1、目标导航1掌握点到直线的距离公式(重点)2能用公式求点到直线的距离(难点)3会求两条平行直线间的距离(重点、易错点)1 新知识预习探究 知识点一点到直线的距离点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax0By0C|A2B2.【练习 1】(1)点 P(2,4)到直线 l：3x4y70 的距离是_(2)若点(2,2)到直线 3x4yc0 的距离为 3，求 c 的值解析：(1)点 P 到直线 l 的距离 d|32447|3242155 3.(2)由点(2,2)到直线 3x4yc0 的距离为 3，可得 d|3242c|3242|2c|53，解得 c13，或 c17.答案：(1)3(
2、2)13 或17知识点二两条平行线间的距离1.定义：夹在两条平行直线间的长叫做这两条平行直线间的距离2求法：转化为求的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离公垂线段点到直线【练习 2】两直线 3xy30 和 6xmy10 平行，则它们之间的距离为_解析：因为两直线平行，所以 m2.方法一：在直线 3xy30 上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得 d|60231|6222 104.方法二：将 6x2y10 化为 3xy120，由两条平行线间的距离公式得 d|312|3212 104.答案：1042 新视点名师博客1.应用点到直线的距离公式应
3、注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式例如求 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离，应先把直线方程化为kxyb0，得 d|kx0y0b|k21.(2)点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用，故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系(3)直线方程 AxByC0 中 A0 或 B0 时，公式也成立，也可以用下列方法求点到直线的距离P(x0，y0)到 xa 的距离 d|ax0|；P(x0，y0)到 yb 的距离 d|by0|.2对两平行直线间的距离公式的理解(1)求两平行线间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式(2)利
4、用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x，y 的系数对应相等(3)当两直线都与 x 轴(或 y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决两直线都与 x 轴垂直时，l1xx1，l2xx2，则 d|x2x1|；两直线都与 y 轴垂直时，l1yy1，l2yy2，则 d|y2y1|.3 新课堂互动探究 考点一点到直线的距离例 1(1)在平面直角坐标系 xOy 中，点 P(2,2)到直线 4x3y50的距离为_(2)求垂直于直线 x3y50，且与点 P(1,0)的距离是35 10的直线 l 的方程分析：(1)直接利用点到直线的距离公式求解(2)设出直线 l 的方程，再利用点到直线的距离公式列方程求
5、解解析：(1)由点到直线的距离公式可得 d|42325|4232195.(2)设与直线 x3y50 垂直的直线的方程为 3xym0，则由点到直线的距离公式知：d|310m|3212|m3|10 35 10.所以|m3|6，即 m36.得 m9 或 m3，故所求直线 l 的方程为 3xy90 或 3xy30.答案：(1)195 (2)3xy90 或 3xy30点评：点到直线的距离的求解方法(1)求点到直线的距离时，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可(2)对于与坐标轴平行(或重合)的直线 xa 或 yb，求点到它们的距离时，即可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成
6、d|x0a|或 d|y0b|.(3)若已知点到直线的距离求参数时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可变式探究 1 已知直线 l 过点 P(0,2)，且点 A(1,1)，B(3,1)到直线 l 的距离相等，求直线 l 的方程解析：由于点 A(1,1)与 B(3,1)到 y 轴的距离不相等，所以直线 l的斜率存在，设为 k.又直线 l 过点 P(0,2)，则直线 l 的方程为 ykx2，即 kxy20.由点 A(1,1)，B(3,1)到直线 l 的距离相等得：|k12|k21|k312|k21，解得 k0 或 k1，故直线 l 的方程是 y2 或 xy20.考点二 两条平行线间的距离例
7、2已知直线 l13x2y10 和 l23x2y130，直线 l 与 l1，l2 的距离分别是 d1，d2，若 d1d221，求直线 l 的方程分析：根据直线平行设出直线方程后，由两平行直线间的距离公式得到关于参数的方程，求解即可解析：由直线 l1，l2 的方程知 l1l2.又由题意知，直线 l 与 l1，l2均平行(否则 d10 或 d20，不符合题意)设直线 l3x2ym0(m1 且 m13)由两平行线间的距离公式，得 d1|m1|13，d2|m13|13，又 d1d221，所以|m1|2|m13|，解得 m25 或 m9.故所求直线 l 的方程为 3x2y250 或 3x2y90.点评：求
8、两平行直线间的距离有两种思路(1)利用“化归”法将两条平行线的距离转化为求一条直线上任意一点到另一条直线的距离(2)直接利用两平行线间的距离公式，当直线 l1ykxb1，l2ykxb2，且 b1b2时，d|b1b2|k21；当直线 l1AxByC10，l2AxByC20 且 C1C2时，d|C1C2|A2B2但必须注意两直线方程中 x，y 的系数对应相等变式探究 2 直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1l2，且l1 与 l2 的距离为 5，求直线 l1 与 l2 的方程解析：当 l1，l2 的斜率不存在，即 l1x0，l2x5 时，满足条件当 l1，l2 的斜率
9、存在时，设 l1ykx1，即 kxy10，l2yk(x5)，即 kxy5k0.由两条平行直线间的距离公式得|15k|k2125，解得 k125.此时 l112x5y50，l212x5y600.综上所述，所求直线 l1，l2 的方程为 l1x0，l2x5 或 l112x5y50，l212x5y600.考点三距离公式的综合应用例 3两条互相平行的直线分别过点 A(6,2)和 B(3，1)，并且各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d.求：(1)d 的变化范围；(2)当 d 取最大值时两条直线的方程分析：(1)由两平行线间的距离公式写出 d 与斜率之间的函数关系式，不难求出 d 的范围
10、或利用数形结合求 d 的范围(2)求出 d 取最大值时斜率的值，即可求出所求直线方程解析：(1)方法一：当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为 x6 和 x3，则它们之间的距离为 9.当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为 l1y2k(x6)，l2y1k(x3)，即 l1kxy6k20，l2kxy3k10，d|3k16k2|k213|3k1|k21，即(81d2)k254k9d20.kR，且 d9，d0，(54)24(81d2)(9d2)0，即 0d3 10且 d9.综合可知，所求 d 的变化范围为(0,3 10方法二：如图所示，显然有 0d|AB|.而|AB|6322123 10.故所
11、求的 d 的变化范围为(0,3 10(2)由图可知，当 d 取最大值时，两直线垂直于 AB.而 kAB216313，所求直线的斜率为3.故所求的直线方程分别为y23(x6)，y13(x3)，即 3xy200 和 3xy100.点评：(1)此题由两平行线间距离公式建立了关于 d，k 的方程，根据判别式 得不等式，从而得最值，并由最值成立的条件得 k 值(2)本题也可从问题的几何背景考虑，易知分别过 A，B 的一切平行线间的距离均不超过 A，B 两点间的距离|AB|，当且仅当两平行线与AB 垂直时，两平行线间距离等于|AB|，所在 dmax 6322123 10，此时 k21631，即 k3，可见
12、如借助几何直观背景发挥形象思维优势，常可得到简洁、优美的解法变式探究 3 已知点 P(2，1)，求：(1)过点 P 且与原点距离为 2 的直线方程；(2)过点 P 且与原点距离最大的直线方程，并求出最大值解析：(1)当斜率不存在时，方程 x2 适合题意当直线的斜率存在时，可设直线方程为 y1k(x2)，即 kxy2k10.根据题意|2k1|k212，解得 k34.直线方程为 3x4y100.(2)过点 P 且与原点距离最大的直线方程应为过点 P 且与 OP 垂直的直线，易求得其方程为 2xy50，且最大距离为 d 5.4 新思维随堂自测1.已知点 P(a，b)是第二象限的点，那么它到直线 xy
13、0 的距离是()A.22(ab)BbaC.22(ba)D.a2b2解析：点 P(a，b)是第二象限的点，a0，b0.ab0.点 P 到直线 xy0 的距离 d|ab|2 22(ba)答案：C2若点(1，a)到直线 xy10 的距离是3 22，则实数 a 为()A1 B5C1 或 5 D3 或 3解析：由点到直线距离公式：|1a1|23 22，得 a1 或 5.答案：C3在坐标平面内，与点 A(1,2)距离为 1，且与点 B(3,1)距离为 2的直线共有()A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：由题意可知，所求直线显然不与 y 轴平行，可设直线为 ykxb，即 kxyb0.d1|k2b|k2
14、1 1，d2|3k1b|k21 2.两式联立解得b3k0，或b53，k43，所求直线有两条答案：B4若直线 m 被两平行线 l1：xy10 与 l2：xy30 所截得的线段的长为 2 2，则 m 的倾斜角可以是15 30 45 60 75其中正确答案的序号是_(写出所有正确答案的序号)解析：设直线 m 与 l1、l2 分别交于 A、B 两点，过 A 作 ACl2 于 C，则|AC|31|2 2，又|AB|2 2，ABC30.又直线 l1 的倾斜角为 45.直线 m 的倾斜角为 453075或 453015.答案：5在 x 轴上求一点 P，使它到直线 2xy10 和直线 x3y20 的距离相等解
15、析：由题意设 P(a,0)，则有|2a1|2212|a2|1232，解得 a23 27或 a23 27.故点 P 的坐标为23 27，0 或23 27，05 辨错解走出误区易错点：忽略直线的斜率不存在的情况【典例】求经过点 A(1,2)且到原点的距离等于 1 的直线方程【错解】设所求的直线方程为 y2k(x1)，即 kxyk20.原点到此直线的距离等于 1，|k2|k21 1，解得 k34.故所求的直线方程为 y234(x1)，即 3x4y50.【错因分析】显然，直线 x1 也满足本题所要求的条件，因而上述解法遗漏了一解只有在直线斜率存在的前提下才能用直线的点斜式方程来表示直线，因此，用直线的点斜式方程来解题，就意味着该直线的斜率一定存在故错解忽视了直线的斜率不存在的情况【正解】当过点 A 的直线垂直于 x 轴时，因为它到原点的距离等于 1，所以满足题意，其方程为 x10.当过点 A 的直线不垂直于 x 轴时，同上述错解中的解法，知其方程为 3x4y50.故所求的直线方程为 x10 或 3x4y50.【反思】经过已知点 A 且到另一点 B 的距离为定值 d(0d|AB|)的直线有且仅有两条，若这两条直线的斜率均存在，利用错解中的求法可以求得这两条直线，当 d|AB|时，这样的直线只有一条且垂直于AB.
