1、15.2全称量词命题与存在量词命题的否定1理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系2能正确对含有一个量词的命题进行否定1全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p：xM，p(x)的否定：xM，綈p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题(2)存在量词命题p：xM，p(x)的否定：xM，綈p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题2命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假1对于一个全称量词命题要否定它，需要考虑哪几个方面？答案两个方面：一是改量词，将全称量词改为存在量词，二是否定结论2判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)存在量词命题的否
2、定是一个全称量词命题()(2)xM，使x具有性质p(x)与xM，x不具有性质p(x)的真假性相反()(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p(x)”同时否定()(4)命题“非负数的平方是正数”的否定是“非负数的平方不是正数”()答案(1)(2)(3)(4)题型一 全称量词命题的否定【典例1】写出下列命题的否定，并判断其真假(1)不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；(2)等圆的面积相等；(3)每个三角形至少有两个锐角解(1)这一命题可以表述为“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定形式是“存在实数m，使得x2xm0没有实数根”因为当1241(m)14m0，即m时，一元二次
3、方程x2xm0没有实数根，所以原命题的否定是真命题(2)这一命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定形式是“存在一对等圆，其面积不相等”由等圆的概念知原命题的否定是假命题(3)这一命题的否定形式是“有的三角形至多有一个锐角”，由三角形的内角和为180知原命题的否定为假命题(1)对全称量词命题否定的两个步骤改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词即：全称量词()存在量词()否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定(2)全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真
4、假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可针对训练1写出下列全称量词命题的否定，并判断其真假(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)xR，|x|x；(3)xR，为正数解(1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是假命题(2)原命题的否定为“xR，使|x|1”这个命题为假命题，如x0时，不满足|x1|1.(1)对存在量词命题否定的两个步骤改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词即：存在量词()全称量词()否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等(2)存在量词命题否定后的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词
5、命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可针对训练2写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假(1)有的素数是偶数；(2)xR，使x2x0DxR，x22x30解析存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“”改为“”；另一方面要否定结论，即“”改为“”故选D.答案D2已知命题p：x0，x22，则它的否定为()Ax0，x22 Bx0，x22Cx0，x20，x22答案D3全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是()A所有能被5整除的整数都不是奇数B所有奇数都不能被5整除C存在一个能被5整除的整数不是奇数D存在一个奇数，不能被5整除解析全称量词命题的否定是存在
6、量词命题，而选项A，B是全称量词命题，所以选项A，B错误因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D错误，选项C正确，故选C.答案C4对下列命题的否定，其中说法错误的是()Ap：x3，x22x30；p的否定：x3，x22x30解析若p：有的三角形为正三角形，则p的否定：所有的三角形都不是正三角形，故C错误答案C5写出下列命题的否定，并判断其真假(1)菱形是平行四边形；(2)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；(3)存在一个三角形，它的内角和大于180；(4)xR，使得x2x10.解(1)题中命题的否定为“存在一个菱形不是平行四边形”，这个命题为假
7、命题(2)是全称量词命题，省略了全称量词“任意”，即“任意一条与圆只有一个公共点的直线是圆的切线”，否定为：存在一条与圆只有一个公共点的直线不是圆的切线；这个命题为假命题(3)题中命题的否定为“所有三角形的内角和都小于或等于180”，这个命题为真命题(4)题中命题的否定为“xR，x2x10”，这个命题为真命题因为x2x1x2x20.课后作业(九)复习巩固一、选择题1命题“xZ，使x22xm0”的否定是()AxZ，使x22xm0B不存在xZ，使x22xm0CxZ，使x22xm0DxZ，使x22xm0解析存在量词命题的否定为全称量词命题，否定结论，故选D.答案D2命题p：“有些三角形是等腰三角形”
8、的否定是()A有些三角形不是等腰三角形B所有三角形是等边三角形C所有三角形不是等腰三角形D所有三角形是等腰三角形解析在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.答案C3已知命题p：x0，x2，则它的否定为()Ax0，x2 Bx0，x2Cx0，x0，x5CxR，|x1|0解析选项A，当x0时，x2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x1时，|x1|0，所以D错，故选B.答案B二、填空题6命题p：xR，x23x20”是真命题，等价于方程2x23
9、xa0无实根，所以3242a.故实数a的取值范围是a.答案三、解答题9写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)关于x的方程axb都有实数根；(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1，x2，若x1x2，则x11，使x22x30.解(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程axb无实数根”，如0x1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x11，x22x30”，因为当x3时，x22x30，
10、所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题10已知命题“xR，ax22x10”为假命题，求实数a的取值范围解题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“xR，使ax22x10”为真命题，即关于x的方程ax22x10有实数根所以a0，或即a0，或a1且a0，所以a1.所以实数a的取值范围是a|a1综合运用11设命题p：nN，n22n，则p的否定为()AnN，n22n BnN，n22nCnN，n22n DnN，n22n解析因为“xM，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命题“nN，n22n”的否定是“nN，n22n”，故选C.答案C12命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式
11、是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2解析由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得n0；xR，x2x10；x0的否定为_答案xR，0或无意义16已知p：2，q：x|mx1m，(m0)，且p的否定是q的否定的必要不充分条件，求实数m的取值范围解由q得1mx1m，q的否定为：Ax|x1m或x1m，m0由2，解得2x10，p的否定为：Bx|x10或x2p的否定是q的否定的必要不充分条件AB，或即m9或m9，实数m的取值范围是m9.
