1、高考专题突破六 高考中的概率与统计问题 热点题型 命题分析 类型一：有关统计、统计案例的计算问题 以统计图表或文字叙述的实际问题为载体，考查频率分布表、频率分布直方图、茎叶图、用样本的数字特征估计总体的数字特征，回归方程的求法与应用，独立性检验及运用数学知识解决实际问题的能力 类型二：概率与统计、统计案例的综合应用问题 以统计、统计案例中的计算与概率计算为主要内容，考查对数据的处理能力与运算能力及应用意识 1某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A0.95 B0.97 C0.92D0.08
2、【解析】记抽检的产品是甲级品为事件A，是乙级品为事件B，是丙级品为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.【答案】C 2(2018河南三市一调)红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，记事件“每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后”为事件 A，则事件 A 发生的概率为()A.120B.112C.18D.16【解析】红、蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这 6 枚棋子按车、马、炮顺序排成一列，基本事件总数 n2228.每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后为事件 A，则事件 A 包含的基本事件个数 m
3、1，事件 A 发生的概率 Pmn18.【答案】C 3(2018哈尔滨模拟)甲、乙、丙三人站成一排照相，则甲、乙两人相邻而站的概率为_【解析】甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)共 6 种排法，由概率计算公式得，甲、乙两人相邻而站的概率为4623.【答案】234.为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次，得到茎叶图如图所示从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派_(填甲或乙)运动员合适【解析】根据茎叶图，可
4、得 x甲16(787981849395)85，x乙16(758083859295)85.s2甲16(7885)2(7985)2(8185)2(8485)2(9385)2(9585)21333，s2乙16(7585)2(8085)2(8385)2(8585)2(9285)2(9585)21393.因为 x甲 x乙，s2甲s2乙，所以甲运动员的成绩比较稳定，选派甲运动员参赛比较合适【答案】甲题型一 古典概型与几何概型【例1】(1)在1，1上随机地取一个数k，则事件“直 线 y kx 与 圆(x 5)2 y2 9 相 交”发 生 的 概 率 为_(2)若任意 xA，则1xA，就称 A 是“和谐”集合
5、，则在集合 M1，0，13，12，1，2，3，4 的所有非空子集中，“和谐”集合的概率是_【解析】(1)由已知得，圆心(5，0)到直线 ykx 的距离小于半径，|5k|k213，解得34kE(X2)，所以应生产甲品牌轿车.题型三 概率与统计的综合应用【例3】(2018衡水模拟)为了解学生对“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴中国梦的“关注度”(单位：天)，某中学团委组织学生在十字路口采用随机抽样的方法抽取了80名青年学生(其中男女人数各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组青年学生的月“关注度”分为6组：0，5)，5，10)，10，15)，15，20)，20，25
6、)，25，30，得到如图所示的频率分布直方图(1)求a的值；(2)现从“关注度”在25，30的男生与女生中选取3人，设这3人来自男生的人数为，求的分布列与期望；(3)在抽取的80名青年学生中，从月“关注度”不少于25天的人中随机抽取2人，求至少抽取到1名女生的概率【解析】(1)a1（0.010.010.030.080.02）55 10.15550.05.(2)从频率分布直方图可知在25，30内的男生人数为 0.025404 人，女生人数为 0.015402 人，男女生共 6 人，因此 的取值可以为 1，2，3，故 P(1)C14C22C36 15，P(2)C24C12C36 35，P(3)C3
7、4C02C36 15.所以 的分布列为 123 P153515 数学期望 E()11523531516352.(3)记“在抽取的80名青年学生中，从月关注度不少于25天的人中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件A，在抽取的女生中，月“关注度”不少于25天即在25，30内的人数为2，在抽取的男生中，月“关注度”不少于25天即在25，30内的人数为4，则在抽取的 80 名学生中，共有 6 人月“关注度”不少于 25天，从中随机抽取 2 人，所有可能的结果有 C2615 种，而事件 A 包含的结果有 C12C14C229 种，所以 P(A)91535.【思维升华】概率与统计作为考查考生应用意识的重
8、要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 跟踪训练3(2018衡阳模拟)某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：40，50)，50，60)，90，100后得到如图所示的频率分布直方图(1)求图中实数a的值；(2)若该校高一年级共有640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；(3)若从数学成绩在40，50)与90，100两个分数段内的学生中随机选取2名学生，求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率【解析】(1)由已知，得
9、10(0.0050.0100.020a0.0250.010)1，解得a0.03.(2)根据频率分布直方图，可知成绩不低于60分的频率为110(0.0050.010)0.85.由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为6400.85544.(3)易知成绩在40，50)分数段内的人数为400.052，这2人分别记为A，B；成绩在90，100分数段内的人数为400.14，这4人分别记为C，D，E，F.若从数学成绩在40，50)与90，100两个分数段内的学生中随机选取2名学生，则所有的基本事件有(A，B)，(A，C)，(A，D)，
10、(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个如果2名学生的数学成绩都在40，50)分数段内或都在90，100分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10.记“这 2 名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M，则事件 M 包含的基本事件有(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共 7 个，故所求概率 P(M)715.题型四 概率与统计案例的综合应用【例4】(2017全国卷，节选)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方
11、法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg”，估计A的概率；(2)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)【解析】(1)记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，C表示事件“新养殖法的箱产量不低于50 kg”由题意知P(A)P(BC)P(B)P(C)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故P(B)的估计值为0.
12、62.新养殖法的箱产量不低于50 kg的频率为(0.0680.0460.0100.008)50.66，故P(C)的估计值为0.66.因此，事件A的概率估计值为0.620.660.409 2.(2)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50 kg 的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法产量的中位数的估计值为 500.50.340.06852.35(kg)【思维升华】统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题
13、 跟踪训练4 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”(1)根据已知条件完成下面的22列联表，并据此资料是否可以认为“体育迷”与性别有关？非体育迷 体育迷 总计 男 女 10 55 总计(2)将上述调查所得到的频率视为概率现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列、均值E(X)和方差D(X)【
14、解析】(1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100(100.020100.005)25，“非体育迷”人数为75，从而22列联表如下：非体育迷 体育迷 总计 男 30 15 45 女 45 10 55 总计 75 25 100 将 22 列联表的数据代入公式计算：K2n（adbc）2（ab）（cd）（ac）（bd）100（30104515）245557525 10033 3.030.因为 2.7063.0303.841，所以有 90%的把握认为“体育迷”与性别有关(2)由频率分布直方图知，抽到“体育迷”的频率为 0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为14.由题意，XB3，14，从而 X 的分布列为 X0123 P27642764964164 E(X)np31434，D(X)np(1p)31434 916.
