1、第2讲三角恒等变换与解三角形一、选择题1.已知R，sin 2cos ，则tan 2等于()A. B. C. D.解析sin 2cos ，sin2 4sin cos 4cos2.用降幂公式化简得：4sin 23cos 2，tan 2.故选C.答案C2.(2022武汉模拟)已知，sin，则cos 等于()A. B. C.或 D.解析，.sin，cos，cos coscoscos sinsin .答案A3.(2022新课标全国卷)钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A.5 B. C.2 D.1解析SABCABBCsin B1sin B，sin B，若B45，则由余弦定理得AC1，ABC
2、为直角三角形，不符合题意，因此B135，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B12215，AC.故选B.答案B4.(2022广东卷)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cos A，且bc，则b()A. B.2 C.2 D.解析由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2，即b26b80，b4或b2，又bc，b2.答案C5.已知tan ，sin()，其中，(0，)，则sin 的值为()A. B. C. D.或解析依题意得sin ，cos .注意到sin()sin ，因此有(否则，若，则有0，0sin sin()，这与“sin()sin ”矛盾)
3、，则cos()，sin sin()sin()cos cos()sin .答案A二、填空题6.(2022济宁模拟)已知sinsin ，0，则cos_.解析sinsin ，0，sin cos ，sin cos ，coscos cos sin sin cos sin .答案7.(2022安徽卷)在ABC中，AB，A75，B45，则AC_.解析由已知C60，由正弦定理得，AC2.答案28.如图，嵩山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角ABC120；从B处攀登400米到达D处，回头看索道AC，发现张角ADC150；从D处再攀登800米方到达C处，则索道
4、AC的长为_米.解析如题图，在ABD中，BD400米，ABD120.因为ADC150，所以ADB30.所以DAB1801203030.由正弦定理，可得.所以，得AD400(米).在ADC中，DC800米，ADC150，由余弦定理可得AC2AD2CD22ACCDcosADC(400)280022400800cos 150400213，解得AC400(米).故索道AC的长为400米.答案400三、解答题9.(2022江苏卷)在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin 2C的值.解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos A492237，所以BC.(2)由
5、正弦定理知，所以sin Csin A.因为ABBC，所以C为锐角，则cos C.因此sin 2C2sin Ccos C2.10.(2022浙江卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知tan2.(1)求的值；(2)若B，a3，求ABC的面积.解(1)由tan2，得tan A.所以.(2)由tan A，A(0，)，得sin A，cos A.又由a3，B及正弦定理，得b3.由sin Csin(AB)sin得sin C，设ABC的面积为S，则Sabsin C9.11.(2022四川卷)已知A、B、C为ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2pxp10(pR)的两个实根.(1)求C的大小；(2)若AB3，AC，求p的值.解(1)由已知，方程x2pxp10的判别式(p)24(p1)3p24p40，所以p2，或p，由根与系数的关系，有tan Atan Bp，tan Atan B1p，于是1tan Atan B1(1p)p0，从而tan(AB)，所以tan Ctan(AB)，所以C60.(2)由正弦定理，得sin B，解得B45，或B135(舍去)，于是A180BC75，则tan Atan 75tan(4530)2，所以p(tan Atan B)(21)1.5
