1、6.3 等比数列及其前n项和第六章 数 列 数学 苏（理）基础知识自主学习 题型分类深度剖析 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 知识梳理 1.等比数列的定义 如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母表示.从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)公比q基础知识自主学习 知识梳理 2.等比数列的通项公式 设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项an.3.等比中项 若，那么G叫做a与b的等比中项.a1qn1G2ab(ab0)基础知识自主学习 知识梳理 4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(n，mN*).(2)若
2、an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn 仍是等比数列.qnmakalaman基础知识自主学习 知识梳理 5.等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当 q1 时，Sna11qn1qa1anq1q.6.等比数列前n项和的性质 公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为.qn基础知识自主学习 知识梳理 思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)满足an 1qan(n
3、N*，q为常数)的数列an为等比数列.()(2)G为a，b的等比中项G2ab.()(3)如果an为等比数列，bna2n1a2n，则数列bn也是等比数列.()基础知识自主学习 知识梳理(4)如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列.()(5)等比数列an的首项为a，公比为1，前n项和为Sn，则S2n0，S2n1a.()(6)1bb2b3b4b51b51b.()基础知识自主学习 考点自测 题号 答案 解析 1 2 3 4 247 4 2 2n12 设等比数列的公比为q，由a2a420，a3a540.得20q40，且a1qa1q320，解得q2，且a12.因此 Sna11qn1q2n12.
4、题型分类深度剖析 例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1，S3 7，则 S5.题型一 等比数列基本量的运算 解析 答案 思维升华 题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 显然公比q1，例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1，S3 7，则 S5.题型一 等比数列基本量的运算 由题意得a1qa1q31，a11q31q7，解得a14，q12 题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1，S3 7，则 S5.题型一 等比数列基本量的运算 或a19q1
5、3(舍去)，S5a11q51q 41 125112314.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1，S3 7，则 S5.题型一 等比数列基本量的运算 或a19q13(舍去)，S5a11q51q 41 125112314.314题型分类深度剖析 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.解析 答案 思维升华 例1(1)设an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和.已 知 a2a4 1，S3 7，则 S5.题型一 等比数列基
6、本量的运算 314题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 设等比数列an的公比为q(q0)，则a1q3a1q6，a1q4a115，两式相除，得q1q225，即2q25q20，解得 q2 或 q12.例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 所以a11，q2或a116，q12.故a34或a34.例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例1(2)在等比数列an中，若a4a
7、26，a5a115，则a3.所以a11，q2或a116，q12.故a34或a34.4或4题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例1(2)在等比数列an中，若a4a26，a5a115，则a3.4或4等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.题型分类深度剖析 跟踪训练1(1)已知正项数列an为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a22，则该数列的前5项的和为.解析 设an的公比为q，q0.由已知得a43a325a2，即a2q23a2q10a2，q23q100，解得q2或q5(舍去)，又a22
8、，则a11，所以 S5a11q51q11251231.31题型分类深度剖析(2)(2014天津)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为.12解析因为等差数列an的前 n 项和为 Snna1nn12d，所以S1，S2，S4分别为a1,2a11,4a16.因为S1，S2，S4成等比数列，所以(2a11)2a1(4a16)，解方程得a1.12题型分类深度剖析 例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8.题型二 等比数列的性质及应用解析 答案 思维升华 题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华
9、例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8.题型二 等比数列的性质及应用由 a6a10a3a541 及 a6a10a28，a3a5a24，得 a24a2841.因为 a4a85，所以(a4a8)2a242a4a8a28412551.又 an0，所以 a4a8 51.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8.题型二 等比数列的性质及应用由 a6a10a3a541 及 a6a10a28，a3a5a24，得 a24a2841.因为 a4a85，所以(a4a8)2a
10、242a4a8a28412551.又 an0，所以 a4a8 51.51题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则 aman apaq”，可 以减少运算量，提高解题速度.例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8.题型二 等比数列的性质及应用51题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.例2(1)在等比数列an中，各项均为正值，且a6a10a3a541，a
11、4a85，则a4a8.题型二 等比数列的性质及应用51题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例 2(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例 2(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q.由S10S5 3132，a11 知公比 q1，则可得S10S5S5 132.由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，且公比为q5，题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例 2(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S
12、5 3132，则公比 q.故 q5 132，q12.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 故 q5 132，q12.例 2(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q.12题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例 2(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q.12(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若mnpq，则 aman apaq”，可 以减少运算量，提高解题速度.题型分类深度剖析 解析 答案 思维升华 例 2(2)等比数列an的首项 a11，前 n 项和
13、为 Sn，若S10S5 3132，则公比 q.12(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形.此外，解题时注意设而不求思想的运用.题型分类深度剖析 跟踪训练2(1)设等比数列an的前n项和为Sn，若S6S312，则S9S3.解析 由等比数列的性质：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是(S6S3)2S3(S9S6)，将 S612S3 代入得S9S334.34题型分类深度剖析 解析 方法一 a1a2a3a4a1a1qa1q2a1q3 a41q61，a13a14a15a16a1q12a1q13a1q14a1q15 a41q548，(2)在等比数列an中，若a1a
14、2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44.题型分类深度剖析：a41q54a41q6 q488q162，又a41a42a43a44a1q40a1q41a1q42a1q43 a41q166a41q6q160(a41q6)(q16)1012101 024.(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44.题型分类深度剖析(2)在等比数列an中，若a1a2a3a41，a13a14a15a168，则a41a42a43a44.方法二 由性质可知，依次 4 项的积为等比数列，设公比为 p，设T1a1a2a3a41，T4a13a1
15、4a15a168，T4T1p31p38p2.T11a41a42a43a44T1p102101 024.1 024题型分类深度剖析(3)设数列an、bn都是正项等比数列，Sn、Tn分别为数列lg an与lg bn的前n项和，且，则logb5a5.SnTnn2n1919解析由题意知S9T9lga1a2a9lgb1b2b9lg a95lg b95lg a5lg b5logb5a5 919.题型分类深度剖析 解析 题型三 等比数列的判定与证明 例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；思维升华 题型分类深度剖析 解析 思维升华 证明 anSnn，an1
16、Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，题型三 等比数列的判定与证明 例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；an11an1 12，题型分类深度剖析 解析 思维升华 题型三 等比数列的判定与证明 例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；an1是等比数列.又 a1a11，a112，cnan1，首项c1a11，c112，公比 q12.题型分类深度剖析 解析 思维升华 题型三 等比数列的判定与证明 例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1
17、，求证：cn是等比数列；cn是以12为首项，以12为公比的等比数列.题型分类深度剖析(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.解析 思维升华 题型三 等比数列的判定与证明 例3 已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；题型分类深度剖析 例3(2)求数列an的通项公式.解析 思维升华 题型分类深度剖析 解析 思维升华 解 由(1)可 知 cn 12 12n112n，an112n.例3(2)求数列a
18、n的通项公式.题型分类深度剖析 解析 思维升华 例3(2)求数列an的通项公式.(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2)利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证.题型分类深度剖析 跟踪训练3 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；证明 由a11及Sn14an2，有a1a2S24a12.a25，b1a22a13.题型分类深度剖析 跟踪训练3 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan
19、12an，证明：数列bn是等比数列；又Sn14an2，Sn4an12，得an14an4an1，an12an2(an2an1).题型分类深度剖析 跟踪训练3 设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；bnan12an，bn2bn1，故bn是首项b13，公比为2的等比数列.题型分类深度剖析(2)求数列an的通项公式 解 由(1)知bnan12an32n1，an12n1an2n34，故an2n是首项为12，公差为34的等差数列an2n12(n1)343n14，得an(3n1)2n2.题型分类深度剖析 思想与方法系列8 分类讨论思想在等
20、比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 32题型分类深度剖析 利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；32思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 解 设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4
21、S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；32思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；32可得 2a4a3，于是 qa4a312.3分又 a132，所以等比数列a
22、n的通项公式为an3212n1(1)n1 32n.5分思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况.等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论.思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；32思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 项数的奇、偶数讨论.等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨
23、论.思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；32思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.思想与方法系列8 分类讨论思想在等比数列中的应用典例：(14分)(2013天津)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列.(1
24、)求数列an的通项公式；32思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒 题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136(nN*).题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136(nN*).求出前n项和，根据函数的单调性证明.题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136(nN*).证明 由(1)知，Sn112n，Sn 1Sn112n1112n题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136(nN*).2
25、12n2n1，n为奇数，212n2n1，n为偶数.8分当 n 为奇数时，Sn 1Sn随 n 的增大而减小，题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136(nN*).所以 Sn 1SnS1 1S1136.10分当 n 为偶数时，Sn 1Sn随 n 的增大而减小，所以 Sn 1SnS2 1S22512.12分题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136(nN*).14分故对于 nN*，有 Sn 1Sn136.题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136
26、(nN*).(1)分类讨论思想在等比数列中应用较多，常见的分类讨论有：已知Sn与an的关系，要分n1，n2两种情况.等比数列中遇到求和问题要分公比q1，q1讨论.项数的奇、偶数讨论.等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论.题型分类深度剖析 思 维 点 拨 规 范 解 答 温 馨 提 醒(2)证明：Sn 1Sn136(nN*).(2)数列与函数有密切的联系，证明与数列有关的不等式，一般是求数列中的最大项或最小项，可以利用图象或者数列的增减性求解，同时注意数列的增减性与函数单调性的区别.思想方法感悟提高 方 法 与 技 巧 1.已知等比数列an(1)数列can(c0)，|an|，也 是
27、等比数列.(2)a1ana2an1amanm1.a2n，1an思想方法感悟提高 方 法 与 技 巧(1)定义法：an1an q(q 是不等于 0 的常数，nN*)数列an是等比数列；也可用 anan1q(q 是不等于 0的常数，nN*，n2)数列an是等比数列.二者的本质是相同的，其区别只是 n 的初始值不同.2.判断数列为等比数列的方法 思想方法感悟提高 方 法 与 技 巧(2)等比中项法：a 2n1anan 2(anan 1an 20，nN*)数列an是等比数列.3.解题中要注意选用等比数列的性质，减少运算量.思想方法感悟提高 失 误 与 防 范 1.注意等比数列中的分类讨论.2.由an1
28、qan(q0)，并不能断言an是等比数列，还要验证a10.练出高分 A组 专项基础训练 23456789101练出高分 A组 专项基础训练 234567891011.(2014重庆改编)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是(填序号).a1，a3，a9成等比数列 a2，a3，a6成等比数列 a2，a4，a8成等比数列 a3，a6，a9成等比数列 解析 设等比数列的公比为 q，因为a6a3a9a6q3，即 a26a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列.练出高分 A组 专项基础训练 2.(2014大纲全国改编)等比数列an中，a42，a55，则数列lg an的前8项和为.解析 数列lg an的
29、前8项和S8lg a1lg a2lg a8lg(a1a2a8)lg(a1a8)4 lg(a4a5)4lg(25)44.234567891014练出高分 A组 专项基础训练 3.(2013课标全国改编)等比数列an的前n项和为Sn，已知S3a210a1，a59，则a1.解析 设等比数列an的公比为q，由S3a210a1得a1a2a3a210a1，即a39a1，q29，又a5a1q49，所以a1.234567891011919练出高分 A组 专项基础训练 234567891014.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是.解析 设该等比数列为an，其前
30、n项的积为Tn，则由已知得a1a2a33，an2an1an9，(a1an)33933，a1an3，又Tna1a2an1an，Tnanan1a2a1，T(a1an)n，即72923n，n12.12练出高分 A组 专项基础训练 5.设各项都是正数的等比数列an，Sn为前n项和，且S1010，S3070，那么S40.解析 依题意，数列S10，S20S10，S30S20，S40S30成等比数列，因此有(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(70S20)，23456789101练出高分 A组 专项基础训练 故S2020或S2030；又S200，因此S2030，S20S1020，
31、S30S2040，故S40S3080.S40150.答案 150 23456789101练出高分 A组 专项基础训练 345678910126.等比数列an中，Sn表示前n项和，a32S21，a42S31，则公比q为.解析 由a32S21，a42S31得 a4a32(S3S2)2a3，a43a3，qa4a33.3练出高分 A组 专项基础训练 7.等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，则对任意的nN*，都有an2an12an0，则S5.解析 利用“特殊值”法，确定公比.由题意知a3a22a10，设公比为q，则a1(q2q2)0.由q2q20解得q2或q1(舍去)，345678910
32、12则 S5a11q51q125311.11练出高分 A组 专项基础训练 345678910128.设等比数列an的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a11，a34，Sk63，则k.解析 设等比数列an公比为q，由已知a11，a34，6得 q2a3a14.又an的各项均为正数，q2.而 Sk12k1263，2k163，解得k6.练出高分 A组 专项基础训练 9.已知等差数列an满足a22，a58.(1)求an的通项公式；解 设等差数列an的公差为d，34567891012则由已知得a1d2，a14d8.a10，d2.ana1(n1)d2n2.练出高分 A组 专项基础训练(2)各项均为正数的等比
33、数列bn中，b11，b2b3a4，求bn的前n项和Tn.解 设等比数列bn的公比为q，则由已知得qq2a4，a46，q2或q3.等比数列bn的各项均为正数，q2.34567891012bn的前 n 项和 Tnb11qn1q112n122n1.练出高分 A组 专项基础训练 10.已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4an3(nN*).(1)证明：数列an是等比数列；证明 依题意Sn4an3(nN*)，n1时，a14a13，解得a11.因为Sn4an3，则Sn14an13(n2)，所以当n2时，anSnSn14an4an1，34567891012练出高分 A组 专项基础训练 整理得 an43an1
34、.公比为43的等比数列.又a110，所以an是首项为1，34567891012练出高分 A组 专项基础训练 34567891012(2)若数列bn满足bn1anbn(nN*)，且b12，求数列bn的通项公式.解 因为 an(43)n1，由bn1anbn(nN*)，得 bn1bn(43)n1.可得bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)练出高分 A组 专项基础训练 345678910122143n11433(43)n11(n2)，当n1时也满足，所以数列bn的通项公式为 bn3(43)n11.练出高分 B组 专项能力提升 23451练出高分 B组 专项能力提升 1.等比数列an的前n项和为
35、Sn，若a1a2a3a41，a5a6a7a82，Sn15，则项数n为.解析 a5a6a7a8a1a2a3a4q42，由a1a2a3a41，得 a11q41q 1，a1q1，23451练出高分 B组 专项能力提升 又 Sn15，即a11qn1q15，qn16，又q42，n16.答案 16 23451练出高分 B组 专项能力提升 2.(2013福建改编)已知等比数列an的公比为q，记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m，cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m，nN*)，则以下结论一定正确的是.数列bn为等差数列，公差为qm；数列bn为等比数列，公比为q2m；数列cn为等比数列
36、，公比为；数列cn为等比数列，公比为.234512mqmmq练出高分 B组 专项能力提升 解析 bnam(n1)(qq2qm)bn1bn amnqq2qmamn1qq2qm amnamn1qm(常数).12m又cn(am(n1)mq12m(am(n1)q12m)m，bn1bn不是常数.答案 23451cn1cn(amnamn1)m(qm)m(常数).2mq练出高分 B组 专项能力提升 3.已知数列an是等比数列，a1，a2，a3依次位于下表中第一行，第二行，第三行中的某一格内，又a1，a2，a3中任何两个都不在同一列，则an(nN*).第一列 第二列 第三列 第一行 1 10 2 第二行 6
37、14 4 第三行 9 18 8 23451练出高分 B组 专项能力提升 解析 观察题中的表格可知a1，a2，a3分别为2,6,18，即an是首项为2，公比为3的等比数列，an23n1.答案 23n1 23451练出高分 B组 专项能力提升 4.在数列an中，a12，an14an3n1，nN*.(1)证明数列ann是等比数列；证明 由题设an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN*.又a111，所以数列ann是首项为1，且公比为4的等比数列.23451练出高分 B组 专项能力提升(2)求数列an的前n项和Sn.解 由(1)可知ann4n1，于是数列an的通项公式为an4n1n，所以数
38、列an的前 n 项和 Sn4n13nn12.23451练出高分 B组 专项能力提升 5.已知首项为的等比数列an不是递减数列，其前n项和为Sn(nN*)，且S3a3，S5a5，S4a4成等差数列.(1)求数列an的通项公式；解 设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，3223451.练出高分 B组 专项能力提升 于是 q2a5a314.又an不是递减数列且 a132，所以 q12.故等比数列an的通项公式为 an3212n1(1)n1 32n.23451练出高分 B组 专项能力提升(2)设 TnSn 1Sn(nN*)，求数列Tn的最大项的值与最小项的值.解由(1)得 Sn112n1 12n，n为奇数，1 12n，n为偶数.当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，23451练出高分 B组 专项能力提升 所以 1SnS132，故 0Sn 1SnS1 1S1322356.当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，所以34S2SnSn 1SnS2 1S23443 712.23451练出高分 B组 专项能力提升 综上，对于 nN*，总有 712Sn 1Sn56.所以数列Tn最大项的值为56，最小项的值为 712.23451
