1、第2节空间几何体的表面积与体积【选题明细表】知识点、方法题号几何体的表面积1,3,9简单几何体的体积4,5,7,8组合体的体积、表面积2,6,11,15,16与球有关的问题10,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是(A)(A)4S(B)2S(C)S(D)S解析:由r2=S得圆柱的底面半径是,故侧面展开图的边长为2=2,所以圆柱的侧面积是4S,故选A.2.(2015宁夏银川4月模拟)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,侧视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是(D)(A) (B)(C)(D)解析:由三视
2、图可知,该几何体是两个同底的半圆锥,其中底的半径为1,高为=,因此体积=212=.3.(2016四川凉山州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆,则该几何体的表面积为(A)(A)+(B)+(C) (D)+解析:由题目所给三视图可得,该几何体为圆锥的一半,那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与轴截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形,所以侧面积为12=,底面积为,观察三视图可知,轴截面为边长为2的正三角形,所以轴截面面积为22=,则该几何体的表面积为+.故选A.4.(2015吉林省实验中学二模)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(D)(A)6 (B)2 (C)3 (D
3、)3解析:根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱;它的底面三角形的面积为S底面=2=,棱柱高为h=3,所以棱柱的体积为V棱柱=S底面h=3=3.5.(2015东北三校第一次联合模拟)已知三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积是(B)(A)(B)(C)(D)解析: 由三视图可知,该三棱锥的直观图如图所示,其中底面ABC是边长为2的正三角形,故其面积S=22=.由俯视图知,点P到平面ABC的距离h=2.故其体积V=Sh=2=.6.(2015山西太原外国语学校4月模拟)某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为1的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是(C)(A)(B)(C)(D)
4、1解析:由三视图知,几何体是正方体挖去一个正四棱锥,其中正方体的棱长为1,挖去的正四棱锥的高为,所以几何体的体积V=13-12=.7.(2014湖北卷)算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式VL2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么,近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为(B)(A) (B) (C)(D)解析:r2hL2hr2L2,而L=2r,则.故选B.8.(2016江苏南通模拟)正
5、四棱锥的底面边长为,它的侧棱与底面所成角为60,则正四棱锥的体积为.解析:由已知中正四棱锥的底面边长为,故底面积S=2,又因为侧棱与底面所成角为60,所以正四棱锥的高为,故正四棱锥的体积V=2=.答案:9.(2016江苏南通模拟)三棱锥S-ABC中,面SAB,SBC,SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形,且AB=BC=CA=2,则三棱锥S-ABC的表面积是.解析:设侧棱长为a,则a=2,a=,侧面积为3a2=3,底面积为22=,表面积为3+.答案:3+10.(2016贵阳二模)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为,AB=2,AC=1,BAC
6、=60,则此球的表面积等于.解析:因为三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,棱柱的体积为,AB=2,AC=1,BAC=60,所以21sin 60AA1=,所以AA1=2,因为BC2=AB2+AC2-2ABACcos 60=4+1-2,所以BC=,设ABC外接圆的半径为R,则=2R,所以R=1,所以外接球的半径为=,所以球的表面积等于4()2=8.答案:8能力提升练(时间:15分钟)11. 导学号 49612193一个圆锥被过其顶点的一个平面截去了较少的一部分几何体,余下的几何体的三视图如图,则余下部分的几何体的体积为(B)(A)(B)+(C)+(D)+2解析:由图知圆锥母线l=2,圆锥的
7、高h=2,底面半径r=2,底面剩余部分为S=r2+r2sin 120=+.故几何体体积为V=Sh=(+)2=+.故选B.12.(2016太原二模)若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为2,则此三棱柱外接球的表面积是(B)(A) (B) (C)3 (D)解析:由题意可得a2a=2,解得a=2.设此三棱柱外接球的半径为R,则R2=(2)2+()2=.所以此三棱柱外接球的表面积S=4R2=.故选B.13. (2015大连市高三一模)如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.解析: 设正四棱锥底面中心为O,则由题意知O为半球所在球的球心,且SO平面ABCD,设球的半
8、径为r,则OS=OA=OB=OC=OD=r,所以AB=r,S四边形ABCD=AB2=2r2.所以正四棱锥的体积V1=S四边形ABCDOS=2r2r=.解得r=.所以半球的体积V=r3=()3=.答案:14.将长、宽分别为8和6的长方形ABCD沿对角线AC折起,得到四面体ABCD,则四面体ABCD的外接球的表面积为.解析:因为对角线AC所对的两个角B,D都是直角,所以折起后所得四面体的外接球直径为AC,故2R=10,所以R=5.故外接球的表面积S=4R2=452=100.答案:10015. (2015中原名校月考)如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为.解析:由三视图可知,该几何体是一个组合
9、体,上方是半径为1的球的,其体积V1=13=;下方是半径为1,高为1的圆柱,其体积V2=121=.所以该几何体的体积V=V1+V2=.答案:16. (2016大理模拟)一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为.解析:由三视图可得,该几何体由一个半圆锥和一个四棱锥组合而成,其中半圆锥的底面半径为1,四棱锥的底面是一个边长为2的正方形,高均为,则V=(+4)=.答案:好题天天练1. (2015浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是(C)(A)8 cm3(B)12 cm3(C) cm3(D) cm3解题关键:三视图转化为直观图,分割法.
10、解析:该几何体为正方体和正四棱锥的组合,所以其体积V=V正方体+V正四棱锥,故V=23+222=(cm3).故选C.2.导学号 49612194三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,ACBC,AC=BC=1,PA=,则该三棱锥外接球的表面积为(A)(A)5(B)(C)20(D)4解题关键:构造法.解析: 如图在三棱锥P-ABC中,过A作ADBC,连接BD,以PA,AC,AD为邻边构造长方体ADBCPD1B1C1,则该三棱锥的外接球即为长方体的外接球.故外接球的直径2R=,所以R=,所以外接球的表面积S=4R2=4()2=5.故选A.3.(2015天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解题关键:转化、分割法.解析:由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1 m,两个圆锥的高均为1 m,圆柱的高为2 m.因此该几何体的体积为V=2121+122=(m3).答案:
