1、第一节坐 标 系本节主要包括 2 个知识点：1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；2.极坐标系.选修 44 坐标系与参数方程突破点(一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换基础联通抓主干知识的“源”与“流”设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：x，y的作用下，点 P(x，y)对应到点P(x，y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换x0y0考点贯通抓高考命题的“形”与“神”平面直角坐标系下图形的伸缩变换典例 求椭圆x24 y21，经过伸缩变换x12x，yy后的曲线方程解 由x12x，yy得到x2x，yy.将代入x24 y21，得4x24y21，即 x2y21.因此椭圆x
2、24 y21 经伸缩变换后得到的曲线方程是 x2y21.方法技巧应用伸缩变换公式时的两个注意点(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点 P 的坐标(x，y)与变换后的点 P的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式Xaxa0，Ybyb0建立联系(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)0，一般都要改写为方程 f(X，Y)0，再利用换元法确定伸缩变换公式 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换：x3x，2yy.求点 A13，2 经过 变换所得的点 A的坐标解：设 A(x，y)，由伸缩变换：x3x，2yy，得到x3x，y1
3、2y，由于点 A 的坐标为13，2，于是 x3131，y12(2)1，所以 A(1，1)为所求2求直线 l：y6x 经过：x3x，2yy变换后所得到的直线 l的方程解：设直线 l上任意一点 P(x，y)，由题意，将x13x，y2y代入 y6x 得 2y613x，所以 yx，即直线 l的方程为 yx.3求双曲线 C：x2y2641 经过：x3x，2yy变换后所得曲线C的焦点坐标解：设曲线 C上任意一点 P(x，y)，由题意，将x13x，y2y代入 x2y2641得x29 4y264 1，化简得x29 y216 1，即x29 y2161 为曲线 C的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，则所求焦点坐
4、标为 F1(5,0)，F2(5,0)4将圆 x2y21 变换为椭圆x29 y241 的一个伸缩变换公式为：Xaxa0，Ybyb0，求 a，b 的值解：由Xax，Yby知x1aX，y1bY，代入 x2y21 中得X2a2Y2b21，所以 a29，b24，即 a3，b2.突破点(二)极坐标系基础联通抓主干知识的“源”与“流”1极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个O，点 O叫做极点，自极点 O 引一条Ox，Ox 叫做极轴；再选定一个、一个_(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系定点射线长度单位角度单位(2)极坐标一般地，没有特殊说明时，我们认为 0，可
5、取任意实数(3)点与极坐标的关系一般地，极坐标(，)与_表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为_，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示如果规定 0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(，)表示；同时，极坐标(，)表示的点也是唯一确定的(，2k)(kZ)(0，)(R)2极坐标与直角坐标的互化点 M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式x_，y_2x2y2，tan yxx0cos sin 考点贯通抓高考命题的“形”与“神”极坐标与直角坐标的互化1极坐标方程化为直角坐标方程的步骤第一步判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重
6、合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化第二步通过极坐标方程的两边同乘 或同时平方构造 cos，sin，2 的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解第三步根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式xcos，ysin 及 2x2y2 将极坐标方程转化为直角坐标方程2直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的 x，y 分别用 cos，sin 代替即可得到相应极坐标方程(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算；第二
7、步，根据角 的正切值 tan yx(x0)求出角(若正切值不存在，则该点在 y 轴上)，问题即解例 1 在极坐标系下，已知圆 O：cos sin 和直线l：sin4 22.(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当(0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解(1)圆 O：cos sin，即 2cos sin，圆 O 的直角坐标方程为：x2y2xy，即 x2y2xy0，直线 l：sin4 22，即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10.解(2)由x2y2xy0，xy10得x0，y1，则直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为1，2.(2)当(
8、0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标方法技巧1应用互化公式的三个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点(2)以 x 轴的正半轴为极轴(3)两种坐标系规定相同的长度单位2直角坐标化为极坐标时的两个注意点(1)根据终边相同的角的意义，角 的表示方法具有周期性，故点 M 的极坐标(，)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定 0，0,2)时，除极点外，点 M的极坐标是唯一的(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角 应注意判断点 M 所在的象限(即角 的终边的位置)，以便正确地求出角(0,2)的值极坐标方程的应用例 2(2017福州五校联考)已知曲线 C 的极坐标方程为 22 2
9、cos4 20.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系 xOy.(1)若直线 l 过原点，且被曲线 C 截得的弦长最小，求直线 l 的直角坐标方程；(2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点 M 的直角坐标为(x，y)，求 xy 的最大值解(1)22 2cos4 20，即 22cos 2sin 20，将xcos，ysin 代入得曲线 C 的直角坐标方程为(x1)2(y1)24，圆心 C(1，1)，若直线 l 被曲线 C 截得的弦长最小，则直线 l 与 OC 垂直，即 klkOC1，kOC1，因而 kl1，故直线 l 的直角坐标方程为 yx.解 因为 M 是曲线
10、C 上的动点，因而利用圆的参数方程可设x12cos，y12sin(为参数)，则 xy2sin 2cos 2 2sin4，当 sin4 1 时，xy 取得最大值 2 2.(2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点 M 的直角坐标为(x，y)，求 xy 的最大值易错提醒用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决能力练通抓应用体验的“得”与“失”1已知直线 l 的极坐标方程为 2sin4 2，点A 的极坐标为 A2 2，74，求点 A 到直线 l 的距离解：由 2sin4 2，得 222 sin 22
11、cos 2，由坐标变换公式，得直线 l 的直角坐标方程为 yx1，即 xy10.由点 A 的极坐标为2 2，74 得点 A 的直角坐标为(2，2)，所以点 A 到直线 l 的距离 d|221|2 22.考点一、二2已知圆 C 的极坐标方程为 22 2sin440，求圆 C 的半径解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点 O，以极轴为 x 轴的正半轴，建立直角坐标系 xOy.圆 C 的极坐标方程为 22 222 sin 22 cos 40，化简，得 22sin 2cos 40.由坐标变换公式，得圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y40，即(x1)2(y1)26，所以圆 C 的半径为 6.
12、考点一3考点二在极坐标系中，直线(sin cos)a 与曲线 2cos 4sin 相交于 A，B 两点，若|AB|2 3，求实数 a 的值解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 xya0，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x1)2(y2)25，所以圆心 C 的坐标为(1，2)，半径 r 5，所以圆心 C 到直线的距离为|12a|2r2|AB|22 2，解得 a5 或 a1.故实数 a 的值为5 或1.4考点一、二(2017洛阳统考)已知圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程分别为 2，22 2cos4 2.(1)将圆 O1 和圆 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极
13、坐标方程解：(1)由 2 知 24，由坐标变换公式，得 x2y24.因为 22 2cos4 2，所以 22 2cos cos4sin sin4 2.由坐标变换公式，得 x2y22x2y20.解：将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为 xy1.化为极坐标方程为 cos sin 1，即 sin4 22.(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程全国卷 5 年真题集中演练明规律1(2016全国乙卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xacos t，y1asin t(t 为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：4cos.(1)说明 C1 是
14、哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.解：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2(y1)2a2，则 C1 是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆将 xcos，ysin 代入 C1 的普通方程中，得到 C1 的极坐标方程为 22sin 1a20.解：曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程组22sin 1a20，4cos.若 0，由方程组得 16cos28sin cos 1a20，由已知 tan 2，可得 16cos28sin cos 0，从而 1a20
15、，解得 a1(舍去)或 a1.当 a1 时，极点也为 C1，C2 的公共点，且在 C3 上所以 a1.(2)直线 C3 的极坐标方程为 0，其中 0 满足 tan 02，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.2(2015新课标全国卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x2，圆 C2：(x1)2(y2)21，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1，C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积解：(1)因为 xcos，ysin，所以 C1 的极坐标方程为 cos 2，C2 的极坐标方程为 22cos 4sin 40.解：将 4代入 22cos 4sin 40，得23 240，解得 12 2，2 2.故 12 2，即|MN|2.由于 C2 的半径为 1，所以C2MN 的面积为12.(2)若直线 C3 的极坐标方程为 4(R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求C2MN 的面积