1、专题突破练10三角函数与解三角形解答题1.(2021山东滨州期中)已知向量a=(cos x,sin x),b=(4sin x,4sin x),若f(x)=a(a+b).(1)求f(x)的单调递减区间;(2)求f(x)在区间上的最值.2.(2021北京丰台区模拟)如图,ABC中,B=45,N是AC边的中点,点M在AB边上,且MNAC,BC=,MN=.(1)求A;(2)求BM.3.(2021山东潍坊二模)如图,D为ABC中BC边上一点,B=60,AB=4,AC=4.给出如下三种数值方案:AD=;AD=;AD=2.判断上述三种方案所对应的ABD的个数,并求ABD唯一时,BD的长.4.(2021海南海
2、口月考)在ABC中,已知a,b,c分别是角A,B,C的对边,bcos C+ccos B=4,B=.请再在下列三个条件:(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B;b=4;csin B=bcos C中,任意选择一个,添加到题目的条件中,求ABC的面积.5.(2021辽宁大连一模)如图,有一底部不可到达的建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;注:测量报告中包括你使用的工具,测量方法的文字说明与
3、图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式.(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差情况进行说明.6.(2021湖北武汉3月质检)在ABC中,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,b=.(1)若cos Acos C=,求ABC的面积;(2)试问=1能否成立?若能成立,求此时ABC的周长;若不能成立,请说明理由.7.(2021湖南长沙模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且=sin B-sin A.(1)求角A;(2)若a=2,求的最小值.8.(2021江苏
4、南京期中)如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径AB为6,O是圆心,且OCAB.在OC上有一座观赏亭Q,其中AQC=.计划在上再建一座观赏亭P,记POB=.(1)当=时,求OPQ的大小;(2)当OPQ越大时,游客在观赏亭P处的观赏效果越佳,当游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,求sin 的值.专题突破练10三角函数与解三角形解答题1.解 由于f(x)=a(a+b)=|a|2+ab=1+4sin xcos x+4sin2x=1+2sin 2x+4=2sin 2x-2cos 2x+3=4sin+3.(1)由+2k2x-+2k(kZ),解得+kx+k(kZ),所以f(x)的单调递减区间是(kZ).(2)
5、由于x,所以2x-,故当2x-即x=时,函数f(x)取最大值7;当2x-=-即x=0时,函数f(x)取最小值1.2.解 (1)如图,连接MC,因为N是AC边的中点,且MNAC,所以MC=MA.在RtAMN中,MA=,所以MC=在MBC中,由正弦定理可得,而BMC=2A,所以,即,所以cos A=,故A=60.(2)由(1)知MC=MA=2,BMC=2A=120.在BCM中,由余弦定理得BC2=BM2+MC2-2BMMCcosBMC,所以=BM2+22-2BM2cos 120,解得BM=-1(负值舍去).3.解 过点A作AEBC,垂足为点E(图略),则AE=4sin 60=2,当AD=时,ADA
6、E,所以方案对应ABD无解,当AD=时,AEADABAC,所以方案对应ABD有两解,当AD=2时,ABAD0),所以在ABD中由余弦定理得(2)2=42+x2-24xcos 60,即x2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去).又因为在ABC中易得BC=8,BD=6a,所以BA,因此A=不合题意舍去,故A=,从而C=-故ABC的面积S=absin C=44sin=4(+1).若选择条件,因为bcos C+ccos B=4,所以b+c=4,所以a=4.因为csin B=bcos C,所以sin Csin B=sin Bcos C,所以tan C=,于是C=,从而A=-,所以由正弦定理可得,
7、所以b=4(-1),故ABC的面积S=absin C=44(-1)sin=4(-1).5.解 (1)选用测角仪和米尺,如图所示.选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上;在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为,HG=a,即CD=a.测得测角仪器的高是h;(方法一)在ACD中,由正弦定理,得,所以AC=,在RtACE中,有AE=ACsin =,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(方法二)在RtADE中,DE=,在RtACE中,CE=,所以CD=DE-CE=,所以AE=,所以建筑物的高度AB=AE+h=+h.(2)测量工具问题;两次测量时位置的间距差;用身高代替测角仪的高度.6.解
8、 (1)由B=,得A+C=,cos(A+C)=cos Acos C-sin Asin C,即=cos Acos C-sin Asin C.因为cos Acos C=,所以sin Asin C=因为=2,所以a=2sin A,c=2sin C.所以SABC=2sin A2sin Csin B=4sin Asin Bsin C=4(2)假设=1能成立,所以a+c=ac.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B,所以6=a2+c2+ac.所以(a+c)2-ac=6,所以(ac)2-ac-6=0,所以ac=3或ac=-2(舍去),此时a+c=ac=3.不满足a+c2,所以=1不成立.7.解 (
9、1)由=sin B-sin A,可得(b-c)sin C=(sin B-sin A)(b+a),由正弦定理得(b-c)c=(b-a)(b+a),即b2+c2-a2=bc,由余弦定理,得cos A=,因为0A0),可得2R=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bcbc,即bca2=4,当且仅当b=c=2时取等号,又,所以的最小值为8.解 (1)在POQ中,因为AQC=,所以AQO=又OA=OB=3,所以OQ=设OPQ=,则PQO=-+.由正弦定理,得,即sin =cos(-),整理得tan =,其中当=时,tan =因为,所以=故当=时,OPQ=(2)设f()=,则f()=令f()=0,得sin =,记锐角0满足sin 0=,当00;当0时,f()0,则,又y=tan 单调递增,则当tan 取最大值时,也取得最大值.故游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时,sin =
