1、专题三 函数与导数 第二讲 基本初等函数及函数与方程（一）考点解读高考考点考点解读指数函数与对数函数1.指数式与对数式的公式及互化2.指数函数与对数函数的图像与性质3. 指数函数与对数函数的性质应用幂函数1.各种类型的幂函数的图像及性质2.学会判断幂函数的类型函数与方程1. 利用零点存在性定理或者数形结合法确定函数的零点个数、零点存在范围，以及应用零点求参数的值（范围）2. 常以高次式、分式、指数式、对数式、三角式结构的函数为载体考查3.确定高次式、分式、指数式、对|数式、三角式及绝对值式结构方程解的个数或由其个数求参数的值（范用）常与函数的图家与性质的应用交汇命题.4.常与函数的图像与性质的
2、应用交汇命题（一） 核心知识整合考点1：指数函数与对数函数1.指数与对数的七个运算公式（1），（2），（3），（4）logalogaMlogaN (a0且a1，M0，N0)（5）logaMnnlogaM (a0且a1，M0)（6）alogaNN (a0且a1，N0)（7）logaN (a0且a1，b0且b1，M0，N0)2. 指数函数与对数函数的图像与性质指数函数对数函数函数值性质0a0时，0y1；当x10a1时，y0；当0x0a1，当x0时，y1；当x0时，0y1，当x1时，y0；当0x1时，y0时，yx是增函数；当1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，下凸递增；（2）n=1时，过（0，0
3、）、（1，1）的射线；（3）0n1时，过（0，0）、（1，1）抛物线型，上凸递增；（4）n=0时，变形为y=1（x0）,平行于x轴的射线；（5）n0时，过（1，1），双曲线型，递减，与两坐标轴的正半轴无限接近.提醒：任何幂函数在第一象限必有图象，第四象限必无图象；n=奇数/偶数时，函数非奇非偶，图象只在第一象限；n=偶数/奇数时，函数是偶函数、图象在第一、二象限并关于y轴对称；n=奇数/奇数时，函数是奇函数，图象在第一、三象限并关于原点对称.跟踪训练1.已知点在幂函数的图象上,设,则的大小关系为( )A. B. C. D. 答案：A解析 因为函数为幂函数,所以,所以,所以.因为点在幂函数的图象
4、上,所以,所以.因为函数在定义域R上为增函数, ,所以,即,故选A.2.已知点在幂函数图象上，设，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 答案：A解析 先求得的解析式，判断其单调性，再比较与0、1的大小可得,利用单调性可得结果. 故选A.考点3：函数与方程1.函数的零点（1）函数的零点及函数的零点与方程根的关系对于函数f(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点，函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标.（2）零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(
5、b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的一个根2.函数与方程及应用（1）方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点 函数y=f（x）有零点.（2）思想方法：数学方法：图象法、分离参数法、最值的求法数学思想：数形结合、转化与化归、函数与方程 典型例题1.已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.答案：C解析 由题意，得有两个不同的零点.令，则.令，则，且，所以当时，则在区间上为增函数，故；当时，则在区间上单调递减，故.要使有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.故选C.2.已知函
6、数恰有三个零点,则的取值范围为( )A.B.C.D.答案：B解析 由题意可知函数的零点个数即与的图象的交点个数.结合与的图象(图略)可知在上有且只有一个交点,则与的图象在上有两个交点.又等价于,即记,则令解得,令,解得,从而故,即.故选B.规律总结1判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0，则方程解的个数即为零点的个数(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a，b上是连续的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点(3)数形结合：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有
7、几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2.应用函数思想确定方程解的个数的两种方法(1)转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解(2)分离参数、转化为求函数的值域问题求解提醒：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标；函数零点存在性定理是说满足某条件时函数存在零点，但存在零点时不一定满足该条件即函数yf(x)在(a，b)内存在零点，不一定有f(a)f(b)0 跟踪训练1.函数的零点所在的区间为( )ABCD 答案：B解析 函数在其定义域上单调递增，.根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选：B.2.已知函数.若存在2个零点,则的取值范围是( )A.B.C.D.答案：C解析 函数存在2个零点,即关于的方程有2个不同的实根,即函数的图象与直线有2个交点,作出直线与函数的图象,如图所示,由图可知,解得,故选C.
