1、2015-2016学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A0，90）B0，180）C90，180）D（90，180）2如果直线ax+2y+2=0与3xy2=0互相垂直，那么系数a=（）A3B6CD3若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则（）AacBa，c是异面直线Ca，c相交Da，c的位置关系不确定4已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，则m的值为（）A0B8C2D105空间四边形ABCD中，AD=B
2、C=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD，BC所成的角为（）A30B60C90D1206直线kxy+12k=0，当k变动时，所有直线都过定点（）A（0，0）B（0，1）C（3，1）D（2，1）7已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n8ABC的三个顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（1，0），点P（x，y）在ABC内部及边界上运动，则z=y2x的最大值为（）A4B5C2D39在ABC中，AB=5，AC=7，A=60，G是重心，过G的平面与BC平行，AB=M，AC=N，则MN=（
3、）ABCD10某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A1800元B2400元C2800元D3100元11如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为4512如图，已知A（4，0
4、）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A2B6C3D2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13点（1，1）到直线3x4y2=0的距离为_14如图，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，且侧棱垂直于底面，则二面角C1ABC的正切值为_15若A（a，0）、B（0，b）、C（2，2）（ab0）三点在同一直线上，则=_16四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，顶点S在底面的射影是底面正方形的中心O，SO=2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持
5、PEAC，则动点P的轨迹的周长为_三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（1）已知ABC三个顶点坐标为A（2，1），B（2，2），C（4，1），求三角形AC边上的中线所在直线方程；（2）倾斜角为60且与直线5xy+2=0有相同纵截距的直线方程18如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E，F分别是AB，BC的中点（1）求证：AB平面CDE； （2）求证：EF平面ACD19如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y6=0，点T（1，1）在AD边所在直线上求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所
6、在的直线方程20如图，已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点（1）求证：平面PED平面PAE；（2）求直线PD与平面PAE所成的角21已知三条直线l1：2xy+a=0（a0），直线l2：4x+2y1=0和l3：x+y+3=0，且l1与l2间的距离是（1）求a的值； （2）求经过直线l1与l3的交点，且与点（1，3）距离为3的直线l的方程22如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，ACB=90，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=1，BC=2，AA1=4（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点
7、E，使得二面角AEB1B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由2015-2016学年四川省眉山中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1若直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是（）A0，90）B0，180）C90，180）D（90，180）【考点】直线的倾斜角【分析】由直线l经过第二、四象限，则直线l的斜率小于零，故直线的倾斜角为钝角【解答】解：若直线l经过第二、四象限，则直线l的斜率小于零，故直线的倾斜角为钝角，故选D2如果直线ax+2y+2=0与3xy2=
8、0互相垂直，那么系数a=（）A3B6CD【考点】两条直线垂直的判定【分析】通过两条直线的垂直，利用斜率乘积为1，即可求解a的值【解答】解：因为直线ax+2y+2=0与3xy2=0互相垂直，所以，所以a=故选D3若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则（）AacBa，c是异面直线Ca，c相交Da，c的位置关系不确定【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】根据异面直线的定义可得直线a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线【解答】解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线故选D4已知过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y
9、1=0平行，则m的值为（）A0B8C2D10【考点】斜率的计算公式【分析】因为过点A（2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y1=0平行，所以，两直线的斜率相等【解答】解：直线2x+y1=0的斜率等于2，过点A（2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是2，=2，解得，故选 B5空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=，则异面直线AD，BC所成的角为（）A30B60C90D120【考点】异面直线及其所成的角【分析】取AC中点G，连接EG、FG，可知EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，在EFG中，由余弦定理可得cosEGF，结合角的范围可得答案【解答】
10、解：取AC中点G，连接EG、FG，由三角形中位线的知识可知：EGBC，FGAD，EGF或其补角即为异面直线AD，BC所成的角，在EFG中，cosEGF=，EGF=120，由异面直线所成角的范围可知应取其补角60，故选：B6直线kxy+12k=0，当k变动时，所有直线都过定点（）A（0，0）B（0，1）C（3，1）D（2，1）【考点】恒过定点的直线【分析】先把参数k分离出来，再令k的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标【解答】解：kxy+12k=0，即k（x2）y+1=0，令x2=0，可得y=1，故直线kxy+12k=0经过定点（2，1），故选：D7已知m，n表示两条不同直线，表示
11、平面，下列说法正确的是（）A若m，n，则mnB若m，n，则mnC若m，mn，则nD若m，mn，则n【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】A运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B运用线面垂直的性质，即可判断；C运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D运用线面平行的性质和线面垂直的判定，即可判断【解答】解：A若m，n，则m，n相交或平行或异面，故A错；B若m，n，则mn，故B正确；C若m，mn，则n或n，故C错；D若m，mn，则n或n或n，故D错故选B8ABC的三个顶点的坐标为A（2，4），B（1，2），C（1，0），点P（x，y）在ABC内部及边界上运动
12、，则z=y2x的最大值为（）A4B5C2D3【考点】简单线性规划【分析】由题意作出其平面区域，将z=xy化为y=xz，z相当于直线y=xz的纵截距，由几何意义可得【解答】解：由题意作出其平面区域，将z=y2x化为y=2x+z，z相当于直线y=2x+z的纵截距，则由几何意义可得，在点B处取得最大值4，故选：A9在ABC中，AB=5，AC=7，A=60，G是重心，过G的平面与BC平行，AB=M，AC=N，则MN=（）ABCD【考点】直线与平面平行的判定【分析】由已知AB=5，AC=7，A=60利用余弦定理可求BC，根据线面平行的性质定理可得，MNBC，且G是ABC的重心可得MN=BC，从而可求MN
13、【解答】解：如图，在ABC中，由余弦定理知BC=，BC，AB=M，AC=N，根据线面平行的性质定理可得，MNBC，又G是ABC的重心，MN=BC=故选：D10某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（）A1800元B2400元C2800元D3100元【考点】简单线性规划【分析】根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，
14、乙种产品y桶，根据题设条件得出线性约束条件以及目标函数求出利润的最大值即可【解答】解：设分别生产甲乙两种产品为x桶，y桶，利润为z元则根据题意可得，z=300x+400y作出不等式组表示的平面区域，如图所示作直线L：3x+4y=0，然后把直线向可行域平移，由可得x=y=4，此时z最大z=280011如图，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA=2AB则下列结论正确的是（）APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质【分析】利用题中条件，逐一分析答案，通过排除和筛选，得到正确答案【
15、解答】解：AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB平面PAE，所以平面PAB平面PBC也不成立；BCAD平面PAD，直线BC平面PAE也不成立在RtPAD中，PA=AD=2AB，PDA=45，故选D12如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A2B6C3D2【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【分析】设点P关于y轴的对称点P，点P关于直线AB：x+y4=0的对称点P，由对称特点可求P和P的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，
16、光线所经过的路程|PP|【解答】解：点P关于y轴的对称点P坐标是（2，0），设点P关于直线AB：x+y4=0的对称点P（a，b），解得，光线所经过的路程|PP|=2，故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上相应位置.13点（1，1）到直线3x4y2=0的距离为1【考点】点到直线的距离公式【分析】利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：利用点到直线的距离公式可得d=1，故答案为：114如图，三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2，且侧棱垂直于底面，则二面角C1ABC的正切值为【考点】二面角的平面角及求法【分析】连接AC1，BC1，在平面AC1B内过C1作C
17、1DAB于D，连接CD，由题意可得C1DC是二面角C1ABC的平面角，然后通过求解直角三角形得答案【解答】解：如图，连接AC1，BC1，在平面AC1B内过C1作C1DAB于D，连接CD，三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，且C1C平面ABC，则AC1=BC1，C1DAB，CDAB，则C1DC是二面角C1ABC的平面角，在正三角形ABC中，BC=2，BD=1，CD=，tan故答案为：15若A（a，0）、B（0，b）、C（2，2）（ab0）三点在同一直线上，则=【考点】基本不等式【分析】利用截距式可求得直线AB的方程，将C（2，2）代入，得到a，b的关系式，利用基本不等式即可求得答案【解答】解
18、：A（a，0）、B（0，b），ab0，AB的方程为： +=1，又A，B，C三点在同一直线上，C（2，2），+=1，+=1，+=故答案为：16四棱锥SABCD的底面是边长为2的正方形，顶点S在底面的射影是底面正方形的中心O，SO=2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为【考点】轨迹方程【分析】根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长【解答】解：由题意知，点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，此时ACEF，ACGE，则AC平面EFG，则PEACABCD是边长为2的正方形
19、，EF=BD=，SO=2，OB=，GE=GF=SB=，轨迹的周长为故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（1）已知ABC三个顶点坐标为A（2，1），B（2，2），C（4，1），求三角形AC边上的中线所在直线方程；（2）倾斜角为60且与直线5xy+2=0有相同纵截距的直线方程【考点】直线的一般式方程【分析】（1）由中点坐标公式求出AC的中点坐标，再由直线方程的两点式求得三角形AC边上的中线所在直线方程；（2）化直线系方程的一般式为斜截式，得到已知直线的纵截距，再由斜率等于倾斜角的正切值求得所求直线的斜率，代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：
20、（1）由A（2，1），C（4，1），得AC的中点坐标为（3，0），又B（2，2），由直线方程的两点式得，即2x+y6=0三角形AC边上的中线所在直线方程为2x+y6=0；（2）由直线5xy+2=0，得y=5x+2，直线5xy+2=0的纵截距为2，由k=tan60=，可得倾斜角为60且与直线5xy+2=0有相同纵截距的直线方程为y=18如图，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E，F分别是AB，BC的中点（1）求证：AB平面CDE； （2）求证：EF平面ACD【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】（1）要证明AB平面CDE，只需证明AB垂直平面CDE内的两条相交
21、直线CE、DE即可；（2）要证明EF平面ACD，只需证明EFAC，利用三角形中位线的性质，可得结论【解答】证明：（1）BC=AC，E为AB的中点，ABCE又AD=BD，E为AB的中点ABDEDECE=EAB平面DCE；（2）E，F分别是AB，BC的中点，EFAC，EF平面ACD，AC平面ACD，EF平面ACD19如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M（2，0），AB边所在直线的方程为x3y6=0，点T（1，1）在AD边所在直线上求：（1）AD边所在直线的方程；（2）DC边所在的直线方程【考点】直线的一般式方程【分析】（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；（2）根
22、据矩形特点可以设DC的直线方程为x3y+m=0（m6），然后由点到直线距离得出=，就可以求出m的值，即可求出结果【解答】解：（1）因为AB边所在直线的方程为x3y6=0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为3又因为点T（1，1）在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为y1=3（x+1）3x+y+2=0（2）M为矩形ABCD两对角线的交点，则点M到直线AB和直线DC的距离相等DCAB可令DC的直线方程为：x3y+m=0（m6）M到直线AB的距离d=M到直线BC的距离即： =m=2或6，又m6m=2DC边所在的直线方程为：x3y+2=020如图，已知四边形ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB=
23、2，PA=AD=4，E为BC的中点（1）求证：平面PED平面PAE；（2）求直线PD与平面PAE所成的角【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】（1）四边形ABCD是矩形，可得B=C=90，由已知可得：AE2+DE2=16=AD2，因此DEAE，利用PA平面ABCD，可得PADE再利用线面面面垂直的判定与性质定理即可证明（2）由（1）可得：DE平面PAE，可得DPE是直线PD与平面PAE所成的角再利用直角三角形的边角关系即可得出【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，B=C=90，AB=2，PA=AD=4，E为BC的中点AE2=22+22=8=DE2，AE2+DE2=16=A
24、D2，AED=90，DEAE，PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAE=A，DE平面PAE，又DE平面PED平面PED平面PAE（2）解：由（1）可得：DE平面PAE，DPE是直线PD与平面PAE所成的角在RtPAE中，PE=2同理可得：DE=2tanDPE=，DPE=21已知三条直线l1：2xy+a=0（a0），直线l2：4x+2y1=0和l3：x+y+3=0，且l1与l2间的距离是（1）求a的值； （2）求经过直线l1与l3的交点，且与点（1，3）距离为3的直线l的方程【考点】两条平行直线间的距离；点到直线的距离公式【分析】（1）由l1与l2的距离是，代入两条平行直线间的距离
25、公式，可得一个关于a的方程，解方程即可求a的值；（2）求出交点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：（1）l2即2xy+=0，l1与l2的距离d=|2a1|=5a0，a=3（2）直线l1与l3的交点，由：，解得：交点坐标（2，1）当直线的斜率垂直时，设所求的直线方程为：y+1=k（x+2），即：kxy+2k1=0点（1，3）到直线的距离为3，可得： =3，解得k=，所求直线方程7x24y10=0当直线的斜率不存在时，x=2，满足题意所求直线方程为：x=2或7x24y10=022如图，三棱柱ABCA1B1C1的侧棱AA1底面ABC，ACB=90，E是棱CC1上动点，F是A
26、B中点，AC=1，BC=2，AA1=4（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF平面AEB1；（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角AEB1B的余弦值是，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法【分析】（1）要证CF平面AEB1，只要证CF平行于平面AEB1内的一条直线即可，由E是棱CC1的中点，F是AB中点，可想取AB1中点，连结后利用三角形中位线知识结合三棱柱为直三棱柱证明四边形FGEC是平行四边形，从而得到线线平行，得到线面平行；（2）以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，
27、求出点的坐标，设出E点的坐标，进一步求出二面角AEB1B的两个面的法向量的坐标，然后把二面角的余弦值转化为法向量所成角的余弦值求解E，则结论得到证明【解答】（1）证明：取AB1的中点G，联结EG，FGF、G分别是棱AB、AB1中点，FGBB1，又FGEC，FG=EC，四边形FGEC是平行四边形，CFEGCF平面AEB1，EG平面AEB1，CF平面AEB；（2）解：以C为坐标原点，射线CA，CB，CC1为x，y，z轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz则C（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，2，4）设E（0，0，m）（0m4），平面AEB1的法向量由，得，取z=2，得CA平面C1CBB1，是平面EBB1的法向量，则平面EBB1的法向量二面角AEB1B的平面角余弦值为，则，解得m=1（0m4）在棱CC1上存在点E，符合题意，此时CE=12016年10月1日
