1、2012届高考数学压轴题预测专题2 数列1. 已知函数，是方程f(x)0的两个根，是f(x)的导数；设，(n1，2，) (1)求的值； (2)证明：对任意的正整数n，都有a；解析：(1)，是方程f(x)0的两个根，； (2)，有基本不等式可知(当且仅当时取等号)，同，样，(n1，2，)，2. 已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当a0时，求数列的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。解：（1）(n2)由得， ，即
2、从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）当n2时，是等比数列, (n2)是常数，3a+4=0，即 。（3）由（1）知当时，所以，所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1；当时，最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；当时，最小项为2a+1。 点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。考点二：求数列的通项与求和3. 已知数列中各项为： 12、1122、111222、 （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn . 分析：先要通过
3、观察，找出所给的一列数的特征，求出数列的通项，进一步再求和。解：（1） 记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 (2) 点评：本题难点在于求出数列的通项，再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积，解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。4. 已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列 ，即.（） （）， 当时，则， 对任意的， 点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成
4、我们熟悉的结构求得数列的通项，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，这将到下一考点要重点讲到。考点三：数列与不等式的联系5. 已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：；分析：本题是借助函数给出递推关系，第（2）问的不等式利用了函数的性质，第（3）问是转化成可以裂项的形式，这是证明数列中的不等式的另一种出路。解： 又为锐角 都大于0 点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。6. 已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若数列满足，证明：是等差数列；（）证明：分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关
5、键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（2），得，即得，即所以数列是等差数列（3）设，则 点评：数列中的不等式要用放缩来解决难度就较大了，而且不容易把握，对于这样的题要多探索，多角度的思考问题。7. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（） （）若则当n2时,.分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。解：()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x
6、)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = .由 两式可知: . 点评：本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题，属于难题，复习时应引起注意。考点四：数列与函数、向量等的联系8. 已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1)写出、的值; (2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=，记Sn=证
7、明：当n2时,Sn(2n1)分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。解：(1)，因为所以（2）因为所以,因为所以与同号，因为，即（3）当时，所以，所以 点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。9. 在平面直角坐标系中，已知三个点列An，Bn，Cn，其中 ，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的线上 （1）试用a与n表示； （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解：（1）又Bn在方向向量为（1，6）的直线上， （2）二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列an的最小项，对称轴 点评：本题是向量、二次函数、不等式知识和交汇题，要解决好这类题是要有一定的数学素养的。