1、目标导航1理解直线的倾斜角与斜率的概念(重点)2掌握倾斜角与斜率的对应关系(难点、易错点)3掌握过两点的直线的斜率公式(重点)1新知识预习探究 知识点一倾斜角倾斜角【练习 1】设直线 l 过原点，其倾斜角为，将直线 l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转 45，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为()A45B135C135D当 0135时为 45，当 135180时为 135解析：由倾斜角的取值范围知只有当 045180，即0135时，l1 的倾斜角才是 45；又 0180，所以当135180时，l1 的倾斜角为 135(如图所示)，故选 D.答案：D知识点二斜率【练习 2】已知 A(1,2 31
2、)、B(1,1)，若直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，则直线 l 的斜率为()A1 B.33C.3D不存在解析：kAB2 31111 3，直线 AB 的倾斜角为 60，则直线 l 的倾斜角为 30，其斜率 ktan30 33.答案：B2 新视点名师博客1.倾斜角的理解(1)从运动变化的观点来看，当直线与 x 轴相交时，直线的倾斜角是由 x 轴按逆时针方向转动到直线重合时所成的角(2)倾斜角直观地描述表示了直线对 x 轴正方向的倾斜程度(3)不同的直线可以有相同的倾斜角2斜率的理解直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率，当倾斜角是 90时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，此
3、时，直线垂直于 x轴(平行于 y 轴或与 y 轴重合).3 新课堂互动探究 考点一直线的倾斜角例 1若直线 l 的向上方向与 y 轴的正方向成 30角，则直线 l 的倾斜角为()A30B60C30或 150 D60或 120分析：根据题意作图结合定义分析解析：如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60或 120.答案：D点评：解答这类问题要抓住几点进行分析：倾斜角的定义，注意旋转方向；倾斜角的取值范围0，180)；充分结合图形变式探究 1 已知直线 l1 的斜率为 0，直线 l1 与 l2 垂直，则直线l2 的倾斜角为()A0 B90C135 D180解析：直线 l1 的斜率为 0，
4、l1 的倾斜角为 0，即直线 l1 与 x轴平行或重合由于直线 l1 与 l2 垂直，直线 l2 与 x 轴垂直，其倾斜角为 90.答案：B考点二直线的斜率 例 2(1)如图，直线 l1 的倾斜角 130，直线 l1l2，求 l1、l2的斜率；(2)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率分析：(1)对于直线 l1 的斜率，可通过计算 tan30直接求得，而直线 l2 的斜率则需要先求出倾斜角 2，根据平面几何知识，2190，然后再求 tan2 即可(2)利用斜率公式求解，应注意分类讨论解析：(1)l1 的斜率 k1tan1tan30 33.l2 的倾斜角 29030120，l2 的
5、斜率 k2tan120tan(18060)tan60 3.(2)当 a3 时，斜率不存在；当 a3 时，直线的斜率 k 43a.答案：(1)k1 33，k2 3.(2)当 a3 时，斜率不存在；当 a3 时，k 43a.点评：求直线的斜率有两种方法：一种是已知倾斜角求直线的斜率，注意倾斜角为 90的情况；另一种是已知两点的坐标求直线的斜率，注意斜率不存在的情况变式探究 2 经过下列两点的直线斜率是否存在？如果存在，求其斜率(1)P(1,1)，Q(1，2)；(2)P(2，3)，Q(2,3)；(3)P(2,1)，Q(m,2)解析：(1)kPQ211132.(2)x1x2，斜率不存在(3)当 m2
6、时，斜率不存在；当 m2 时，kPQ21m21m2.考点三倾斜角与斜率的综合应用例 3已知两点 A(3,4)，B(3,2)，过点 P(1,0)的直线 l 与线段 AB有公共点(1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围；(2)求直线 l 的倾斜角 的取值范围分析：结合图形考虑，l 的倾斜角应介于直线 PB 与直线 PA 的倾斜角之间，要特别注意，当 l 的倾斜角小于 90时，有 kkPB；当 l 的倾斜角大于 90时，则有 kkPA.解析：如图，由题意可知 kPA 40311，kPB20311，(1)要使 l 与线段 AB 有公共点，则直线l 的斜率 k 的取值范围是 k1，或 k1.(2)由题意
7、可知直线 l 的倾斜角介于直线 PB 与 PA 的倾斜角之间，又 PB 的倾斜角是 45，PA 的倾斜角是 135，的取值范围是 45135.答案：(1)k1 或 k1(2)45135点评：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法当直线l 绕定点由与 x 轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与 y 轴平行(或重合)位置时，斜率由零逐渐增大到(即斜率不存在)，按顺时针方向旋转到与 y 轴平行(或重合)位置时，斜率由零逐渐减小到(即斜率不存在)这种方法既可以定性分析倾斜角与斜率的关系，也可以定量求解斜率和倾斜角的取值范围变式探究 3 已知直线 l 经过点 P(1,1)，且与线段 MN 相交，且
8、点 M、N 的坐标分别是(2，3)，(3，2)(1)求直线 PM 与 PN 的斜率；(2)求直线 l 的斜率 k 的取值范围解析：(1)由题意与斜率公式可知，直线 PM 与 PN 的斜率分别为：kPM3121 4，kPN213134.(2)如图所示，直线 l 相当于绕着点 P 在直线 PM 与 PN 间旋转，l是过 P 点且与 x 轴垂直的直线，当 l 由 PN 位置旋转到 l位置时，倾斜角增大到 90，又 kPN34，k34.又当 l 从 l位置旋转到 PM 位置时，倾斜角大于 90，又 kPM4.k4.综上所述，k(，434，.4新思维随堂自测1.若直线 l 过(2 3，9)和(6 3，1
9、5)两点，则直线 l 的倾斜角为()A60 B120C45 D135解析：设直线的倾斜角为，则 tan9152 36 3248 33，120.答案：B2经过两点 A(4,2y1)，B(2，3)的直线的倾斜角为 135，则 y等于()A1 B3C0 D2解析：135，ktan1，又 k32y124，y3.答案：B3关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A任一直线都有倾斜角，都存在斜率B倾斜角为 135的直线的斜率为 1C若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 ktanD直线斜率的取值范围是(，)解析：任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为 90时，斜率不存在，所以 A、C 错误；倾斜角为 135的直
10、线的斜率为1，所以 B 错误；只有 D 正确答案：D4如图，直线 l1，l2，l3 的斜率分别为 k1，k2，k3，则 k1，k2，k3之间的大小关系为_解析：设 l1，l2，l3 的倾斜角分别为 1，2，3，则由图可知 032901180，所以 tan2tan30，tan10，故 k1k3k2.答案：k1k3k25已知 A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)，若点 D 在线段 BC 上移动时，求直线 AD 斜率的变化范围解析：如图所示，kAB 234317，kAC2303 53.当 D 由 B 运动到 C 时，直线 AD 的斜率由 kAB 增大到 kAC，所以直线 AD 的斜率的变化范围是
11、17，53.5 辨错解走出误区易错点：不注意公式 ky2y1x2x1的应用条件【典例】已知直线过点 A(m，m3)，B(2，m)，求直线的斜率x1.【错解】因为直线过点 A(m，m3)，B(2，m)，所以直线的斜率 km3mm23m2，所以直线的斜率 k3m2.【错因分析】错解中忽略了斜率不存在的情况当 m2 时，过点A(2,5)，B(2,2)的直线垂直于 x 轴，此时倾斜角为 90，斜率不存在出现错误的原因是在解题过程中只注意一般情况，没有对特殊情况给予足够的重视，忽略了公式 ky2y1x2x1中的条件 x2【正解】当 m2 时，过两点 A(2,5)，B(2,2)的直线垂直于 x 轴，此时直线的斜率不存在；当 m2 时，过点 A(m，m3)，B(2，m)的直线斜率存在，直接代入公式，得直线的斜率 km3mm23m2.综上所述，m2 时，直线的斜率不存在；当 m2 时，直线的斜率为3m2.
