1、第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差（等比）数列的公差（公比）1.（2013辽宁4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列； 数列是递增数列；数列是递增数列； 数列是递增数列；其中的真命题为( ).A. B. C. D. 2.（2013江西理3）等比数列，的第四项等于（ ）.A B C D3. (2013全国新课标卷理3）等比数列的前项和为，已知，则（ ）.A. B. C. D. 4. (2013福建理9）已知等比数列的公比为，记，则以下结论一定正确的是（）A. 数列为等差数列，公差为 B. 数列为等比数列，公比为 C. 数列为等比数列，公比为 D. 数列为等比数列
2、，公比为 5.（2014 北京理 5）设是公比为的等比数列，则“”是“”为递增数列的（ ）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.（2014 福建理 3）等差数列的前项和，若，则( ).A. B. C. D.7.（2014 辽宁理 8）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）.A B C D8.（2014 重庆理 2）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）.A. 成等比数列 B. 成等比数列C. 成等比数列 D. 成等比数列9.（2014 安徽理 12）数列是等差数列，若，构成公比为的等比数列，则 .10.（2015湖南理14）设为等
3、比数列的前项和，若，且，成等差数列，则 .10.解析 因为，成等差数列，所以，即，得，所以.又因为为等比数列，所以.11.（2015陕西理13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 11.解析 当项数时，中位数，所以；当项数时，中位数，所以.综上所述，首项为.12.（2015浙江理3）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（ ）A. B. C. D.12.解析 因为成等比数列，所以，即，所以因为，所以，所以又 ，所以故选B13.（2015重庆理2）在等差数列中，若，则（ ）.A. B. 0 C. 1 D. 613.解析 由等差中项知：，所以.
4、故选B.14.（2016全国乙理3）已知等差数列前项的和为，则（ ）.A. B. C. D.14.C 解析 设等差数列的公差为，由，得.又，则，得.故.故选C.15.（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则”“是”对任意的正整数，“的（ ）.A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件15. C 解析 由题意得，.由，故是必要不充分条件.故选C.16.（2016江苏8）已知是等差数列，是其前项和若，则的值是 16. 解析 设公差为，则由题意可得，解得，则17.（2016北京理12）已知为等差数列，为其前项和，若，则_.17. 解析 设等差数列的
5、公差为d，由题设得，解得，所以.18.(2017北京理10)若等差数列和等比数列满足，则_.18.解析 由，则，由，则，则.故.19.（2017全国1理4）记为等差数列的前项和若，则的公差为（ ）.A1 B2 C4 D819.解析 ，联立，得，即，所以.故选C.20.（2017全国2理3）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A1盏 B3盏 C5盏 D9盏20.解析 设顶层灯数为，解得故选B.21.（2017全国3理14）设等比数
6、列满足， ，则 _21.解析 因为为等比数列，设公比为由题意得，即显然，得，即，代入式可得，所以题型68 等差、等比数列求和问题的拓展22（2013江西理17）正项数列的前项和满足： (1) 求数列的通项公式； (2) 令，数列的前项和为证明：对于任意的，都有23. （2013江苏19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，其中为实数.（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：.24.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已
7、知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.A. B. C. D.24.解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推设第组的项数为，则组的项数和为，由题意得，.令，得且，即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，即，得的最小值为，则.故选A.25.(2017山东理19）已知是各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）如图所示，在平
8、面直角坐标系中，依次联结点，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.25.解析 （1）设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为，所以，因此数列的通项公式为（2）过向轴作垂线，垂足分别为，由（1）得记梯形的面积为.由题意，所以 又 ，得 所以26.（2014 大纲理 10）等比数列中，则数列的前项和等于（ ）.A B C D 题型69 等差、等比数列的性质及其应用26.（2013广东12）在等差数列中，已知，则 27. （2013江苏14）在正项等比数列中，则满足 的最大正整数的值为 .28. （2013浙江18）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列.（1）求；（2）若，求29.
9、（2014 天津理 11）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为_.30.（2014 江苏理 20）设数列的前项和为若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”（1）若数列的前项和 ，证明：是“数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若 是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立31.（2014 天津理 19）已知和均为给定的大于的自然数.设集合，集合.（1）当，时，用列举法表示集合；（2）设，其中，.证明：若，则.32.（2014 北京理 12）若等差数列满足，则当_时，的前项和最大.33.（2015安徽理14）已知数列是
10、递增的等比数列，则数列的前项和等于 .34.解析 设等比数列的公比为，则，解得或（舍去），所以35.（2015北京理6）设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则36.解析 依题意，是等差数列，若，并不能推出；故选项A不正确.对于B选项，若，并不能推出；故选项B不正确.对于C选项，若，则，因此，故选项C正确.对于D选项，若，则，并不能推出.故选C.37.（2015福建理8）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）.A6 B7 C8 D937.解析 由韦达定理得，则，当，适当排序后成等比数列时，必为等比中
11、项，故，此时当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，所以故选D38.（2015广东理10）在等差数列中，若，则 38.解析 因为是等差数列，所以，即，所以故应填1039.（2015全国理4）等比数列满足，则（ ）A. B. C. D. 39.解析 由题意可设等比数列的公比为，则由得，.又因为，所以.解得或（舍去），所以.故选B.40.（2016全国乙理15）设等比数列满足，则的最大值为 .40. 解析 由，得.又，得.故.解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，取得最大值.41.（2016全国甲理17）为等
12、差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，（1）求，；（2）求数列的前项和42.解析 （1）设的公差为，所以，所以，所以所以，（2）当时，；当时，；当时，；当时，所以43.（2017江苏09）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则 43.解析 解法一：由题意等比数列公比不为，由，因此，得又，得，所以故填 解法二（由分段和关系）：由题意，所以，即下同解法一44.（2017全国2理15）等差数列的前项和为，则 44.解析 设首项为，公差为由，得，所以，.题型70 判断或证明数列是等差、等比数列1.（2014 新课标1理17）已知数列的前项和为，其中为常数.（1）证明：；（2）是
13、否存在，使得为等差数列？并说明理由.2.（2014 新课标2理17）已知数列满足，.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：.3.（2015湖南理21）已知，函数. 记为的从小到大的第个极值点.证明：（1）数列是等比数列；（2）若，则对一切，恒成立. 4.解析 证明 (1) ，其中，.令 ，由得 ，即. 对，若，即，则；若，即，则. 因此，在区间与上，的符号总相反，于是，当时，取得极值，所以. 此时，易知，且 是常数，故数列是首项为，公比为的等比数列. (2) 由(1)知，于是对一切，恒成立，即恒成立，等价于 （*）恒成立（因为）.设，则.令得.当时，所以在上单调递减；当时，所以在上
14、单调递增.从而当时，函数取得最小值. 因此，要使（*）式恒成立，只需，即只需. 而当时，由且由知，. 于是，且当时，因此，对一切，所以，故（*）式也恒成立.综上所述，若，则对一切，恒成立.5.（2015江苏卷20）设是各项为正数且公差为的等差数列（1）证明：依次成等比数列；（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在及正整数，使得依次成等比数列，并说明理由5.解析（1）由题意，故，而且，从而时以为首项，为公比的等比数列（2）解法一：假设存在满足条件的，从而，若满足题意，的须使，即，即，化简得，因为，故，不妨设，从而转化为，由得，代入得，化简得到，即，易见不满足式，故方程组无
15、解，即不存在满足条件的解法二：假设存在满足条件的，若需满足条件，则必有成立，即为了方便，不妨设，易知，即，从而，即，整理得，因为，故设，则，构造，则对恒成立，由，知另外，还需有，即，即，整理得，仿照上面的步骤即，解得或，因此不满足题意综上论证：不存在满足条件的解法三（取对数降为线性）：假设存在满足条件的，由，均为正数，因此均为正数，所以构成等差数列，即构成等差数列，不妨设通项为，由于构成等差数列，且公差为，故设其通项为，从而，即对均成立，不妨设，从而，因为，所以函数至多有两个零点，即在上至多有三个单调区间，从而至多会有三个零点，这与都是的零点相矛盾，因此不存在满足条件的（3）解法一（取对数降为
16、线性）：假设存在满足条件的及正整数，使得依次成等比数列，因为都是整数，所以构成等差数列，即构成等差数列，设其通项为，不妨设数列的通项为，所以，即对恒成立，不妨设，令，则，因为，所以函数至多有两个零点，即在上至多有三个单调区间，从而至多会有三个零点，这与都是的零点相矛盾，因此不存在满足条件的，使得依次成等比数列解法二（多次求导，省考试院提供）：假设存在满足条件的及正整数，使得依次成等比数列，则，分别在上述两个等式的两边同时除以及，并令，则，将上述两个等式两边取对数，得化简得，上述两式相除得，化简得（*），令，则，令，则.令，则，令，则，由，知，在和上均单调，故只有唯一的零点，即方程（*）只有唯一
17、解，故假设不成立所以不存在满足条件的及正整数，使得依次成等比数列评注 第（1）问可以探究并证明是等比数列证明：因为，因此以为首项，为公比的等比数列第（2）问解法一其实就是通过两元关系找到方程组的解，解高次方程最好的办法就是不断降幂迭代，衔接教材中有一道题就是降幂迭代思维，例：设，求的值解析 因为，故，即.即是方程的一个根，故.【1】或者也可以对方程组，将代入得，化简即，进而探求与的关系，由可直接得到与的关系，验证关系不一致即可证明不存在，如同解法二类似【2】为了简化运算，参考标准可以选为与，如同解法二类似但解法二也可以利用迭代，例如解法二涉及，转换后即，即，方程无解【3】降幂迭代的方向可以不同
18、（部分迭代和全部迭代），仅是步骤复杂程度变化，但结论不变，如处理解法一得到的式子还可以是，由得，代入得，即，再次迭代，即，解得，同理推翻【4】如果直接由可以推证，其中解得，即或，当时，易知，此时，不满足题意；当时，易知，此时，不满足题意可以直接推翻结论【5】构造的时候也可以构造成，如省考试院公布的标准答案解法二是通过论证判定方程组解的范围不一致（一个求解范围，一个是确定值）进行否定，具有一定的风险，因为对解的限制要求较高，若两解差的精度较小，则难以通过此法判定因此，往后此类试题也可以考查两方程均无法解出确定则，则我们可以通过降幂迭代或者判定解得范围解决解法三是从构造方程研究函数零点角度解决但数
19、学翻译语言：“函数至多有两个零点，则至多有三个单调区间”是不成立的，因为在无定义的地方可能会间断，将某一单调区间拆成两个，但此题有限制，因此成立数学翻译语言：“至多有三个单调区间，则至多会有三个零点”是正确的【6】也有老师从函数的凹凸性给予解释（2）假设存在参数可以是其成等比数列，那么我们可以构造出下面的对应等式关系：，所以关于的函数是一致凹或凸的，所以与的连线必不与，的连线重合这是与等差数列对应点在直线上是矛盾的，故不存在满足要求（3）依据题意构造等式关系如下：，所以，假设存在，那么坐标上三点，共线，依据函数图像凹凸性，知其不成立，因此不存在6.（2016浙江理6）如图所示，点列分别在某锐角
20、的两边上，且，（表示点与点不重合）.若，为的面积，则（ ）.A.是等差数列 B.是等差数列 C.是等差数列 D.是等差数列6.A 解析 设点到对面直线的距离为，则.由题目中条件可知的长度为定值，则.那么我们需要知道的关系式，过点作垂直得到初始距离，那么和两个垂足构成了直角梯形，那，其中为两条线的夹角，那么.由题目中条件知，则.所以，其中为定值，所以为等差数列.故选A.7.（2016全国丙17）已知数列的前项和，.其中.（1）证明是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求.7.解析 （1）由题意得，故，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列.于是.（2）由（1）得.由，得，即，
21、解得.8.（2017江苏19）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列8.解析 （1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而当时，所以，因此等差数列是“数列”（2）由数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时， 当时， 由知， 将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，从而数列是等差数列评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则
22、称数列为“型”数列（1）若数列是“型”数列，且，求；（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列解析 （1）由题意得，成等比数列，且公比，所以（2）由是“型”数列得成等比数列，设公比为， 由是“型”数列得成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为； 则，所以，不妨令，则 所以，所以，综上，从而是等比数列9.(2017北京理20)设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（1）若，求的值，并证明是等差数列；（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列9.解析 （1），.当时，所以关于单调递减.从而，将代入，满足此式，
23、所以对任意，于是，得是等差数列.（2）设数列和的公差分别为，则.所以.当时，取正整数，则当时，因此.此时，是等差数列.当时，对任意，.此时，是等差数列.当时，当时，有，所以.对任意正数，取正整数，故当时，.题型71 等差数列与等比数列的交汇问题暂无第二节 数列的通项公式与求和题型72 数列通项公式的求解1. (2013安徽理14） 如图，互不相同的点和分别在角的两条边上，所有相互平行，且所有梯形的面积均相等. 设.若，则数列的通项公式是 . 2（2013湖北理18）已知等比数列满足： ，(1) 求数列的通项公式；(2) 是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由3（2013广
24、东19）设数列的前项和为.已知，(1) 求的值；(2) 求数列的通项公式；(3) 证明:对一切正整数，有.4(2013天津理19） 已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且，成等差数列(1) 求数列的通项公式；(2) 设， 求数列的最大项的值与最小项的值5.（2014 江苏理 7）在各项均为正数的等比数列中，则的值是 6.（2014 广东理 19）（14分）设数列的前项和为，满足，且.（1）求的值;（2）求数列的通项公式.7.（2014 湖南理 20）已知数列满足，. （1）若为递增数列，且成等差数列，求的值； （2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式.8.（2015安徽理
25、17）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标（1）求数列的通项公式；（2）记，求证：.8.解析 （1），所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为令，解得切线与轴的交点的横坐标（2）证法一：证明：由题设和（1）中的计算结果知：当时，；当时，因为，所以综上可得对任意的，均有证法二：分析 证明数列不等式时，对于不等式两端含且一端是积的形式，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比较通项的大小，最后根据不等式“同向同正可乘”的基本性质，叠乘得以证明证明：设是数列的前项积，则当时，；当时，所以由（1）可得，当时，；当时，所以此时，所以可得，综上可得，即9.（2015北京理20）已知数列满足
26、：，且，记集合.（1）若，写出集合的所有元素；（2）若集合存在一个元素时3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（3）求集合的元素个数的最大值.9.解析（1），.（2）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数.由，可归纳证明对任意，是3的倍数.如果，则的所有元素都是3的倍数；如果，因为或，所以是3的倍数，或是3的倍数，于是是3的倍数.类似可得，都是3的倍数.从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.综上，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.（3）由，可归纳证明.因为是正整数，所以是2的倍数.从而当时，是的倍数.如果是3的倍数，由（2）知对所有正整数，是
27、3的倍数，因此当时，这时，中的元素的个数不超过5.如果不是3的倍数，由（2）知，对所有的正整数，不是3的倍数，因此当时，这时的元素的个数不超过8.当时，有8个元素.综上可知，集合的元素个数的最大值为8.10.（2016浙江理13）设数列的前项和为.若，则 ， .10.； 解析 由，解得.由，两式相减得，即.又，所以，所以.题型73 数列的求和1. (2013全国新课标卷理16）等差数列的前项和为，已知，则的最小值为 . 2.（2013辽宁14）已知等比数列是递增数列，是的前项和.若是方程的两个根，则 .3.(2013重庆理12）已知是等差数列，公差，为其前项和，若成等比数列，则 .4(2013
28、湖南理15）设为数列的前项和，则（1）_；（2）_.5（2013四川理16）在等差数列中，且为和的等比中项，求数列的首项、公差及前项和6. (2013陕西理17）设是公比为的等比数列.（1）推导的前项和公式；（2）设，证明数列不是等比数列.7.（2013山东理20）设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，且（为常数），令，数列的前项和为.8.（2014 大纲理 18）等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.9.（2014 湖北理 18）已知等差数列满足：，且，成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）记为数列
29、的前项和，是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由. 10.（2014 江西理 17）已知首项都是的两个数列，满足.（1）令，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.11.（2014 山东理 19）已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）令=，求数列的前项和.12.（2014 四川理 19）设等差数列的公差为，点在函数的图像上.（1）若，点在函数的图像上，求数列的前项和；（2）若，函数的图像在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.13.（2014 浙江理 19）已知数列和满足.若为等比数列，且.（1） 求与；（2） 设.记数列的
30、前项和为.（i）求；（ii）求正整数，使得对任意，均有.14.（2014 广东理 13）若等比数列的各项均为正数，且，则 .15.（2015湖北理18）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q已知，（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前n项和 15.解析（1）由题意有，即解得或故或（2）由，知，故，于是， . -可得，故. 16.（2015全国1理17）为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和16.解析（1）由可得式式得又因为，所以当时，即，解得或（舍去），所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（2）由可得记数列前项和为，则17.（20
31、15全国理16）设是数列的前项和，且，则_17.解析 根据题意，由数列的项与前项和关系得，由已知得，由题意知，则有，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以18.（2015山东理18）设数列的前项和为. 已知.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.18.解析 （1）因为，所以，故当时，此时，即，所以（2）因为，所以当时，所以；当时， 所以. 式式得：，所以经检验，时也适合综上可得19.（2015四川理16）设数列（）的前项和满足，且，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值. 19.分析 利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等
32、比数列.再利用，成等差数列，可求得，从而求得通项公式；（2）由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前项和公式，可求得，代入，即可得使成立的的最小值.解析 （1）由已知，可得，即.则，.又因为，成等差数列，即.所以，解得.所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.（2）由（1）可得，所以.由，得，即.因为，所以.所以使成立的的最小值为.20.（2015天津理18）已知数列满足（为实数，且），且，成等差数列.（1）求的值和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.20.分析 (1)由得，先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(2)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.解析 (1) 由，得，又
33、（为实数，且），则，又因为，所以，当时，当时，所以的通项公式为(2)由(1)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得.所以数列的前项和为，.21.（2015重庆理22）在数列中，（1）若，求数列的通项公式；（2）若，证明：.21.解析（1）由， ，有.若存在某个，使得，则由上述递推公式易得重复上述过程可得，此时与矛盾，所以对任意的，从而，即是一个公比，首项的等比数列故（2）由，数列的递推关系式变为，变形为由上式及，归纳可得因为，所以对求和得 =.另一方面，由上已证的不等式知，得综上所述：22.（2015江苏卷11）设数列满足，且，则数列前项的和为 22.解析 解法一：可以考虑算出前项，但运
34、算化简较繁琐解法二：由题意得，故累加得，从而，当时，满足通项故，则有23.（2015广东理21）数列满足：.(1) 求的值；(2) 求数列的前项和；(3) 令，求证：数列的前项和满足.23.解析 （1）由题可得，所以（2）由题可得当时， ，所以又也适合此式，所以，所以数列是首项1，公比为的等比数列，故（3）由题可得，所以，所以 记，则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，当时，所以，所以，所以，即有，所以，即24.（2015湖北理18）设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为已知，（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和 24.解析（1）由题意有，即解得或
35、故或（2）由，知，故，于是：， . -可得，故. 25.（2015湖南理3）执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的( ).A. B. C. D.25.解析 由题意，输出的为数列的前3项和，即 .故选B.26.（2015全国1理17）为数列的前项和，已知，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和26.解析 （1）由可得式式得又因为，所以当时，即，解得或（舍去），所以是首项为，公差为的等差数列，通项公式为（2）由可得记数列前项和为，则27.（2015山东理18）设数列的前项和为.已知.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求的前项和.27.解析 （1）因为，所以，故当时，此时，即，所以（
36、2）因为，所以当时，所以；当时， 所以 式式得，所以经检验，时也适合综上可得28.（2015天津理18）已知数列满足（为实数，且），且，成等差数列.（1）求的值和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.28.分析 (1)由得，先求出，分为奇数与偶数讨论即可；(2)求出数列的通项公式，用错位相减法求和即可.解析 (1) 由，得，又（为实数，且），则，又因为，所以，当时，当时，所以的通项公式为(2)由(1)得，设数列的前项和为，则，两式相减得，整理得.所以数列的前项和为，.29.（2016山东理18）已知数列的前项和，是等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）令求数列的前项和.29.解析 （1）由
37、题意知当时，当时，所以.设数列的公差为，由，即，解得，所以.（2）由（1）知，又，得，两式作差，得：，所以.30.（2017天津理18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.30.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以.由，可得 由，可得 联立，解得，由此可得.所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. (2)设数列的前n项和为，由，有，故，上述两式相减，得，得.所以数列的前项和为.31.（2017全国3理9）等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则数列前6项的和为
38、（ ）.ABC3D831.解析 因为为等差数列，且成等比数列，设公差为，则，即.因为，代入上式可得，又，则，所以.故选A.第三节 数列的综合题型74 数列与函数、不等式的综合1. (2013安徽理20）设函数.证明：（1）对每个，存在唯一的，满足；（2）对任意，由（1）中构成的数列满足.2.(2014 安徽理 21)（本小题满分13分）设实数，整数，.（1）证明：当且时，；（2）数列满足，证明：.3.（2014 大纲理 22）函数.（1）讨论的单调性；（2）设，证明：.4.（2014 陕西理 21）设函数，其中是的导函数.（1） ，求的表达式；（2） 若恒成立，求实数的取值范围；（3）设，比较
39、与的大小，并加以证明.5.（2014 重庆理 22）（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）设.（1） 若，求及数列的通项公式；（2）若，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.6.（2015安徽理17）设，是曲线在点处的切线与轴交点的横坐标（1）求数列的通项公式；（2）记，求证：.6.解析 （1），所以曲线在点处的切线斜率为，从而切线方程为令，解得切线与轴的交点的横坐标（2）证法一：证明：由题设和（1）中的计算结果知当时，；当时，因为，所以综上可得对任意的，均有证法二：分析 证明数列不等式时，对于不等式两端含且一端是积的形式，可采用对称的思想，使其化为两个数列积的形式，再通过比
40、较通项的大小，最后根据不等式“同向同正可乘”的基本性质，叠乘得以证明证明：设是数列的前项积，则当时，；当时，所以由（1）可得，当时，；当时，所以此时，所以可得，综上可得，即7.（2015广东理21）数列满足：.（1） 求的值；（2） 求数列的前项和；（3）令，求证：数列的前项和满足.7.解析 （1）由题可得，所以（2）由题可得当时， ，所以又也适合此式，所以，所以数列是首项1，公比为的等比数列，故（1） 由题可得，所以，所以 记，则当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，当时，所以，所以，所以，即有，所以，即8.（2015四川理16）设数列（）的前项和满足，且，成等差数列.（1）
41、求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求使得成立的的最小值. 8.分析 利用及题设可得与的关系为，所以这是一个公比为2的等比数列.再利用，成等差数列，可求得，从而求得通项公式；（2）由（1）得，这仍然是一个等比数列，利用等比数列的前项和公式，可求得，代入，即可得使成立的的最小值.解析 （1）由已知，可得，即.则，.又因为，成等差数列，即.所以，解得.所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.故.（2）由（1）可得，所以.由，得，即.因为，所以.所以使成立的的最小值为.9.（2015浙江理20）已知数列满足=且（1） 证明： ；（2）设数列的前项和为，证明.9.解析（1）由题意得，所以， ，所
42、以与同号，又，所以，所以.（2）由题意得，所以， 又，所以，所以，因此， 所以 所以 10.（2015重庆理22）在数列中，（1）若，求数列的通项公式；（2）若，证明：.10.解析 （1）由， ，有.若存在某个，使得，则由上述递推公式易得重复上述过程可得，此时与矛盾，所以对任意的，从而，即是一个公比，首项的等比数列故（2）由，数列的递推关系式变为，变形为由上式及，归纳可得因为，所以对求和得 =.另一方面，由上已证的不等式知，得综上所述：11.（2016天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则“”是“对任意的正整数，”的（ ）.A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不
43、充分也不必要条件11. C 解析 由题意得，.由，故是必要不充分条件.故选C.12（2016上海理17）已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（ ）A， B， C， D，12解析 ，由选项知，故.因为，即恒成立若，则恒成立，不可能存在，排除A，C；若，则恒成立，若，则，不合题意.故选B评注 这题考查的是无穷递缩的等比数列的性质13（2016上海理11）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则的最大值为 .13. 解析 由题意或，或，依此类推，又与具备等价性，因此不妨考虑设，若，则；若，则按照这种逻辑，可以出现序列，或者序列，因此最大化处理可以出现，所以最大
44、值为14.（2016四川理19）已知数列的首项为，为数列的前项和，其中，.（1）若，成等差数列，求的通项公式；（2）设双曲线的离心率为，且，求证：.14.解析 （1）由已知得，两式相减得到，.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为，公比为的等比数列.从而.由，成等差数列，可得，即，则.又，所以.所以.（2）由（1）可知，.所以双曲线的离心率 .由，解得.因为，所以.于是，故.15.（2016天津理18） 已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的， 是和的等比中项.（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，.求证：.15.解析 （1）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（2）证
45、明：.所以.16.（2016北京理20） 设数列.如果对小于的每个正整数都有 ，则称是数列的一个“时刻”.记是数列的所有“时刻”组成的集合.（1）对数列，写出的所有元素；（2）求证：若数列中存在使得，则 ；（3）求证：若数列满足 ，则的元素个数不小于.16. 解析 （1）. （2）若数列中存在使得，可不妨设是中的第一个大于的数，则对于小于的每个正整数都有，所以，得.（3）（i）若，则由第（2）问的结论可得，所以此时欲证结论成立.（ii）若，则可设，其中. 由题意，得，所以.同理，所以.以此类推，可得：；.把它们相加后，可得.得此时的元素个数，即结论成立.综上所述，的元素个数不小于.17（201
46、6上海理23）若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质（1）若具有性质且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，判断是否具有性质，并说明理由；（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”17解析 （1）因为，所以，因为，所以，所以（2）设的公差为，的公差为，则，因为，所以，故；因为，所以，故所以，由题意，但，显然.故不具有性质（3）先论证充分性：若为常数列，不妨设，则，若存在使得，则，故具有性质再论证必要性：证法一（反证法）：假设不是常数列，则存在，使得，而下面证明存在满足的，使得，但设，取，使得，则，故存在使得取，因为，所以，依此类
47、推，得，但，即，所以不具有性质，与假设矛盾，所以是常数列综上所述：“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”证法二：考查连续函数，其中为任意实数，因为，所以存在，使得，若对任意的，都具有性质，取，此时，从而会有，因此对任意的，都有，从而是常数列综上所述，“对任意，都具有性质”的充要条件为“是常数列”评注 事实上，若对任意，具有性质，则，构造函数，由图像可得，对任意的，二者图像必有一个交点（但这一点需要数学理论的论述），所以一定能找到一个，使得，所以，即故，所以是常数列18（2016江苏20）记对数列和的子集，若，定义；若，定义假如：时，现设是公比为的等比数列，且当时，（1）求数列的通项公式
48、；（2）对任意正整数，若，求证：；（3）设，求证：18.解析 （1）当时，因此，从而，（2）（3）下面分三种情况给予证明若是的子集，则若是的子集，则若不是的子集，且不是的子集令，则，于是，进而由得设为中的最大数，为中的最大数，则，由（2）知，于是，所以，即又，故从而 ，故，所以，即综合得，19.（2016浙江理20）设数列满足，（1）求证：，；（2）若，求证：，19.解析 （1）由，得.两边同时除以，得，所以，因此.（2）任取，由（1）知，对于任意，.故从而对于任意，均有，当趋于正无穷时，单调递减趋于，即否则存在，有，取正整数，且，则，即与式相矛盾.由上所述，对于任意，均有.20.(2017浙江理22)已知数列满足：，.证明：当时.（1）；（2）；（3）.20.解析 （1）用数学归纳法证明：.当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故. 因此，所以.因此.（2）由，得.记函数.，知函数在上单调递增，所以，因此，即.（3）因为，得，以此类推，所以，故.由（2）知，即，所以，故.综上，.