1、二次函数的图象和性质一、选择题1、（2022年湖北荆州模拟题）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为（ ）A.-3 B.3 C.-5 D.9 答案：B2.（2022年安徽模拟二）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为 （ ）yxOyxOBCyxOAyxOD答案：D3（2022年安徽凤阳模拟题三）.已知二次函数y=3(xm)(xn),并且a,b是方程3(xm)(xn)=0的两个根，则实数m,n,a,b的大小关系可能是：（ ）A、mabn B manbn C ambn D amnb答案：D4（2022年北京房山区一模）将二次函数化成形式，则结果
2、为 （ ）A. B. C. D. 答案：D5（2022年北京平谷区一模）将函数进行配方，正确的结果应为AB C D答案：A6、(2022年安徽省模拟六)将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是【 】A B C D答案：A7、(2022年安徽省模拟七)二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则m的最大值为【 】A3 B3 C5 D9 答案：B第2题图 第3题图第5题图xyA8、(2022年安徽省模拟八)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有【 】A3个
3、B2个 C1个 D0个答案：B9、(2022年湖北荆州模拟5)对于抛物线，下列说法正确的是 （ ） A开口向下，顶点坐标(5，3) B开口向上，顶点坐标(5，3)C开口向下，顶点坐标(-5，3) D开口向上，顶点坐标(-5，3)答案： A10、(2022年湖北荆州模拟5)如图，抛物线y = x2 + 1与双曲线y = 的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式 + x2 + 1 1 Bx 1 C0 x 1 D1 x 0时，y随x增大而增大答案：D13.（2022浙江锦绣育才教育集团一模）如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和
4、过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D当OD=AD=8时，这两个二次函数的最大值之和等于（ ）A5 B 2 C8 D6第10题图 答案：B14、(2022年江苏南京一模)把函数y2x24x的图象先沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数是Ay2(x3)24(x3)2By2(x3)24(x3)2Cy2(x3)24(x3)2Dy2(x3)24(x3)2答案：B15、(2022年江苏南京一模)二次函数yx22x5有A最大值5 B最小值5 C最大值6 D最小值619、（2022杭州江干区模拟）已知二次函数，
5、它的顶点坐标为A（3，） B（，） C（，） D（，3）【答案】A20、（2022年广州省惠州市模拟）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，此图象与x轴的交点坐标分别为（-1，0）、（3，0）下列说法正确的个数是（）ac0 a+b+c0 方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3当x1时，y随着x的增大而增大 A.1B. 2 C.3D. 4答案：C21、（2022年广东省珠海市一模）二次函数y=2（x+1）23的对称轴是直线Ax=2Bx=1Cx=1Dx=3答案：B22、（2022年广东省珠海市一模）抛物线y=2x25x+3与坐标轴的交点共有A1个B2个C3个D4个答案：C23、（2
6、022浙江台州二模）8如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴（第1题）正半轴的夹角为15，点B在抛物线的图像上，则的值为（ ）A B C D【答案】B24、（2022宁波五校联考一模）若二次函数在的范围内至少有一个的值使成立，则的取值范围是 （ ）A B C D 答案：C25、（2022山东德州特长展示）二次函数的图象如图所示，在下列说法中：0；xyO31第1题图当时，随着的增大而增大正确的说法个数是（ ）A1 B2 C3 D4 C26、 (2022年江苏无锡崇安一模）若二次函数yx26xc的图象过A(1，y1)、B(2，y2)、C(3，y3)三点，则y1、y2、y3的大小关系正确
7、的是（ ）Ay1y2y3 By1y3y2 Cy2y1y3 Dy3y1y2答案：B27（2022年杭州拱墅区一模）二次函数（a，b，c是常数，a0）图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：；当时，其中正确的是（ ）A B C D 答案：C28. （2022年广西钦州市四模）如图3，从地面坚直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式为，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：（）6s （）4s （）3s （）2s答案：A29（2022年广西梧州地区一模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于A(，5)、B(9，2)两点，则关于的不等式的解集
8、为(A) ( B) (C) ( D) 或 答案：解析式为； ； 答案：D二、填空题1、（2022年湖北荆州模拟题）.如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为_ 答案：2（2022年北京龙文教育一模）点A（，）、B（，）在二次函数的图象上，若1，则与的大小关系是 （用“”、“”、“=”填空）答案：. 1、(2022年湖北荆州模拟5)把抛物线y=x2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 . 答案：y=x2+8x+10 3、（2022年上海长宁
9、区二模)若将抛物线沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 .答案：(0,2)4、（2022浙江东阳吴宇模拟题）当时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是 （只填写序号） ； ； ； 答案： 5、（2022浙江省宁波模拟题）抛物线y3x2的图象向左平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式为_答案：y=3(x+1)2 6、(2022年江苏南京一模)二次函数的图象如图所示，试确定、的符号； 0， 0（填不等号）答案： 7、(2022年江苏南京一模)已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论：c2； b24ac0； 当x=1时，y的最小值为a+b+
10、c中，正确的有xyO22_ _答案：、8、(2022年江苏南京一模)将下列函数图像沿y轴向上平移a（a0）个单位长度后， 不经过原点的有 (填写正确的序号) y；y3x3；yx23x3；y(x3)23答案：9、二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，由图象可知该二次函数的图象的对称轴是直线x 2 10. 若抛物线与满足，则称互为“相关抛物线”. 给出如下结论：y1与y2的开口方向，开口大小不一定相同; y1与y2的对称轴相同;若y2的最值为m，则y1的最值为k2m;若y2与x 轴的两交点间距离为d，则y1与x 轴的两交点间距离也为.其中正确的结论的序号是_（把所有正确结论的序号都填在横线上）
11、.11、（2022杭州江干区模拟）在平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像交于A、B两点，已知B点的横坐标为2，当时，自变量的取值范围是 【答案】12、（2022河南南阳市模拟）已知下列函数y=x2；y=x2；y=（x1）2+2其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）【答案】 13、(2022年广东省佛山市模拟)甲、乙两位同学对问题“求函数的最小值”提出各自的想法。甲说：“可以用配方法，把它配成，所以函数的最小值为-2”。乙说：“我也用配方法，但我配成，最小值为2”。你认为_（填写“甲对”、“乙对”、“甲、乙都对”或“甲乙都不对”）的。你还可以用
12、_法等方法来解决（原创）答案：乙 图象（答案不唯一） 14、（2022年广州省惠州市模拟） 抛物线的对称轴是_.答案：215、(2022年广东省中山市一模)已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是_答案：m516、(2022北仑区一模)16点、是二次函数的图象上两点，则与的大小关系为 （填“”、“”、“”）【答案】0）秒（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l： 当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；当l经过点B时，求t的值解：（1）在
13、矩形ABCD中，2分（2）如图，过点P作PHAB于点H，AP=t，AQ =3t，由AHPABC，得，PH=，2分，2分.1分图(3) 如图，线段PQ的垂直平分线为l经过点A，则AP=AQ，即3t=t，t=1.5，AP=AQ=1.5，1分延长QP交AD于点E，过点Q作QOAD交AC于点O，则，PO=AOAP=1 由APEOPQ，得2分（）如图，当点Q从B向A运动时l经过点B，BQCPAPt，QBPQAP QBPPBC90，QAPPCB90PBCPCB CPBPAPt CPAPAC52.5t2.5 2分（）如图，当点Q从A向B运动时l经过点B，BPBQ3（t3）6t，APt，PC5t，过点P作PG
14、CB于点G由PGCABC，得,BG4=由勾股定理得，即 ，解得2分13已知点A（a，）、B（2a，y）、C（3a，y）都在抛物线上.（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）当a=1时，求ABC的面积；（3）是否存在含有、y、y，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.解：（1）由5=0，（1分）得，（3分）抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（，0）（5分）（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），（6分）分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有=S - - （7分） =-（8分）=5（个单位面积）（9分）（3）如：
15、（12分）事实上， =45a2+36a 3（）=35（2a）2+122a-（5a2+12a） =45a2+36a 14、（2022云南勐捧中学模拟）（本小题9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴（1）求该抛物线的解析式（2）若过点A（1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式（3）点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标第23题图【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点
16、，且与y轴交于D（0，3），假设二次函数解析式为：y=a（x1）（x3），将D（0，3），代入y=a（x1）（x3），得：3=3a，a=1，抛物线的解析式为：y=（x1）（x3）=x24x+3；（2）过点A（1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，ACBC=6，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，二次函数对称轴为x=2，AC=3，BC=4，B点坐标为：（2，4），一次函数解析式为；y=kx+b，解得：，y=x+；（3）当点P在抛物线的对称轴上，P与直线AB和x轴都相切，MOAB，AM=AC，PM=PC，AC=1+2=3，BC=4，A
17、B=5，AM=3，BM=2，MBP=ABC，BMP=ACB，ABCCBM，PC=1.5，P点坐标为：（2，1.5）14、（2022温州模拟）21. (本题10分) 如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上求点M，使MOB的面积是AOB面积的3倍.【答案】（1）由题意，可设抛物线的解析式为， 1分抛物线过原点， 2分抛物线的解析式为1分（2）和所求同底不等高，的高是高的3倍，即M点的纵坐标是 1分，即 2分解之，得， 1分满足条件的点有两个：， 2分yxOAB15、（2022重庆一中一模）25 如图,在平面直角坐标系中，点为二
18、次函数与反比例函 数在第一象限的交点，已知该抛物线交轴正 负半轴分别于点、点，交轴yxy负半轴于点，且（1） 求二次函数和反比例函数的解析式；（2） 已知点为抛物线上一点，且在第三象限，顺次连接点，求四 边形面积的最大值；（3） 在（2）中四边形面积最大的条件下，过点作轴于点，交 的延长线于点,为线段上一点，且点到直线的距离等于线段 的长，求点的坐标【答案】16解：（1）将A（2,3）代入中， .1分 解得 .4分 当时，四边形DMBE的面积最大为9 . .8分HEPFQO .12分17（2022江西饶鹰中考模拟）已知：抛物线的顶点为P，与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）.(1) 当，直
19、接写出与抛物线有关的三条正确结论；（2）若抛物线经过原点，且ABP为直角三角形.求a，b的值；（3）若将抛物线沿轴翻折得抛物线，抛物线的顶点为Q，则以A，P，B，Q为顶点的四边形能否为正方形？若能，请求出a，b满足的关系式；若不能，说明理由yxOyxO备用图 答案：解：（1）抛物线开口向下；抛物线的对称轴是. ；抛物线的顶点坐标是（2,）（答案不唯一） （2）设直线与轴交于点E,则E（2,0）.抛物线经过原点， (0,0),(4,0). ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知,(2,2)或(2,2).来%&源:中#教网当抛物线的顶点为(2,2)时，把(0,0)代入，得：，此时，. 当抛物线
20、的顶点为(2,2)时，把(0,0)代入，得：，此时，.，或，. （3）依题意，、关于点E中心对称，当,也关于点E对称，则当时， 四边形ABDC是正方形. 令则来#源*:zzste解得：且（2,） ， . 18（2022宁波五校联考一模）如图，将OABC放置在平面直角坐标系xOy内，已知AB边所在直线的解析式为：y = x + 4(1)点C的坐标是（ ， ）；ABCDEOxyP(2)若将OABC绕点O逆时针旋转90得OBDE，BD交OC于点P，求OBP的面积；(3)在(2)的情形下，若再将四边形OBDE沿y轴正方向平移，设平移的距离为x（0x8），与OABC重叠部分面积为S，试写出S关于x的函数
21、关系式，并求出S的最大值答案：解：（1）C（4，4）3（2）证得等腰直角OBP，4OB=4，SOBP=45yABCDEOxFGHKP（3）当0x4时，OF=GB=x，SOFK=，SHBG=SOPG=，S五边形KFBHP=7当x=2时，Smax=f(2)=68当4x8时，ABCDEOxFGHPyHB=FB=x4，CH=8x，SCPH=10当x=4时，Smax=f(4)=411当x=2时，S取得最大值为61219（2022宁波五校联考一模）某种乐器有10个孔，依次记作第1孔，第2孔，第10孔，演奏时，第n孔与其音色的动听指数D之间满足关系式D=n2+kn+90，该乐器的最低动听指数为4k+106，
22、求常数k的取值范围.答案：解：抛物线D=n2+kn+90的对称轴为（1）当 即时，有，故 解得 （不合题意） 3分（2）当，即时，有，故 解得 （不合题意） 6分（3）当，即时，在取值范围内，D有最低动听指数，且为故 化简得解得 10分综上所述，的取值范围是 12分20. （2022宁波五校联考二模）已知抛物线 经过点（1，2）。（1）若a1，抛物线顶点为A，它与x轴交于两点B、C，且ABC为等边三角形，求b的值；（2）若abc4，且abc，求 |a| |b| |c| 的最小值。解：由题意，abc2，a1，bc1 抛物线顶点为A（，c）设B（x1，0），C（x2，0），x1x2b，x1x2c，
23、b24c0|BC| x1x2|ABC为等边三角形， c 即b24c2，b24c0，2c1b，b24b160，b22 所求b值为22 abc，若a0，则b0，c0，abc0，与abc2矛盾.a0bc2a，bc b、c是一元二次方程x2(2a)x0的两实根（2a）240，a34a24a160, 即（a24）(a4)0，故a4.abc0，a、b、c为全大于或一正二负若a、b、c均大于，a4，与abc2矛盾； 若a、b、c为一正二负，则a0，b0，c0,则|a|b|c|abca(2a)2a2， a4，故2a26 当a4，bc1时，满足题设条件且使不等式等号成立故|a|b|c|的最小值为6 21、（20
24、22年湖北武汉模拟）（本题满分12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，线段BC与抛物线的对称轴l相交于点D。设抛物线的顶点为P，连接PA、AD、DP，线段AD与y轴相交于点E。（1）求该抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以Q、C、D为顶点的三角形与ADP全等？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由；（3）将CED绕点E顺时针旋转，边EC旋转后与线段BC相交于点M，边ED旋转后与对称轴l相交于点N，连接PM、DN，若PM2DN，求点N的坐标（直接写出结果）。解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过A（，0）、B（3，0）、
25、C（0，3）三点， 抛物线的解析式可设为， 将C（0，3）代入得，解得。 抛物线的解析式为，即。 （2）存在。如图， 由得对称轴l为， 由B（3，0）、C（0，3）得tanOBC=， OBC=300。 由轴对称的性质和三角形外角性质，得ADP=1200。由锐角三角函数可得点D的坐标为（，2）。DP=CP=1，AD=4。在y轴正方向上存在点Q1，只要CQ1=4，则由SAS可判断Q1CDADP，此时，Q1的坐标为（0，7）。由轴对称的性质，得Q1关于直线BC的对称点Q2也满足Q2CDADP，过点Q2作Q2Gy轴于点G，则在RtCQ2G中，由Q2C=4，Q2CG=600可得CG=2，Q2G=2。OG
26、=1。Q2的坐标为（2，1）。在对称轴l点P关于点D的反方向上存在点Q3，只要DQ3=4，则Q3DCADP，此时，Q3的坐标为（，2）。由轴对称的性质，得Q3关于直线BC的对称点Q4也满足Q2DCADP，过点Q4作Q4Hl于点H，则在RtDQ4H中，由Q4D=4，Q4DH=600可得DH=2，HQ4=2。Q4的坐标为（3，4）。综上所述，点Q的坐标为（0，7）或（2，1）或（，2）或（3，4）。（3）（）。22.（2022年湖北宜昌调研）抛物线中，b，c是非零常数，无论a为何值（0除外），其顶点M一定在直线y=kx+b上，这条直线和x轴，y轴分别交于点E，A，且OA=OE.（1）求k的值；（2
27、）求证：这条抛物线经过点A；第24题图（3）经过点A的另一条直线y=mx+n和这条抛物线只有一个公共点，经过点M作x轴的平行线和直线y=mx+n交于点B，经过点B作x轴的垂线和这条抛物线交于点C，和直线y=kx+1交于点D，探索CD和BC的数量关系. 解：(1)k1 (1分)(2)将顶点M坐标代入yx1化简得：(4c4)ab22b (3分)无论a为和何值，等式都成立，所以4c40，b22b0c1，b2（也可以取两个特殊值得到点M的坐标，代入直线表达式求出b，c的值）抛物线经过点A (5分) (3)由题意：方程mx1ax22x1的0，(2m)20，m2(7分)点B，C，D的坐标分别是B(，)，C
28、(， )，D(，)； (10分)用a表示出BC，CD的长度，得到BCCD| (12分)（求出BC或不扣分） 23.（2022年吉林沈阳模拟）（14分）如图，抛物线的顶点坐标为，并且与y轴交于点C，与x轴交于两点A,B. （1）求抛物线的表达式； （2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连结AC、AD, 求ACD的面积； （3）点E位直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F.问是否存 在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似.若存在，求出点E的坐标；若不存 在，请说明理由. 答案：（1）由题意可设抛物线的表达式为.点C在抛物线上，解得.抛物线的表达式为，即（2）令
29、，即，解得，.设BC的解析式为将代入得，解得.直线BC的解析式为当时，.所以(1) 假设存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与BCO相似，BCO是等腰直角三角形，则以D、E、F为顶点的三角形也必须是等腰直角三角形.由EFOC得DEF=45，故以D、E、F为顶点的等腰直角三角形只能以点D、F为直角顶点25. 点F为直角顶点时，DFEF，此时DEFBCO，所以DF所在的直线为由，解得将代入，得，将代入，得，24.当D为直角顶点时，DFED，此时EFDBCO.点D在对称轴上，DA=DB ，CBA=45，DAB=45,ADB=90,ADBC,故点在直线AD上设直线AD的解析式为将代入得： ，解得，
30、所以直线AD的解析式为， 由，解得。 将代入，得， 将代入，得，. 综上所述，点E的坐标可以是，25、（2022年杭州拱墅区一模）设函数，其中a可取的值是1，0，1； b可取的值是1，1，2：（1）当a、b 分别取何值时所得函数有最小值？请直接写出满足条件的这些函数和相应的最小值；（2）如果a在1，0，1三个数中随机抽取一个，b在1，1，2中随机抽取一个，共可得到多少个不同的函数解析式？在这些函数解析式中任取一个，求取到当x0时y随x增大而减小的函数的概率.（1），最小值；，最小值；，最小值0-3分（2）可得到9个不同的函数解析式-2分当x0时y随x增大而减小的函数是，概率为-3分（注：2个函数可以不具体写出）26（2022年上海徐汇区二摸）（本题满分12分）抛物线（）经过点，对称轴是直线，顶点是，与 轴正半轴的交点为点 （1）求抛物线（）的解析式和顶点的坐标； （6分）（2）过点作轴的垂线交轴于点，点在射线上，当以为直径的和以为半径的相切时，求点的坐标 （6分）答案：24解：（1）由题意，得，（2分）解得 （2分） （1分）顶点 （1分）（2）设的半径为由题意，可得，的半径为；（2分）当和相切时，分下列两种情况： 当和外切时，此时点在线段上，可得解得，（2分） 当和外切时，此时点在线段的延长线上，可得解得，（2分）综合，当和相切时，或38
