1、考点过关检测（十三）1(2019滨州模拟)如图，已知四边形ABCD与四边形BDEF均为菱形，FAFC，且DABDBF60.(1)求证：AC平面BDEF；(2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值解：(1)证明：设AC与BD相交于点O，连接FO，因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，且O为AC的中点，因为FAFC，所以ACFO，又FOBDO，所以AC平面BDEF.(2)连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且DBF60，所以DBF为等边三角形，因为O为BD的中点，所以FOBD，又ACFO，ACBD，所以OA，OB，OF两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如
2、图所示的空间直角坐标系Oxyz，设AB2，因为四边形ABCD为菱形，DAB60，所以BD2，AC2.因为DBF为等边三角形，所以OF.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D(0，1,0)，F(0,0，)，所以(，1,0)，(，0，)，(，1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得平面ABF的一个法向量为n(1，1)设直线AD与平面ABF所成的角为，则sin |cos，n|.故直线AD与平面ABF所成角的正弦值为.2.在斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，底面ABC是边长为2的正三角形，A1AA1C，A1AA1C.(1)求证：A1C
3、1B1C；(2)求二面角B1A1CC1的正弦值解：(1)证明：取A1C1的中点D，连接B1D，CD，C1CA1AA1C，CDA1C1，底面ABC是边长为2的正三角形，ABBC2，A1B1B1C12，B1DA1C1，又B1DCDD，A1C1平面B1CD，A1C1B1C.(2)法一：过点D作DEA1C于点E，连接B1E.侧面AA1C1C底面ABC，侧面AA1C1C平面A1B1C1，又B1DA1C1，侧面AA1C1C平面A1B1C1A1C1，B1D平面A1CC1，B1DA1C.DEB1DD，A1C平面B1ED.B1E平面B1ED，B1EA1C，B1ED为所求二面角的平面角，A1B1B1C1A1C12
4、，B1D，又EDCC1，B1E，sinB1ED，即二面角B1A1CC1的正弦值为.法二：取AC的中点O，以O为坐标原点，为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示则依题意，O(0,0,0)，C(1,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，A1(0,0,1)，(1，0)，(1,0，1)设平面B1A1C的法向量为m(x，y，z)，则即取x，得m(，1，)又平面C1A1C的法向量可取(0，0)，cosm，二面角B1A1CC1的正弦值为.3(2019郑州模拟)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD，ABD30，AB2AD.(1)求证：平面
5、BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值解：(1)证明：在ABD中，ABD30，AB2AD，由余弦定理，得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD，因为DE平面ABCD，BD平面ABCD，所以DEBD.又ADDED，所以BD平面ADE.因为BD平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.(2)设AD1，由(1)可得，在RtABD中，BAD60，BDAD，EDBD.因为DE平面ABCD，BDAD，所以DE，DB，DA两两垂直以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0)，C(1，0)，E(0,0，
6、)，F(0，)，所以(1,0，)，(2，0)设平面AEC的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(，2,1)为平面AEC的一个法向量设AF与平面AEC所成角为，因为(1，)，所以sin |cosn，|，所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.4(2019福州四校联考)如图，在梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，四边形BFED是直角梯形，DEBD，BFDE，DE2BF2，平面BFED平面ABCD.(1)求证：AD平面BFED；(2)在线段EF上是否存在一点P，使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由解：(1)证明：在
7、梯形ABCD中，ABCD，ADDCCB1，BCD120，AB2，BD2AB2AD22ABADcos 603，AB2AD2BD2，BDAD，平面BFED平面ABCD，平面BFED平面ABCDBD，AD平面BFED.(2)AD平面BFED，DE平面BFED，ADDE，以D为坐标原点，分别以DA，DB，DE所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，0)，E(0,0,2)，F(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1,0,2)设(0，)(01)，则(1，2)取平面ADE的一个法向量为n(0,1,0)，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，则即
8、令y2，得x2，z，m(2，2，)为平面PAB的一个法向量，|cosm，n|，解得，当P为线段EF靠近点E的三等分点时满足题意5如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，二面角CABD的平面角的正切值为，求二面角BADE的余弦值解：(1)证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDDC，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又因为ADAB，DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知AB平
9、面ADC，所以二面角CABD的平面角为CAD.又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD.依题意tanCAD.因为AD1，所以CD.设ABx(x0)，则BD.依题意ABDDCB，所以，即.解得x，故AB，BD，BC3.以D为坐标原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0，0)，B(，0,0)，C(0，0)，E，A，0，所以，.由(1)知平面BAD的一个法向量n(0,1,0)设平面ADE的法向量为m(x，y，z)，则即令x，得y1，z1，所以m(，1，1)为平面ADE的一个法向量所以cosn，m.由图可知二面角BADE的平面角为锐角，所以二面角BADE的余弦值为.
