1、第五节三角恒等变换本节主要包括 3 个知识点：1.三角函数的化简求值；2.三角函数的条件求值；3.三角恒等变换的综合问题.突破点(一)三角函数的化简求值基础联通抓主干知识的“源”与“流”1两角和与差的正弦、余弦、正切公式C()cos()cos cos sin sin C()cos()_S()sin()S()sin()T()tan()_；变形：tan tan tan()(1tan tan)T()tan()_；变形：tan tan tan()(1tan tan)cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin tan tan 1tan tan tan
2、tan 1tan tan 2.二倍角公式S2sin 2；变形：1sin 2(sin cos)2，1sin 2(sin cos)2C2cos 2；变形：cos2_，sin2_T2tan 2_2sin cos cos2sin22cos2112sin21cos 221cos 222tan 1tan2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”三角函数式的化简1三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值2常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等例 1 已知(0，)，化简：1si
3、n cos cos2sin222cos _.解析 原式2cos222sin2cos2 cos2sin24cos22.因为(0，)，所以20，2，所以 cos20，所以原式2cos222sin2cos2 cos2sin22cos2 cos2sin2 cos2sin2cos22sin22cos.答案 cos 方法技巧 三角函数式的化简要遵循“三看”原则三角函数的给角求值例 2 求值：(1)1cos 202sin 20 sin 101tan 5tan 5；解 原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10co
4、s25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10 cos 102sin30102sin 10cos 10212cos 10 32 sin 102sin 10 3sin 102sin 10 32.解 sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50cos6010cos 60cos 102sin 50cos 50cos 10 sin 10
5、0cos 10 cos 10cos 101.(2)sin 50(1 3tan 10)方法技巧给角求值问题的解题规律解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.计算：1cos210cos 80 1cos 20()A.22 B.12C.32D 22解析：1cos210cos 80 1cos 20sin210sin 10 112s
6、in210 sin2102sin210 22.答案：A 考点二2考点二(1tan 18)(1tan 27)的值是()A 3B1 2C2 D2(tan 18tan 27)解析：原式1tan 18tan 27tan 18tan 271tan 18tan 27tan 45(1tan 18tan 27)2，故选 C.答案：C 3.化简：sin 2cos 21sin 2cos 21sin 4_.解析：sin 2cos 21sin 2cos 21sin 4sin22cos 2122sin 2cos 2sin22cos222cos 212sin 2cos 22cos222cos 22sin 2cos 21c
7、os 2sin 22sin22sin cos sin cos tan.答案：tan 考点一4.化简：2cos4x2cos2x122tan4x sin24x_.解析：原式2sin2xcos2x122sin4x cos24xcos4x121sin22x2sin4x cos4x12cos22xsin22x12cos 2x.答案：12cos 2x考点一突破点(二)三角函数的条件求值考点贯通抓高考命题的“形”与“神”给值求值问题例 1(2017合肥模拟)已知 cos6 cos314，3，2.(1)求 sin 2 的值；(2)求 tan 1tan 的值解(1)cos 6 cos 3 cos6 sin 6
8、12sin23 14，sin23 12.3，2，23，43，cos23 32，sin 2sin23 3 sin23 cos3cos23 sin312.解 3，2，223，又由(1)知 sin 212，cos 2 32.tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 2cos 2sin 22 32122 3.(2)求 tan 1tan 的值易错提醒给值求值问题的求解思路(1)先化简所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值给值求角问题例 2(1)设，为钝角，且 sin 55，cos 3 101
9、0，则 的值为()A.34B.54C.74D.54 或74 解析(1)，为钝角，sin 55，cos 3 1010，cos 2 55，sin 1010，cos()cos cos sin sin 22 0.又(，2)，32，2，74.答案 C解析 tan tan()tantan 1tantan 121711217130，00，(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则2 的值为_022，tan(2)tan 2tan 1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.答案 34方法技巧给值求角时选取函数的原则和解题步骤(1)通过先求角的某个三角函数值来求角
10、，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数若角的范围是0，2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，选余弦函数较好；若角的范围为2，2，选正弦函数较好方法技巧(2)解给值求角问题的一般步骤：求角的某一个三角函数值；确定角的范围；根据角的范围写出所求的角的大小 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.已知 sin 213，则 cos24()A.13B.23C23D13解析：cos24 1cos2221sin 221132 23.答案：B考点一2.(2017深圳模拟)若，都是锐角，且 cos 55，sin()1010，则 cos()A.22B.
11、210C.22 或 210D.22 或 210解析：，都是锐角，且 cos 55，sin()1010，sin 2 55，cos()3 1010，从而 cos cos()cos cos()sin sin()22，故选 A.答案：A 考点一3.(2017成都模拟)若 sin 2 55，sin()1010，且4，32，则 的值是()A.74B.94C.54 或74D.54 或94考点二解析：因为 4，所以 22，2，又 sin 2 55，所以 22，4，2，故 cos 22 55.又，32，所以 2，54，故 cos()3 1010.所以 cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin(
12、)2 553 1010 55 1010 22，又 54，2，故 74.答案：A 4.考点二若锐角，满足(1 3tan)(1 3tan)4，则 _.解析：因为(1 3tan)(1 3tan)4，所以 1 3(tan tan)3tan tan 4，即 3(tan tan)33tan tan 3(1tan tan)，即 tan tan 3(1tan tan)tan()tan tan 1tan tan 3.又，为锐角，3.答案：35.已知 2，且 sin2cos2 62.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35，2，求 cos 的值解：(1)已知 sin2cos2 62，两边同时平方，得 12
13、sin2cos232，则 sin 12.又2，所以 cos 1sin2 32.考点一解：因为2，2，所以20)，函数 f(x)mn 的最大值为 6.(1)求 A；(2)将函数 yf(x)的图象向左平移 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在0，524 上的值域解(1)f(x)mn 3Asin xcos xA2cos 2xA32 sin 2x12cos 2xAsin2x6.因为 A0，由题意知 A6.解 由(1)知 f(x)6sin2x6.将函数 yf(x)的图象向左平移 12个单位后得到 y6sin2x 12 6 6si
14、n2x3 的图象；(2)将函数 yf(x)的图象向左平移 12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在0，524 上的值域再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到 y6sin4x3 的图象因此 g(x)6sin4x3.因为 x0，524，所以 4x33，76，故 g(x)在0，524 上的值域为3,6方法技巧三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用(1)图象变换问题先根据和角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数 yAsin(x)t 或余弦型函数 yAcos(x)t的形式，再进行图象变换(2)函数性质问题
15、求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成 yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的形式；方法技巧利用公式 T2(0)求周期；根据自变量的范围确定 x 的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数 yAsin(x)t 或 yAcos(x)t 的单调区间 能力练通抓应用体验的“得”与“失”1已知函数 f(x)2sin xsinx6.(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；解：f(x)2sin x32 sin x12cos x
16、 31cos 2x212sin 2xsin2x3 32.所以函数 f(x)的最小正周期为 T.由22k2x322k，kZ，解得 12kx512k，kZ，所以函数 f(x)的单调递增区间是 12k，512k，kZ.解：当 x0，2 时，2x33，23，sin2x3 32，1，f(x)0，1 32.故 f(x)的值域为0，1 32.(2)当 x0，2 时，求函数 f(x)的值域2已知函数 f(x)3sin xcos x1，xR(其中 0)(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 yf(x)的图象与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为2，求函数 yf(x)的单调增区间解：(1)f(x)232 si
17、n x12cos x 12sinx6 1.由1sinx6 1，得32sinx6 11.所以函数 f(x)的值域为3,1解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，yf(x)的周期为，所以2，即 2.所以 f(x)2sin2x6 1，由 2k22x62k2(kZ)，得 k6xk3(kZ)所以函数 yf(x)的单调增区间为k6，k3(kZ)(2)若函数 yf(x)的图象与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为2，求函数 yf(x)的单调增区间3已知函数 f(x)2cos2x12 3sin xcos x(01)，直线 x3是函数 f(x)的图象的一条对称轴(1)求函数 f(x)的单调递增区间；解：f(x)
18、cos 2x 3sin 2x2sin2x6，由于直线 x3是函数 f(x)2sin2x6 的图象的一条对称轴，所以 sin23 6 1，因此23 6k2(kZ)，解得 32k12(kZ)，又 01，所以 12，所以 f(x)2sinx6.由 2k2x62k2(kZ)，得 2k23 x2k3(kZ)，所以函数 f(x)的单调递增区间为2k23，2k3 (kZ)解：由题意可得 g(x)2sin12x23 6，即 g(x)2cosx2，由 g23 2cos1223 2cos6 65，得 cos6 35，(2)已知函数 yg(x)的图象是由 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，然后再向
19、左平移23 个单位长度得到的，若g23 65，0，2，求 sin 的值又 0，2，故6623，所以 sin6 45，所 以sin sin 6 6 sin 6 cos 6 cos6 sin645 32 35124 3310.全国卷 5 年真题集中演练明规律1.(2016全国甲卷)函数 f(x)cos 2x6cos2x 的最大值为()A4 B5C6 D7解析：f(x)cos 2x6cos2x cos 2x6sin x12sin2x6sin x2sin x322112，又 sin x1,1，当 sin x1 时，f(x)取得最大值 5.故选 B.答案：B 2(2015新课标全国卷)sin 20cos
20、 10cos 160sin 10()A 32B.32C12D.12解析：sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 3012，故选 D.答案：D3(2014新课标全国卷)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，则()A32B22 C32 D22解析：由条件得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos(1sin)，sin()cos sin2，因为22，022，所以 2，所以 22.答案：B 4(2013新课标全国卷)已知 sin 223，则 cos24()A.16B.13 C.12 D.23解析：cos24 121cos22 12(1sin 2)16.答案：A5(2013新课标全国卷)设 为第二象限角，若 tan4 12，则 sin cos _.解析：将 tan4 12利用两角和的正切公式展开，则tan 11tan 12，求得 tan 13.又因为 在第二象限，则 sin 110，cos 310，从而 sin cos 210 105.答案：105