1、第七篇 立体几何与空间向量(必修2、选修2-1)第 5 节 直线、平面垂直的判定与性质 最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题.返回导航返回导航【教材导读】1直线 l 与平面 内无数条直线垂直，则直线 l 吗？提示：不一定，当这无数条直线相互平行时，l 与 不一定垂直2若平面 内有一条直线垂直于平面，则 吗？提示：垂直3若，则 内任意直线都与 垂直吗？提示：不一定，平面 内只有垂直于交线的直线才与 垂直1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义直线 l 与平面 内的_直线都
2、垂直，就说直线 l 与平面 互相_返回导航任意一条垂直返回导航文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线_(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理 两条相交直线平行2.直线与平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的_所成的_，叫做这条直线和这个平面所成的角如图，_就是斜线 AP 与平面 所成的角(2)线面角 的范围 0，2.返回导航PAO射影锐角3二面角、平面与平面垂直(1)二面角二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角这条直线叫做二面角的棱这两个半平面叫做二面角的面如图，记
3、作：二面角 l 或二面角 AB 或二面角 PABQ.返回导航 二面角的平面角：在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O，以点 O 为垂足，在半平面 和 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB，则射线 OA 和OB 构成的AOB 叫做二面角的平面角(2)平面与平面的垂直定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直返回导航直二面角平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_，则这两个平面垂直_ 性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_的直线垂直于另一个平面_l返回导航lala垂线交线【重要结论】1若两平行线中的
4、一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2若两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行3若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面平行返回导航1设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，()(A)不存在(B)有且只有一对(C)有且只有两对(D)有无数对返回导航D 解析：过直线 a 的平面 有无数个，当平面 与直线 b 平行时，两直线的公垂线与 b 确定的平面，当平面 与 b 相交时，过交点作平面 的垂线与 b 确定的平面.2如图，在正方体 ABCEA1B1C1D1 中，点 O，M，N 分别是线段 BD，DD1，D1C1 的中点，则直线 OM 与 AC，
5、MN 的位置关系是()(A)与 AC，MN 均垂直(B)与 AC 垂直，与 MN 不垂直(C)与 AC 不垂直，与 MN 垂直(D)与 AC，MN 均不垂直返回导航A 解析：因为 DD1平面 ABCD，所以 ACDD1，又因为 ACBD，DD1BDD，所以 AC平面 BDD1B1，因为 OM平面 BDD1B1，所以OMAC.设正方体的棱长为 2，则 OM 12 3，MN 11 2，ON 14 5，所以 OM2MN2ON2，所以 OMMN.故选 A.返回导航3.如图，AB 是半圆 O 的直径，VA 垂直于半圆 O 所在的平面，点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点，M，N 分别为 VA，VC
6、 的中点，则下列结论正确的是()(A)MNAB(B)平面 VAC平面 VBC(C)MN 与 BC 所成的角为 45(D)OC平面 VAC返回导航B 解析：依题意得，BCAC，因为 VA平面 ABC，BC平面 ABC，所以 VABC.因为 ACVAA，所以 BC平面 VAC.因为 BC平面 VBC，所以平面 VAC平面 VBC.故选 B.返回导航4.如图，PA圆 O 所在的平面，AB 是圆 O 的直径，C 是圆 O 上的一点，E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面 PBC.其中正确结论的序号是_返回导航解析：由题意知 PA平面 AB
7、C，PABC.又 ACBC，PAACA，BC平面 PAC.BCAF.AFPC，BCPCC，AF平面 PBC，AFPB，AFBC.又 AEPB.AEAFA，PB平面 AEF.PBEF.故正确返回导航答案：5边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角，则 AC 的长为_返回导航解析：如图所示，取 BD 的中点 O，连接AO，CO，则AOC 是二面角 ABDC 的平面角，即AOC90，又 AOCO 22 a.所以 ACa22 a22 a，即折叠后 AC 的长(AC)为 a.答案：a返回导航考点一 直线与平面垂直的判定和性质 如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方
8、形，AB2EF2，EFAB，EFFB，BFC90，BFFC，H 为 BC 的中点(1)求证：FH平面 EDB；(2)求证：AC平面 EDB.解析：(1)设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为 AC 的中点连 EG，GH，由于 H 为 BC 的中点，故,2AB.又,2AB，.四边形 EFHG 为平行四边形EGFH，而 EG平面 EDB，FH平面 EDB，FH平面 EDB.(2)由四边形 ABCD 为正方形，有 ABBC.又 EFAB，EFBC.而 EFFB，EF平面 BFC，EFFH.返回导航ABFH.又 BFFC，H 为 BC 的中点，FHBC.FH平面 ABCD.FHAC.又 FHEG，
9、ACEG.又 ACBD，EGBDG，AC平面 EDB.返回导航【反思归纳】(1)证明线线垂直的常用方法利用特殊图形中的垂直关系；利用等腰三角形底边中线的性质；利用勾股定理的逆定理；利用直线与平面垂直的性质返回导航(2)证明线面垂直的常用方法利用线面垂直的判定定理；利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”；利用面面垂直的性质定理返回导航【即时训练】如图，在ABC 中，ABC90，D 是 AC 的中点，S 是ABC 所在平面外一点，且 SASBSC.(1)求证：SD平面 ABC；(2)若 ABBC，求证：BD平面 S
10、AC.返回导航解：(1)因为 SASC，D 是 AC 的中点，所以 SDAC.在 RtABC 中，ADBD，又 SASB，SDSD，所以ADSBDS.所以 SDBD.又 ACBDD，所以 SD平面 ABC.(2)因为 ABBC，D 为 AC 的中点，所以 BDAC.由(1)知 SDBD，又 SDACD，所以 BD平面 SAC.考点二 平面与平面垂直的判定和性质考查角度 1：面面垂直的判定 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，AB2AA12AC2，ABC30.(1)求证：平面 A1BC平面 AA1C1C；(2)若点 D 是棱 AC 的中点，点 F 在线段 AC1上，且 AC
11、13FC1，求证：平面 B1CF平面 A1BD.返回导航解：(1)在三棱柱 ABCA1B1C1 中，因为 AA1平面 ABC，BC平面 ABC，所以 AA1BC.在ABC 中，因为 AB2AC2，且ABC30，根据正弦定理，得ABsinACBACsinABC，所以 sinACB1，因为 0ACB180，所以ACB90，即ACBC.又 ACAA1A，所以 BC平面 AA1C1C，因为 BC平面 A1BC，所以平面 A1BC平面 AA1C1C.返回导航(2)设 A1D 与 AC1 交于点 E，连接 AB1 交 A1B于点 G，连接 EG，如图所示，因为 ADA1C1，所以ADEC1A1E，DAEA
12、1C1E，所以ADEC1A1E，又点 D 是棱 AC 的中点，所以 AEC1E ADC1A112.因为 AC13FC1，所以 AEEFFC1，所以 CFDE.因为 CF/平面 A1BD，DE平面 A1BD，所以 CF平面 A1BD.因为点 G 为 AB1 的中点，所以 B1FGE.又 B1F/平面 A1BD，GE平面 A1BD，所以 B1F平面 A1BD.因为 B1FCFF，所以平面 B1CF平面 A1BD.返回导航【反思归纳】(1)面面垂直的证明方法定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题定理法：利用面面垂直的判定定理，即
13、证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决提醒：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据运用时要注意“平面内的直线”返回导航(2)三种垂直关系的转化 返回导航考查角度 2：面面垂直性质的应用高考扫描：2013 高考全国新课标卷 如图，三棱锥 PABC 中，平面PAC平面 ABC，ABC2，点 D，E 在线段AC 上，且 ADDEEC2，PDPC4，点F 在线段 AB 上，且 EFBC.证明：AB平面 PFE.返回导航证明：由 DEEC，PDPC 知，E 为等腰PDC 中 DC 边的中点，故 PEAC.又平面 P
14、AC平面 ABC，平面 PAC平面 ABCAC，PE平面 PAC，PEAC，所以 PE平面 ABC，从而 PEAB.因为ABC2，EFBC，故 ABEF.从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE，EF 都垂直，所以 AB平面 PFE.返回导航【反思归纳】面面垂直性质的应用(1)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”(2)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面返回导航考点三 线面角与二面角的求法 如图，已知三棱锥 PABC 中，ACB90，BC4，AB20，D 为 AB 的中点，且PDB 是等边三角形，PAPC.(1)求
15、证：平面 PAC平面 ABC；(2)求二面角 DAPC 的正弦值返回导航解析：(1)在 RtACB 中，D 是斜边 AB 的中点，所以 BDDA.因为PDB 是等边三角形，所以 BDDPBP，则 BDDADP，因此APB 为直角三角形，即 PABP.又 PAPC，PCBPP，所以 PA平面 PCB.因为 BC平面 PCB，所以 PABC.又 ACBC，PAACA，所以 BC平面 PAC.因为 BC平面 ABC，所以平面 PAC平面 ABC.(2)由(1)知 PAPB，又 PAPC，故BPC 即二面角 DAPC 的平面角由(1)知 BC平面 PAC，则 BCPC.在 RtBPC 中，BC4，BP
16、BD10，所以 sinBPCBCBP 41025，即二面角 DAPC 的正弦值为25.返回导航【反思归纳】空间线面角、二面角的求法(1)线面角的求法：找出斜线在平面上的射影，作出垂线，确定垂足(2)二面角的求法直接法：根据概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角垂线法：过二面角的一个半平面内一点 A，作另一个半平面的垂线，垂足为 B，再从垂足 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 C，连接 AC，则ACB 就是二面角的平面角或其补角返回导航【即时训练】(2018 广州六校
17、)如图，在四棱锥 PABCD 中，ABCD是平行四边形，ABBC1，BAD120，PBPC 2，PA2，E，F 分别是 AD，PD 的中点()证明：平面 EFC平面 PBC；()求二面角 ABCP 的余弦值返回导航解析：()取 BC 中点 G，连 PG，AG，AC，PBPC，PGBC，ABCD 是平行四边形，ABBC1，BAD120，ABC60，返回导航ABC 是等边三角形，AGBC，AGPGG，BC平面 PAG，BCPA.E，F 分别是 AD，PD 的中点，EFPA，ECAG，BCEF，BCEC，EFECE，BC平面 EFC，返回导航BC平面 PBC，平面 EFC平面 PBC.()解法一：由
18、()知 PGBC，AGBC，PGA 是二面角 ABCP 的平面角.PG214 72，AG 32，PA2，在PAG中，根据余弦定理得 cosPGAPG2AG2PA22PGAG 217，二面角 ABCP 的余弦值为 217.返回导航解法二：以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则 C(0,0,0)，E32，0，0，B(0,1,0)，D32，12，0，设 P(x，y，z)，由|PB|2|PC|22，|PA|24，返回导航可得 x 32，y12，z1，P 32，12，1CB(0,1,0)，CP 32，12，1，设 n(x，y，z)是平面 PBC 的法向量，由nCBy0nCP 32 x12y
19、z0，得y0z 32 x，令 x2，则 n(2,0，3)，返回导航又 m(0,0,1)是平面 ABC 的法向量，cosm，n mn|m|n|37 217，由图形知二面角 ABCP 为钝角，二面角 ABCP 的余弦值为 217.返回导航立体几何中探索问题的求解策略 如图，在四棱锥 SABCD 中，平面 SAD平面 ABCD.四边形 ABCD 为正方形，且 P 为 AD 的中点(1)求证：CD平面 SAD；(2)若 SASD，M 为 BC 的中点，在棱 SC 上是否存在点 N，使得平面 DMN平面 ABCD？并证明你的结论返回导航解析：(1)证明：因为四边形 ABCD 为正方形，所以 CDAD.又
20、平面 SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 ABCDAD，所以 CD平面 SAD.(2)存在点 N 为 SC 的中点，使得平面DMN平面 ABCD.证明如下：连接 PC、DM 交于点 O，连接 PM、SP、NM、ND、NO，因为 PDCM，且 PDCM，所以四边形 PMCD 为平行四边形，所以 POCO.返回导航又因为 N 为 SC 的中点，所以 NOSP.易知 SPAD，因为平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD，并且SPAD，所以 SP平面 ABCD，所以 NO平面 ABCD.又因为 NO平面 DMN，所以平面 DMN平面 ABCD.返回导航【反思归纳】探索性问题，可采用试探存在某个点，看其是否适合条件也可以假设存在这个结论，根据其性质推导出点的位置注意：充分利用垂直关系的相互转化，敢于尝试特殊位置 返回导航返回导航课时作业 点击进入word.返回导航谢谢观看！
