1、第2课时 参数方程1.参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以_从参数方程得到普通方程.通过消去参数（2）如果知道变数 x，y 中的一个与参数 t 的关系，例如 xf（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系 yg（t），那么xf（t），yg（t）就是曲线的参数方程.2.常见曲线的参数方程和普通方程 1.曲线x1cos ，y2sin （为参数）的对称中心（）A.在直线 y2x 上B.在直线 y2x 上C.在直线 yx1 上D.在直线 yx1 上【解析】由x1cos，y2sin，得cos x1，sin y2.所以（x1）2（y2）21.曲
2、线是以（1，2）为圆心，1 为半径的圆，所以对称中心为（1，2），在直线 y2x 上.【答案】B【解析】消去t，得xy1，即xy10.【答案】xy10 【解析】由（cos sin ）2，得 xy2.又xt2，y2 2t消去 t，得 y28x.联立，得x2，y4，即交点坐标为（2，4）.【答案】（2，4）【解析】椭圆 C 的普通方程为 x2y241.将直线 l 的参数方程x112t，y 32 t代入 x2y241，得112t 232 t241，即 7t216t0，解得 t10，t2167.所以|AB|t1t2|167，所以线段 AB 的长为167.【答案】167题型一 参数方程与普通方程的互化【
3、例1】（1）如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，求圆x2y2x0的参数方程.（2）在平面直角坐标系中，已知直线 l 的参数方程为x1s，y1s（s 为参数），曲线 C 的参数方程为xt2，yt2（t 为参数），若 l 与 C 相交于 A，B 两点，求|AB|的长.【解析】（1）圆的半径为12，记圆心为 C12，0，连接 CP，则PCx2，故 xP1212cos 2cos2，yP12sin 2sin cos（为参数）.所以圆的参数方程为xcos2，ysin cos（为参数）.（2）直线 l 的普通方程为 xy2，曲线 C 的普通方程为 y（x2）2（y0），联立两方程得 x23x20，求得两交点
4、坐标为（1，1），（2，0），所以|AB|2.【思维升华】消去参数的方法一般有三种：（1）利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；（2）利用三角恒等式消去参数；（3）根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f（t）和g（t）的值域，即x和y的取值范围.跟踪训练 1（1）求直线x2t，y1t（t 为参数）与曲线x3cos ，y3sin（为参数）的交点个数.（2）在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 l：xt，yta（t 为参数）过椭圆 C：x3cos，y2sin
5、 （为参数）的右顶点，求常数 a 的值.【解析】（1）将x2t，y1t消去参数 t 得直线 xy10；将x3cos，y3sin 消去参数得圆 x2y29.又圆心（0，0）到直线 xy10 的距离 d 22 3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有 2 个交点.（2）直线 l 的普通方程为 xya0，椭圆 C 的普通方程为x29y241，椭圆 C 的右顶点坐标为（3，0），若直线 l 过（3，0），则 3a0，a3.题型二 参数方程的应用【例 2】已知直线 l 的参数方程为xa2t，y4t（t 为参数），圆 C 的参数方程为x4cos ，y4sin（为参数）.（1）求直线 l 和圆 C 的普通方程；
6、（2）若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围.【解析】（1）直线 l 的普通方程为 2xy2a0，圆 C 的普通方程为 x2y216.（2）因为直线 l 与圆 C 有公共点，故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d|2a|5 4，解得2 5a2 5.【思维升华】已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.跟踪训练 2 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 和 C2 的参数方 程 分 别 为x 5cos ，y 5sin 为参数，0 2和x1 22 t，y 22 t（t 为参数），求曲线 C1
7、 与 C2 的交点坐标.【解析】曲线 C1 的普通方程为 x2y25（x0，y0）.曲线 C2 的普通方程为 xy10.解方程组xy10，x2y25（x0，y0），得x2，y1.曲线 C1 与 C2 的交点坐标为（2，1）.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用【例 3】（2017全国卷）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为x2t，ykt（t 为参数），直线 l2 的参数方程为x2m，ymk（m 为参数）.设 l1 与l2 的交点为 P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.（1）写出 C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
8、坐标系，设 l3：（cos sin ）20，M 为 l3 与 C 的交点，求 M的极径.【解析】（1）消去参数 t 得 l1 的普通方程 l1：yk（x2）；消去参数 m 得 l2 的普通方程 l2：y1k（x2）.设 P（x，y），由题设得yk（x2），y1k（x2），消去 k 得 x2y24（y0），所以 C 的普通方程为 x2y24（y0）.（2）C 的极坐标方程为 2（cos2sin2）4（02，），联立2（cos2sin2）4，（cos sin）20得 cos sin 2（cos sin）.故 tan 13，从而 cos2 910，sin2 110.代入 2（cos2sin2）4 得
9、 25，所以交点 M 的极径为 5.【思维升华】在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.跟踪训练 3 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 2 2cos 4，直线 l 的参数方程为xt，y12 2t（t 为参数），直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是圆 C 上不同于 A，B 的任意一点.（1）求圆心的极坐标；（2）求PAB面积的最大值.【解析】（1）由圆 C 的极坐标方程为 2 2cos4，得 22 222 cos 22 sin ，把xcos，ysin 代入可得圆 C 的直角坐标方程为 x2y22x2y0，即（x1）2（y1）22.圆心坐标为（1，1），圆心的极坐标为2，74.（2）由题意，得直线 l 的直角坐标方程为 2 2xy10.圆心（1，1）到直线 l 的距离 d|2 211|（2 2）2（1）22 23，|AB|2 r2d22 2892 103.点 P 到直线 l 的距离的最大值为 rd 22 23 5 23，Smax122 1035 23 10 59.
