1、第六篇 不等式(必修5)第 4 节 基本不等式 最新考纲1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.返回导航返回导航提示：在 a2b22ab 中，a，bR，而在 ab2 ab中要求 a0，b0.【教材导读】1不等式 a2b22ab 与 ab2 ab的应用条件是什么？2函数 yx1x的值域，以及函数 yx1x(x2)的值域均能利用基本不等式求解吗？若能，请求出其值域若不能请说明理由？返回导航提示：对于函数 yx1x可以利用基本不等式求解当 x0 时，yx1x2(当且仅当 x1 时取“”)；当 x0，b0.(2)等号成立的条件当且仅当_时取等号(3)其中ab2 称为
2、正数 a，b 的_，ab称为正数 a，b 的_返回导航ab算术平均数几何平均数2利用基本不等式求最值(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 a，b 为正实数，且 abM，M 为定值，则 abM24，等号当且仅当_时成立(简记：和定积最大)(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若 a，b 为正实数，且 abP，P 为定值，则 ab2 P，等号当且仅当_时成立(简记：积定和最小)返回导航abab3几个常用的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)abab22(a，bR)(3)ab22a2b22(a，bR)(4)baab2(ab0)(5)21a1b abab2 a2b22(
3、a0，b0)返回导航1已知 a，bR，且 ab0，则下列结论恒成立的是()(A)ab2 ab(B)a2b22ab(C)abba2 (D)abba 2返回导航D 解析：对于 A，当 a，b 为负数时，ab2 ab不成立；对于 B，当 ab 时，a2b22ab 不成立；对于 C，当 a，b 异号时，baab2 不成立；对于 D.因为ba，ab同号，所以baab ba ab 2ba ab 2(当且仅当|a|b|时取等号)，即baab 2 恒成立故选 D.返回导航2下列各函数中，最小值为 2 的是()(A)yx1x(B)ysin x 1sin x，x(0,2)(C)y x22x22(D)y x 4x2
4、返回导航D 解析：当 x1 时，yx1x2，排除 A；当 sin x1 时，ysin x 1sin x2，排除 B；当 x0 时，y x22x22 2，排除 C；对于 y x 4x2，利用基本不等式可得 y2 422，当且仅当 x4时，等号成立，故 D 满足条件返回导航3若 2x2y1，则 xy 的取值范围是()(A)0,2 (B)2,0(C)2，)(D)(，2返回导航D 解析：因为 12x2y2 2x2y，即 2xy22，所以 xy2，当且仅当 2x2y，即 xy 时取等号故选 D.4若直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，则 ab 的最小值等于()(A)2 (B)3(C)4 (D)5
5、返回导航C 解析：法一 因为直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，所以1a1b1，所以 11a1b21a1b 2ab(当且仅当 ab2 时取等号)，所以 ab2.又 ab2 ab(当且仅当 ab2 时取等号)，所以 ab4(当且仅当 ab2 时取等号)，故选 C.法二 因为直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，所以1a1b1，所以 ab(ab)1a1b 2abba22abba4(当且仅当 ab2 时取等号)，故选 C.返回导航5已知 x0，y0 且(x1)(y1)2，则 xy 的取值范围是_返回导航解析：由(x1)(y1)2 得 xy(xy)12，所以 xyxy1.因为 xy(xy
6、)2xy22，所以 xyxy241.令 xyt(t0)，则原式可化为 t24t40，所以 t2 22，即 xy2 22，)答案：2 22，)返回导航考点一 利用基本不等式求最值(1)已知函数 yalog2xb(a0，b0)的图象过点14，1，则2a1b的最小值为_(2)求 f(x)x22x6x1(x1)的最小值解析：(1)由函数 yalog2xb(a0，b0)的图象图象过点14，12ab1，可得2a1b(2ab)2a1b 42ab 12ba 522ab 2ba9，即可详解：函数 yalog2xb(a0，b0)的图象过点14，1，alog214b12ab1，2b1b(2ab)2a1b 42ab
7、12ba 522ab 2ba 9，(当且仅当2ab 2ba，即 ab 时取等号)故答案为：9.返回导航(2)因为 x1，所以 x10，由 f(x)x22x6x1x124x5x1x124x19x1x1 9x14.因为 x1 9x12x1 9x16，所以 f(x)642，当且仅当 x1 9x1，即 x2 时，f(x)有最小值 2.返回导航【反思归纳】(1)利用基本不等式求最值需注意以下三个方面：各数(式)均为正；和或积为定值；等号能否成立这三个条件缺一不可，为便于记忆简述为“一正、二定、三相等”(2)合理拆分项或配凑因式或“1”代换是常用技巧，目的是构造出基本不等式的框架形式(3)当多次使用基本不
8、等式时，要保证等号能同时取得返回导航【即时训练】(1)已知 x54，求 f(x)4x214x5的最大值；(2)函数 f(x)1logax(a0，a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mxny20 上，其中 mn0，求1m1n的最小值返回导航解析：(1)因为 x54，所以 54x0，则 f(x)4x214x554x154x 3231，当且仅当 54x154x，即 x1 时，等号成立故 f(x)4x214x5的最大值为 1.(2)因为 loga10，所以 f(1)1，故函数 f(x)的图像恒过定点 A(1,1)又点 A 在直线 mxny20 上，所以 mn20，即 mn2.返回导航而1m1n
9、121m1n(mn)122nmmn，因为 mn0，所以nm0，mn0.由基本不等式，可得nmmn2nmmn2(当且仅当 mn 时等号成立)，所以1m1n122nmmn 12(22)2，即1m1n的最小值为 2.返回导航考点二 利用基本不等式证明不等式 已知 x，y，z 是互不相等的正数，且 xyz1，求证：(1x1)(1y1)(1z1)8.返回导航解析：因为 x，y，z 是互不相等的正数，且 xyz1，所以1x11xx yzx 2 yzx，1y11yy xzy 2 xzy，1z11zz xyz 2 xyz，又 x，y，z 为正数，由，得1x1 1y1 1z1 8.返回导航【反思归纳】利用基本不
10、等式证明不等式的策略(1)若要证明的不等式不能直接使用基本不等式，则考虑利用拆项、配凑等方法对要证不等式进行变形，使之达到能使用基本不等式的条件(2)若题目中还有已知条件，则首先观察已知条件和要证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换(3)解题时要时刻注意取得等号的条件能否成立返回导航【即时训练】设 a，b 均为正实数，求证：1a2 1b2ab2 2.返回导航证明：由于 a，b 均为正实数，所以 1a2 1b221a2 1b2 2ab，当且仅当 1a2 1b2，即 ab 时等号成立，又因为 2abab22abab2 2，当且仅当 2abab 时等号成立，所以 1a2 1
11、b2ab 2abab2 2，当且仅当 1a2 1b2，2abab即 ab4 2时取等号返回导航考点三 基本不等式的实际应用 首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元返回导航(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月
12、能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？返回导航解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx12x80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当12x80 000 x，即 x400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元返回导航(2)不获利设该单位每月获利为 S 元，则 S100 xy100 x12x2200 x80 000 12x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 x400,600，所以 S80 000，40 000故该单位每
13、月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损返回导航【反思归纳】应用基本不等式解决实际问题的基本步骤(1)理解题意，设出变量，建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(2)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(3)还原为实际问题，写出答案返回导航【即时训练】某人准备在一块占地面积为 1 800 平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为 1 米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为 S 平方米，其中 ab12.返回导航(1)试用 x，y 表示 S；(2)若要使 S 的值最大，则 x，y 的值各为多少？返回导航解析：(1)由题意可得，xy
14、1800，b2a，则 yab33a3，所以 S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)y33 18083x83y(x3，y3)(2)解法一 S18083x831800 x18083x4800 x180823x4800 x 18082401568，当且仅当 3x4800 x，即 x40 时等号成立，S 取得最大值，此时 y1800 x 45，所以当 x40，y45 时，S 取得最大值返回导航解法二 设 Sf(x)1808(3x4800 x)(x3)，则 f(x)4800 x2 3340 x40 xx2，令 f(x)0，则 x40，当 0 x40 时，f(x)0；当 x40 时，f(x)0.所以当 x40 时，S 取得最大值，此时 y45，所以当 x40，y45 时，S 取得最大值返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！