1、第十一章算法框图及推理与证明单元能力测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1下列命题正确的是()(i)21；i3i；若ab，则aibi；若zC，则z20.ABC D答案A2.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于()A7B15C31D63答案D解析由程序框图可知，本算法动行5次，每次将2B1的值再赋给B，B的值依次为1,3,7,15,31,63.3下列推理正确的是()A把a(bc)与loga(xy)类比，则有loga(xy)logaxlogayB把a(bc)与sin(xy)类比，则有sin(xy)sinxsinyC把(ab)n与(xy)n类比，则有(xy)nxnynD
2、把(ab)c与(xy)z类比，则有(xy)zx(yz)答案D4一个同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆，表示实心圆)，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2009个圆中实心圆的个数为()A59 B60C61 D62答案C解析将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2009个圆中实心圆的个数，因此，找到第2009个圆所在的段数很重要，由23626119522009，因此，共有61个实心圆，故选C.5设函数f(x)定义如下表，数列xn满足x05，且对任意的自然数均为xn1f(xn)，则x2008()x1234
3、5f(x)41352A.1 B2C4 D5答案D解析探求周期性：x1f(x0)f(5)2，x2f(2)1，x3f(1)4，x4f(4)5，x5f(5)2，数列xn是周期为4的周期数列，x2008x05.6数列an，已知a11，当n2时anan12n1，依次计算a2、a3、a4后，猜想an的表达式是()A3n2 Bn2C3n1 D4n3答案B解析计算出a24，a39，a416，猜想ann2，故选B.7已知a是实数是纯虚数，则a等于()A1 B1C. D答案A解析是纯虚数，则故a1.8给出30个数：1,2,4,7，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第
4、3个数大3，以此类推要计算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图(如图所示)，则在图中判断框中处和执行框中的处应填的语句分别为()Ai30，ppiBi30，ppiCi30，ppiDi30，ppi答案A解析因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因为判断框内的条件就是限制计数变量i的，这个流程图中判断框的向下的出口是不满足条件继续执行循环，故应为i30.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大i1，第i1个数比其前一个数大i，故应有ppi.故处应填i30；处应填ppi.9已知命题：平面直角坐标系xOy中，ABC的顶点A
5、(p,0)和C(p,0)，顶点B在椭圆1(mn0，p)上，椭圆的离心率是e，则.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题()A. B.eC.e D.答案D解析由正弦定理和椭圆定义，类比双曲线应有.10设m、n是不同的直线，是不同的平面，有以下四个命题：；m；m.其中正确的是()A BC D答案C解析用排除法，是对的，故排除B项和D项，m是错的，此时m和平面可以是平行、相交或m在平面内，又排除A项故选C.11.已知如图所示的程序框图(未完成)设当箭头a指向时，输出的结果为sm，当箭头a指向时，输出的结果为sn，则mn()A30 B20C15 D5答案B解析(1)当箭头a指向时，输出s和i的结果如
6、下：s0102030405t2 3 4 5 6sm5.(2)当箭头a指向时，输出s和i的结果如下：s01 012 0123 01234 012345t 23 4 5 6 sn1234515.于是mn20.12(2010厦门华侨中学)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是()AB*D，A*D BB*D，A*CCB*C，A*D DC*D，A*D答案B解析由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示，C表示，D表示，故图(A)(B)表示B*D和A*C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，
7、把答案填在题中横线上)13(2010江苏前黄高中)某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证：|f(x1)f(x2)|，那么它的假设应该是_答案“x1，x20,1，使得|f(x1)f(x2)|0，nN*)，bma，bnb(mn，m、nN*)，若类比上述结论，则可得到bmn_.答案解析等差数列中bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中bnam可以类比等比数列中的，等差数列中可以类比等比数列中的.16下面是按照一定规律画出的一列“树型”，如下图设第n个图有an个树枝，则an
8、1与an(n2)之间的关系是_答案an12an2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.解析假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0.ax22y，by22z，cz22x，x22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)2(3)0，又(x1)2(y1)2(z1)20，30，(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.式与式矛盾，假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.18(1)根据程序框图编写计算程序并说明程序的运算功能；(2)求当
9、a98，b63时，该程序结束的结果解析(1)NIPUT“a，b”；a，bWHILE abIFabTHENaabELSEbbaENDIFWENDPRINT“a，b”；a，bEND运算功能：求两个数的最大公约数(更相减损术)(2)986335,633528,35287,28721,21714,1477，98和63的最大公约数等于7，即程序结果为a7，b7.19(本小题满分12分)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2R，a1a21，求证：aa.证明：构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2，因为对一切xR，恒有f(x)0，所以48(aa)0，从而得aa，(1)若a1，a2，anR
10、，a1a2an1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述解法，对你推广的结论加以证明解析(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，求证：aaa.(2)构造函数f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xaaanx22xaaa，因为对一切xR，都有f(x)0，所以44n(aaa)0，从而证得：aaa.20(本小题满分12分)(1)证明：当a1时，不等式a3a2成立；(2)要使上述不等式a3a2成立，能否将条件“a1”适当放宽？若能，请放宽条件并简述理由；若不能，也请说明理由；(3)请你依据(1)、(2)的证明，试写出一个类似的更为一般的结论，并给予证明分析作差比较是证
11、明不等式的最基本方法，本题第(1)问通过左右两式之差是否大于零的证明，得出结论成立；再从第(1)问的证明过程发现其中的条件“a1”能放宽，从而回答第(2)问，并得到第(3)问的答案解析(1)a3a2(a1)(a51)a1，(a1)(a51)0，原不等式成立(2)a1与a51同号，(a1)(a51)0对任何a0且a1恒成立，上述不等的条件可放宽为a0且a1.(3)根据(1)(2)的证明，可推知：若a0且a1，mn0，则有aman.证明：左式右式amanan(amn1)(amn1)(amn1)(amn1)若a1，则由mn0amn1，amn1不等式成立；若0an00amn1,0amn2，证明：Sn1
12、，an1an1，22，即Sn2.22(本小题满分12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；(3)求的值解析(1)f(5)41.(2)因为f(2)f(1)441，f(3)f(2)842，f(4)f(3)1243，f(5)f(4)1644，由上式规律，所以得出f(n1)f(n)4n.因为f(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)当n2时，()，1(1)1(1).