活中的“或”往往表示“不可兼得”，具有二者选其一的涵义. 逻辑联结词“且”与日常生活中的“和、与”的意义相同，具有“兼有性” 逻辑联结词“非”就是日常生活中的“否定”，具有“否定性”（2）逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”与集合运算中的“并、交、补”相对应，因此，常常借助集合的“并、交、补”来解决含“或、且、非”的命题的问题（3）复
6、合命题的真假的判断：对于命题pq，“一真则真，两假则假”；对于命题pq，“一假则假，两真则真”；对于命题p，“真假相反”5、对量词的理解：全称量词是针对所有元素而言，常用“所有的”、“任意一个”等描述；特称（存在）量词针对部分（某些、某个）元素（也可以是全部）而言，常用“存在”、“有一个”等描述全称量词的否定是特称量词，特称量词的否定是全称量词三、方法导引1、四种命题的构造：对四种命题的改写，要抓住两个关键：“换位”即条件与结论互换；“换质”即对条件与结论进行否定只换位不换质的是逆命题，只换质不换位的是否命题，既换位又换质的为逆否命题要注意区分“命题的否定”与“否命题”之间的区别：命题的否定只
7、否定命题的结论（条件不变），而否命题既要否定命题的条件，又要否定其结论注意：在改写其他命题时，大前提是不能更改的2、充要条件的判断：涉及充要条件的问题主要有三种类型，一是判断指定的条件与结论之间的条件关系，即充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要条件；二是探求某结论成立时的条件是什么条件；三是根据某条件成立时，求解参数问题. 判断充要条件的方法主要有定义法，集合法，命题法三种.解决充要条件的问题，先要明确条件与结论分别是什么，再下结论.注意利用集合间的包含关系转化条件，可使问题直观化.3、复合命题真假的判断：先要正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，然后根据组成各个复合命
8、题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断具体步骤： (1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)由真值表确定“pq”、“pq”、“q”形式命题的真假4、特称命题与全称命题：一方面，对特称命题与全称命题的否定，要对“量词”和“判断词”同时否定对于隐含了量词的命题，要注意对其进行改写，找到量词后再进行否定例如，命题“自然数的平方是正数”就是一个隐含了（省略了）全称量词的全称命题，它的含义是“任何一个（或所有）自然数的平方（都）是正数”；另一方面，要判断全称命题为真命题，必须对每一种情形逐一验证，要判断其为假命题，只须给出一个反例即可而要判断一个特称命题为真命题，只须
9、找到一种特殊情形使命题成立即可，要判断其为假命题，则需验证每一种情形都不满足题中条件四、典例导讲例1 已知条件：和条件：，请选取适当的实数的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题“若A则B”，并使构造的命题为真命题，且其逆命题为假命题解析 由条件得或，即或；由条件得，即或；由题意，令，则为或，此时必有，但故可以选取，并使A为，B为，对应的命题“若A则B”即为所构造的命题点评 此例将命题的构造与命题真假判断相结合，是一道开放性试题，把握好条件与结论的“包含关系”是解决问题的关键例2 已知命题：“x、y是实数，若，则x、y全为零”，则为 解析 为：“x、y是实数，若，则x、y不全为零” 点评
10、 写否命题时，必须注意被否定的对象以确定否定词的位置，同时要求否定完全要记住常见关键词的否定，如“都是”的否定为“不都是”，“任意”的否定为“存在”等例3 （1）设p：，q：，则p是q的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D 、既不充分也不必要条件（2）设命题分别是p，q的否定，如果p是的充分不必要条件，那么q是的（ ）A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D 、既不充分也不必要条件（1）解析 由p：得，由q：得或，显然是的充分不必要条件，选A（2）解析一 因为且的逆否命题（即等价命题）为且，所以q是的充分不必要条件，选A解析二 设满足条件p、q的对象组
11、成的集合分别为P、Q，为全集，q是的充分不必要条件，选A点评 充要条件问题除用定义法求解外，还可用集合法求解：设满足条件p的对象组成的集合为P，满足条件q的对象组成的集合为，则（1）若，则p为q的充分条件，当时，p为q的充分不必要条件（2）若，则p为q的必要条件，当时，p为q的必要不充分条件（3）若，且，即，则p为q的充要条件（4）如果以上三种关系均不成立，即P、之间没有包含或相等关系，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件例4 给出下列命题：“若，则关于的方程有实根”的逆命题；“若ab，则”的否命题；“若，则 ”的逆否命题；命题：“，若，则全为0”的否命题其中真命题的序号是 解析 先写出
12、相应命题：若关于的方程有实根，则；若； 若,则；，若，则不全为0。然后判断：若关于的方程有实根，则，故命题为假；取，命题不成立；由互为逆否命题同真同假，故可直接判断原命题，知命题为真；由实数性质知，命题不成立。综上知真命题序号为点评 解决此类问题，应先写出相应的命题，再利用判断命题真假的方法进行判断例5 已知命题：对，不等式恒成立；命题：，使；若是真命题，是假命题，求实数的取值范围解析 ，由题意有，解得或，故命题为真命题时，有或；使，有，即或，故是假命题时，有实数的取值范围为点评 利用命题的真假性确定参数的取值范围，通常用直接法求解，即先求出原命题为真时的参数范围，再根据题设条件得出参数的取值
13、范围例6 命题“,”的否定是（）A,B, C,D,解析 本命题为特称命题，写其否定的方法是：先改变量词，再否定结论，故D符合点评 对于特称命题的否定，一般是先改变量词，再否定结论；对于全称命题的否定，也是类似的千万不要忽略改变量词这一点，否则就是错误的例7 已知命题，命题的解集是，下列结论：命题“”是真命题； 命题“”是假命题；命题“”是真命题； 命题“”是假命题。其中正确的是（ ）A.B. C. D.解析 命题为特称命题，只要找到一个的值，使成立即可显然，令，则有，故命题为真；命题q显然为真。由真值表知选D点评 解决此类问题的关键在于理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，并掌握判断全称
14、命题、特称命题及含逻辑联结词的命题真假的原则例8 在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于A、B两点，（1）求证：“如果直线过点，那么”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由.（1）证明 设过点的直线交抛物线于点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与抛物线相交于点，.所以；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，其中，由得.又因为，所以.综上所述，命题“如果直线过点，那么”是真命题；（2）逆命题是：设直线交抛物线于A、B两点，如果，那么该直线过点，该命题是假命题.如果取抛物线上的点A（2，2），此时，直线AB的方程为，而不在直线AB上.点评 由抛物线上的点满足，可得或.如果，可证得直线AB过点（3，0）；如果，可证得直线AB过点（-1，0），而不过点（3，0）.另外本题中“在平面直角坐标系中直线与抛物线相较于A，B两点”是大前提，对于有大前提的原命题，在写出它的逆命题、否命题与逆否命题时，应保留这个大前提.
