1、目标导航1了解方程组的解的个数与两直线平行、相交或重合的对应关系(难点)2会用解方程组的方法求两条相交直线交点的坐标(易错点)3掌握两点间距离公式并能灵活应用(重点)1 新知识预习探究 知识点一两条直线的交点坐标1.求法：两个直线方程联立组成方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可2应用：可以利用两条直线的判断两条直线的位置关系一般地，直线 l1：A1xB1yC10 和直线 l2：A2xB2yC20的位置关系如表所示：方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一组无数组无解直线 l1 和 l2 的公共点个数一个无数个零个直线 l1 和 l2 的位置关系相交重合平行交
2、点个数【练习 1】过直线 2xy40 与 xy50 的交点，且垂直于直线 x2y0 的直线的方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy80答案：A知识点二两点间的距离公式 两点坐标P1(x1，y1)，P2(x2，y2)距离公式|P1P2|x2x12y2y12特例若 O(0,0)，P(x，y)，则|OP|x2y2【练习 2】已知ABC 的三个顶点坐标为 A(3,1)，B(3，3)，C(1,7)，(1)求 BC 边上的中线 AM 的长；(2)证明ABC 为等腰直角三角形解析：(1)设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 M 为 BC 的中点，所以x312 2，y3722，即点 M 的
3、坐标为(2,2)由两点间的距离公式得|AM|322122 26，所以 BC 边上的中线 AM 的长为 26.(2)证明：根据题意可得，|AB|3321322 13，|BC|1327322 26，|AC|3121722 13，所以|AB|AC|，且|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC 为等腰直角三角形.2 新视点名师博客1.方程组的解的个数与两条直线的位置关系2对两点间距离公式的理解(1)公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可以写成|P1P2|x1x22y1y22，利用此公式可以将几何问题代数化(2)当直线 P1P2 平行于坐标轴时距离公式仍然可以使用，但一般我们用下列方法：直线 P1
4、P2 平行于 x 轴时|P1P2|x2x1|；直线 P1P2平行于 y 轴时|P1P2|y2y1|.3 新课堂互动探究 考点一 两条直线的交点问题例 1 求经过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点且与直线3xy10 平行的直线 l 的方程分析：可先求出交点坐标，再根据点斜式求出所要求的直线方程；也可利用直线系求直线方程解析：方法一：由方程组2x3y30，xy20，得x35，y75.直线 l 和直线 3xy10 平行，直线 l 的斜率 k3.根据点斜式有 y75 3x35，即所求直线方程为 15x5y160.方法二：直线 l 过两直线 2x3y30 和 xy20 的交点，设直线 l 的方程
5、为 2x3y3(xy2)0，即(2)x(3)y230.直线 l 与直线 3xy10 平行，23 31 231，解得 112.从而所求直线方程为 15x5y160.点评：两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解本题方法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据平行直线斜率相等，由点斜式求解；而方法二则采用了过直线 A1xB1yC10 与 A2xB2yC20 的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据平行条件求出待定系数即可变式探究 1 求经过两直线 l1：3x4y20 和 l2：2xy20 的交点且过坐标原点的直线 l 的方程
6、解析：方法一：由方程组3x4y20，2xy20，解得x2，y2，即 l1 与 l2 的交点坐标为(2,2)直线过坐标原点，其斜率 k 221.故直线方程为 yx，即 xy0.方法二：l2 不过原点，可设 l 的方程为 3x4y2(2xy2)0(R)，即(32)x(4)y220.将原点坐标(0,0)代入上式，得 1，直线 l 的方程为 5x5y0，即 xy0.考点二两点间距离公式的应用例 2 已知四边形 ABCD 各顶点的坐标分别为 A(7,0)，B(2，3)，C(5,6)，D(4,9)，判断这个四边形是哪种四边形分析：判断三角形形状和四边形形状时，可以先用两点距离公式求出各边长度，然后通过数量
7、关系加以判断解析：kAB13，kCD13，kAD3，kBC3，ABCD，ADBC，且 ABAD，即四边形 ABCD 为矩形|AB|3 10，|AD|3 10，|AC|6 5，|BD|6 5，|AB|AD|，|AC|BD|，即四边形 ABCD 为正方形点评：判断四边形的形状的方法是：若两组对边均平行，是平行四边形，进而再判断是否是矩形，菱形或正方形；若一组对边平行，进而再判定为等腰梯形或直角梯形；若两组对边均不平行，则为一般四边形变式探究 2 已知ABC 的三个顶点是 A(1，1)，B(1,3)，C(3,0)(1)求证：ABC 是直角三角形；(2)求ABC 的面积解析：(1)证明：由已知，|AB
8、|1123122 5，|AC|312012 5，|BC|3120325，因为|AB|2|AC|2|BC|2，所以ABC 是以 A 为直角顶点的直角三角形(2)由于A 是直角，所以ABC 的面积 S12|AB|AC|122 5 55.考点三对称问题例 3 如图，一束光线从原点 O(0,0)出发，经过直线 l8x6y25 反射后通过点 P(4,3)，求反射光线的方程及光线从 O 点到达 P 点所走过的路程分析：先求出原点关于 l 的对称点，然后利用反射光线的反向延长线过对称点可求方程解析：设原点关于 l 的对称点 A 的坐标为(a，b)由直线 OA 与 l 垂直和线段 AO 的中点在 l 上得ba
9、43 1，8a26b225，解得a4，b3，A 的坐标为(4,3)反射光线的反向延长线过 A(4,3)，又由反射光线过 P(4,3)，两点纵坐标相等故反射光线所在直线方程为 y3.由方程组y3，8x6y25，解得x78，y3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为 y3(x78)由光的性质可知，光线从 O 到 P 的路程即为 AP 的长度|AP|，由 A(4,3)知，|AP|4(4)8，光线从 O 经直线 l 反射后到达 P 点所走过的路程为 8.点评：处理对称问题的关键是抓住两点：一是转化为点关于线的对称，二是求出对称点的坐标时注意利用中点在线上与垂直关系建立方程组变式探究 3 求点 A(2
10、,2)关于直线 2x4y90 的对称点坐标解析：设 B(a，b)是 A(2,2)关于直线 2x4y90 的对称点，则有 AB 与已知直线垂直，且线段 AB 的中点在已知直线上12b2a21，2a22 4b22 90.解得 a1，b4.所求对称点坐标为(1,4).4 新思维随堂自测1.下列各直线中，与直线 2xy30 相交的是()A2axay60(a0)By2xC2xy50 D2xy30解析：直线 2xy30 的斜率为 2，D 选项中的直线的斜率为2，故 D 选项正确答案：D2与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线的方程为()A3x4y50 B3x4y50C3x4y50 D3x4y50解析
11、：令 x0，解得 y54；令 y0，解得 x53，故(0，54)和(53，0)是直线 3x4y50 上两点，点(0，54)关于 x 轴的对称点为(0，54)，过两点(53，0)和(0，54)的直线即为所求，由两点式或截距式可得 3x4y50.答案：B3直线 3x2y60 和 2x5y70 的交点的坐标为()A(4，3)B(4,3)C(4,3)D(3,4)解析：由方程组3x2y60，2x5y70，得x4，y3.答案：C4已知ABC 的顶点 A(2,3)，B(1,0)，C(2,0)，则ABC 的周长是()A2 3B32 3C63 2 D6 10解析：|AB|212323 2，|BC|21203，|
12、AC|222323，则ABC 的周长为 63 2.答案：C5.2014山东德州高一检测分别求经过两条直线 2xy30 和 xy0 的交点，且符合下列条件的直线方程(1)平行于直线 l1：4x2y70；(2)垂直于直线 l2：3x2y40.解析：解方程组2xy30，xy0，得交点 P(1,1)，(1)若直线与 l1 平行，k12，斜率 k2，所求直线 y12(x1)，即：2xy10.(2)若直线与 l2 垂直k232，斜率 k1k223，y123(x1)，即：2x3y50.5 辨错解走出误区易错点：分类讨论不彻底【典例】若三条直线 l1：4xy40，l2：mxy10，l3：xy10 不能围成三角
13、形，求 m 的取值【错解】当三条直线 l1、l2、l3 中至少有两条平行时，三直线不能围成三角形显然 l1 与 l3 不平行，只可能 l1l2 或 l2l3.当 l1l2 时，m4；当 l2l3 时，m1.【错因分析】错解讨论了当存在两条直线平行时，不能构成三角形，而忽略了三线共点时也满足“不能构成三角形”这一条件此时，只需先求出两直线交点的坐标，同时满足第三条直线的方程即可【正解】当 l1l2 或 l2l3 时不能构成三角形，此时对应的 m 值分别为 m4，m1；当直线 l1，l2，l3 经过同一点时，也不能构成三角形由xy10，4xy40，得x1，y0.代入 l2 的方程得m10，即 m1.综上可知 m4，1,1.
