1、南宁三中20202021学年度上学期高二月考（三）理科数学试题一、单选题，共12题，每题5分，共60分请把答案填涂到答题卡相应位置1. 已知集合，则中有几个元素（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】判断出椭圆与直线的交点个数，即可选出答案.【详解】由题，联立，消去得，则，即椭圆与直线有两个交点，所以中有2个元素，故选：B2. 焦点坐标为，长轴长为10，则此椭圆的标准方程为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据长轴长算出后可得的值，从而可得椭圆的标准方程.【详解】因为长轴长为，故长半轴长，因为半焦距，故，又焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为 ，故选C【
2、点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.注意焦点的位置与标准方程形式上的对应.3. “”是“”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】【详解】当时，故“”是“”的充分不必要条件故选：A.4. 从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A. 至少有一个红球与都是红球B. 至少有一个红球与都是白球C. 恰有一个红球与恰有二个红球D. 至少有一个红球与至少有一个白球【答案】C【解析】【分析】【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以
3、下几种：3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球.选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C.5. 若曲线表示椭圆，则k的取值范围是A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得的取值范围【详解】由题设可得，解得，故选D【点睛】对于曲线，（1）如果该曲线为椭圆，则，更一
4、步地，如果表示焦点在轴上的椭圆，则有；如果表示焦点在的椭圆，则；（2）如果该曲线为双曲线，则，更一步地，如果表示焦点在轴上的双曲线，则有；如果表示焦点在的双曲线，则6. 若点在椭圆上，、分别是椭圆的两焦点，且，则的面积是（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意结合椭圆的定义和勾股定理确定的面积即可.【详解】设，利用椭圆的定义和勾股定理有：，则：，的面积.本题选择C选项.【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|PF2|2a，得到a，c的关系7. 某种饮料每箱6听，其中2听不合格，随机从
5、中抽出2听，检测到不合格的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题首先可以根据题意写出任取2听的所有可能事件，然后写出有不合格饮料的所以可能事件，最后两者相除，即可得出结果.【详解】设6听饮料中的2听不合格饮料为、，其余4听合格饮料为、，从中任取2听的所有可能事件为：、共15种，其中有不合格饮料的所以可能事件为：、共9种，则检测到不合格的概率，故选：B.【点睛】本题考查古典概型的相关概率计算，能否找出所有的可能事件以及满足限制条件的所有可能事件是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题.8. 在平面直角坐标系xOy中，P是椭圆上的一个动点，点A(1,1)，B(0，1)，
6、则|PA|PB|的最大值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】分析：由题意将所求解的最值问题结合椭圆的定义通过焦点转化为三点共线的问题，然后数形结合求解|PA|PB|的最大值即可.详解：椭圆方程为，焦点坐标为和，连接，根据椭圆的定义，得，可得，因此.当且仅当点P在延长线上时，等号成立.综上所述，可得的最大值为5.本题选择D选项.点睛：椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性，正确理解掌握定义是关键，应注意定义中的常数大于|F1F2|，避免了动点轨迹是线段或不存在的情况9. 在面积为的内部任取一点，则面积大于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】【详解】记事件
7、的面积超过,基本事件是三角形的面积,( 如图) 事件几何度量为图中阴影部分的面积并且，因为阴影部分的面积是整个三角形面积的 ,所以 。故选：D【点睛】解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积 ；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误10. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上点的任意一点，则的最大值为（ ）A. B.
8、 C. D. 【答案】B【解析】【分析】设点，可得出，且有，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最大值.【详解】由椭圆方程得，设，则，为椭圆上一点，可得，且有，因为，当时，取得最大值.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆中向量数量积最值的求解，解决本题的关键点在以下两方面：（1）的变化是由点在椭圆上运动而产生，解题时可设，将利用点的坐标加以表示；（2）在求的最值时，充分利用椭圆的有界性结合二次函数的基本性质求解.11. 已知点是椭圆上任意一点，则点到直线:的最大距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出椭圆与直线平行的切线，它们与的距离一个
9、最大值一个是最小值【详解】设直线与椭圆相切，由得，切线方程为和，与距离较规远的是，所求最大距离为故选：A.【点睛】本题考查椭圆上的点到直线距离的最值，解题方法是转化为平行直线与椭圆相切，求出两平行线间的距离即可12. 已知（）是椭圆的左、右顶点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，（），若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，则可得，即可求出离心率.【详解】设，则，由题意可得：，即，所以故选：C【点睛】本题考查椭圆的离心率问题，解题的关键是设出点，由题得出，即，即可求出.二、填空题，共4题，每题5分，共20分请在答题卡相应位置上作答13. 点
10、在运动过程中，总满足关系式，点M的轨迹方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意可得M的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出.【详解】由题可得M到与的距离之和为6，又两点间的距离为2，所以其轨迹是以为焦点的椭圆，故点M的轨迹方程为故答案为：.14. 下表是降耗技术改造后，生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到关于的线性回归方程为，那么表中的值为_34562.544.5【答案】3【解析】【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可【
11、详解】解：，又回归直线必过样本点的中心，所以，所以故答案为：3.【点睛】本题考查线性回归方程应用，解题关键是理解样本中心点在线性回归直线上，属于基础题15. 椭圆与直线交于、两点，若原点O与线段的中点P连线的斜率为，则的值是_【答案】【解析】【分析】设点、，利用点差法可得出，结合已知条件可求得的值.【详解】设点、，则，两式相减得，化简得，设，则，因为，所以，即，因此，.故答案为：.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将
12、交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.16. 已知椭圆的右焦点为，存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先由题意，得到不是水平直线，设直线的方程为，点，的坐标分别为，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，以及向量数量积的坐标表示，得到，再由，得出，由此列出不等式，即可求出结果.【详解】因为存在经过点的一条直线交椭圆于两点，使得，显然不是水平直线，设直线的方程为，点，的坐标分别为，由消去，整理得，由韦达定理，因为，所以，即，所以，而，则，即，整理得，所以，即，解得，即，即，所以又椭圆的离心率满足，所以.故答案为：【点睛】
13、关键点点睛：求解椭圆离心率问题的关键在于求出之间关系，本题中利用向量数量积的坐标表示，通过联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，得出，即可求解.三、解答题，共6题，共70分请在答题卡相应位置上作答，应写出必要的解题过程17. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85（1）计算甲班7位学生成绩的方差；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班、乙班各一人的概率【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题中所给的条件甲班学生的平均分是85，得甲班7位学生成绩的方差（2）从茎叶图中可以看到成绩在90分以上的学生甲
14、班有两名，乙班有三名，从这五名学生中任选两名共有十种情况，满足甲乙班各一人有四种情况，根据概率公式求得对应的概率值【详解】（1）甲班学生的平均分是，则甲班7位学生成绩的方差为（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E从这五名学生中任意抽取两名学生共有10种情况：（A，B)，(A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E） （8分）其中两人均来自甲班（或乙班）共有4种情况：（A，B)，（D，C），（E，D），（C，E）记“甲班、乙班各一人”为事件M，则，所以，从成绩在90分
15、以上的学生中随机抽取两名学生，甲班、乙班各一人的概率为18. 在ABC中，AsinC（）求B的大小；（）求cosA+cosC的最大值【答案】（） ；（）1【解析】【分析】（）由正弦定理得a2+c2=b2+ac，即可求得cosB，则B可求；（）由C=-A，代入cosA+cosC整理为sin（A+），由A的范围求其最大值即可【详解】（）在ABC中，由正弦定理可得a2+c2=b2+aca2+c2-b2=ac，cosB=，又BB=；（）由（I）得：C=-A，cosA+cosC =cosA+cos（-A）=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=sin（A+），A（0，），A+（，），故当A+
16、=时，sin（A+）取最大值1，即c cosA+cosC的最大值为1【点睛】本题考查正余弦定理及三角函数化简，三角函数性质，熟记公式，准确计算是关键，是中档题19. 设数列的前项和为，已知， .（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）由已知条件，从而，由此推导出数列是以为首项，公比为的等比数列，即可得到答案；（2）由（1）得，当时，即可求出数列的前项和.详解：（1）当时， ，. . ，. 数列是以为首项，公比为的等比数列. . （2）由（1）得， 当时， .点睛：非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数
17、列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和20. 已知点和,且,动点满足，记动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点,若直线与的斜率之和为1,求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，由，可得，代入，整理即可得结果；（2）设.联立，可得，根据直线与的斜率之和为1,利用斜率公式，结合韦达定理可得，从而可得结果.【详解】（1）设.， ,即 ., 曲线的方程 （2）设M（x1，y1），N（x2，y2）.联立，消去y，得.由，可
18、得.又直线y=2x+t不经过点H（0，1），且直线HM与HN的斜率存在，则且，由，解得，的值为3.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解方法，以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 求轨迹方程的常见方法有:直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；逆代法，将代入.21. 如图所示，四棱锥中，底面为菱形，且平面，是中点，是上的点.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，当时，是否存在点，使直线与平面的所成角的正弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）或【解
19、析】【分析】(1)根据底面菱形的特点得到，再由线面垂直得到，平面，进而得到面面垂直；（2）建立空间坐标系得到线面角的表达式，求解即可.【详解】（1）连接，因为底面为菱形，所以是正三角形，是的中点，又， 平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面 （2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，则，则，设，则，又，设是平面一个法向量，则 ，取，得，设直线与平面所成角，由，得： 化简得：，解得或，故存在点满足题意，此时为或【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法
20、求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做22. 已知椭圆若直线与椭圆相交于两点，且（1）求证：的面积为定值（2）在椭圆上是否存在一点，使四边形为平行四边形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）设，；联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式三角形面积公式花键即可；（2）若存在四边形为平行四边形，使得点在圆上，则，由向量坐标的运算，求得点坐标，代入椭圆方程，结合，解方程即可判断存在性.【详解】（1）设则坐标满足消去化简得，由得，即即到直线的距离；（2）若存在平行四边形使在椭圆上，则设，则，由于在椭圆上，所以，从而化简得简得（1），由知 （2）解（1）（2）知无解，故不存在在椭圆上的平行四边形【点睛】本题主要考查直线与椭圆位置关系，以及椭圆方程和性质，解题时注意联立直线和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，直线斜率公式，考查方程思想和运算能力推理能力，属于中档题.
