1、全国1991年初中数学联合竞赛试题（含解析）一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内1、 设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3 ； （B）； （C）2； （D）答（ ）2如图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A） 10； （B）12；（C） 16； （D）18答（ ）3.方程的解是（A）； （B）；（C）或； （D）答（ ）4.已知：（n是自然数）那么，的值是（）；（）；（）；（）答（ ）5.若，其中为自然数，n为使
2、得等式成立的最大的自然数，则（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除答（ ）6.若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，那么的最大值是（）；（）；（）；（）答（ ）7.如图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（）；（）；（）2 ；（）3答（ ）8.在锐角ABC中，ABC的外接圆半径1，则（） c 2 ； （）0 2； （D）c = 2答（）二、填空题9是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是 1
3、0已知关于x的一元二次方程没有实数解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， 11设m，n，p，q为非负数，且对一切x ，恒成立，则12四边形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，CD = 6，则AD = 第二试一、x + y，x y，x y，四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图）求证：BFAFCF三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把
4、B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数一选择题1. 设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3 ； （B）； （C）2； （D）答（ ）2如图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是(A)10； （B）12；（C） 16； （D）18答（ ）3.方程的解是（A）； （B）；（C）或； （D）答（ ）4.已知：（n是自然数）那么，的值是（）；（）；（）；（）答（）5若，其中为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则（）能被整除，但不能被整除；（）能被整除，但不能被整除；（）
5、能被整除，但不能被整除；（）不能被整除，也不能被整除答（ ）（到此）6. 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，那么的最大值是（）；（）；（）；（）答（ ） 7如图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是（）；（）；（）2 ；（）3答（ ）8在锐角ABC中，ABC的外接圆半径1，则（） c 2 ； （）0 2； （D）c = 2答（）二、填空题 9.是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果BEG的面积是，则平行四边形ABCD的面积是 10已知关于x的一元二次方程没有实数解甲由于看错了二次项系数，误求得两根为和；
6、乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为和，那么， 11设m，n，p，q为非负数，且对一切x ，恒成立，则【答案】9所以，只能是n=q=1于是 12四边形ABCD中， ABC，BCD，AB，BC，CD = 6，则AD = 第 二 试 一、x + y，x y，x y，四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x , y）所以符合要求的数对只有 （，-1）和 （-，-1）. 二、ABC中，ABACBC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BDBEAC，BDE的外接圆与ABC的外接圆交于F点（如图）求证：BFAFCF三、将正方形ABCD分割为 个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色证明：恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数11
