1、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1()复数i(2-i)()A12i B1-2iC-12i D-1-2i解：i(2-i)2i-i212i.故选A.2已知i为虚数单位，复数z满足zi，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解：zi，所以z-43i，所以-4-3i.故选C.3对于复数z1，z2，若(z1-i)z21，则称z1是z2的“错位共轭复数”，则复数-i的“错位共轭复数”为()A-i B-iC.i D.i解：由(z-i)1可得z-ii，所以zi.故选D.4()已知点A，B，则与
2、向量方向相同的单位向量是()A. B.C. D.解：，则|，所以.故选C.5对任意复数zxyi(x，yR)，i为虚数单位，则下列结论正确的是()A|z-|2y Bz2x2y2C|z-|2x D|z|x|y|解：因为z-2yi，所以|z-|2|y|，选项A，C错误；而z2(xyi)2x2-y22xyi，选项B错误；|z|，|z|2x2y2；(|x|y|)2x2y22|xy|x2y2|z|2，因此|z|x|y|.故选D.6已知平面向量a(1，-2)，b(2，1)，c(-4，-2)，则下列结论中错误的是()A向量c与向量b共线B若c1a2b(1，2R)，则10，2-2C对同一平面内任意向量d，都存在
3、实数k1，k2，使得dk1bk2cD向量a在向量b方向上的投影为0解：因为c-2b，所以向量c与向量b共线，所以选项A正确；由c1a2b可知，解得 所以选项B正确；向量c与向量b共线，所以由平面向量的基本定理可知，它们不能表示出同一平面内的任意向量，所以选项C错误；因为ab0，所以ab，所以夹角是90，则向量a在向量b方向上的投影为|a|cos900，所以D正确故选C.7若i是虚数单位，则满足(pqi)2qpi的实数p，q一共有()A1对 B2对 C3对 D4对解：由(pqi)2qpi得p2-q22pqiqpi，所以 解得或或或 因此满足条件的实数p，q一共有4对故选D.8()已知非零向量m，
4、n满足4|m|3|n|，cosm，n.若n(tmn)，则实数t的值为()A4 B-4 C D-解：由4|m|3|n|，可设|m|3k，|n|4k(k0)，又n(tmn)，所以n(tmn)ntmnnt|m|n|cosm，n|n|2t3k4k(4k)24tk216k20，所以t-4.故选B.9对于复数z，若命题p：“复数z在复平面内对应的点位于第一象限”，命题q：“设复数z的共轭复数为，则-1-i”，则下列命题为真命题的是()Ap(q) Bpq C(p)q Dp(q)解：因为zi(1i)-1i，所以在复平面内对应的点在第二象限，命题p假；因为-1-i，所以命题q为真，所以C正确故选C.10()复数
5、z1，z2满足z1m(4-m2)i，z22cos(3sin)i(i是虚数单位，m，R)，并且z1z2，则的取值范围是()A B.C. D.解：由复数相等的充要条件可得 消去m得4-4cos23sin，由此可得4sin2-3sin4-，因为sin，所以.故选C.11设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos-bsin，若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为()A. B. C. D.解：设e1，e2的夹角为，则e2与-e1的夹角为-，由题意得|e1|e2|1，所以e1e2|e1|e2|coscos，故，-，所以f(e1，e2)e1cos-e2
6、sine1-e2，f(e2，-e1)e2cos-e1-e2，f(e1，e2)f(e2，-e1)-e1e2-0.所以f(e1，e2)与f(e2，-e1)的夹角为.故选B.12设向量a，b，c满足|a|b|1，ab-，a-c，b-c60，则|c|的最大值等于()A2 B. C. D1解：因为|a|b|1，ab-，所以向量a，b的夹角为120.如图所示，设a，b，c，则a-c，b-c，则AOB120，ACB60，所以AOBACB180，所以A，O，B，C四点共圆，不妨设为圆M.因为b-a，所以2a2-2abb23，所以|，由正弦定理，可得AOB的外接圆即圆M的直径2R2，所以当|为圆M的直径时，|c
7、|取得最大值2.故选A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13()复数z(12i)(3-i)，其中i为虚数单位，则z的实部是_解：z(12i)(3-i)55i.故填5.14已知向量a，b的夹角为，且|a|，|b|2，则a(a-2b)_解：a(a-2b)a2-2ab2-226.故填6.15在ABC中，AC1，AB2，A，过点A作APBC于点P，且，则_.解：由题意知21cos-1，因为APBC，所以0，即()(-)0，所以(-)-220，即-40，所以，因为P，B，C三点共线，所以1，由联立解得 即.故填.16()已知向量a，b，|a|1，|b|2，若对任意单位向量e，均有|ae|
8、be|，则ab的最大值是_解：因为|(ab)e|aebe|ae|be|，且当ab与e同向时，(ab)e取得最大值为|ab|，要使上式对任意单位向量e成立，即|ab|，则|a|2|b|22ab6，则ab，即最大值为.故填.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)已知向量a(1，2)，b(x，1)(1)若a，b为锐角，求x的范围；(2)当(a2b)(2a-b)时，求x的值解：(1)若a，b为锐角，则ab0且a，b不同向则abx20，所以x-2.当x时，a，b同向所以x-2且x.(2)因为a2b(12x，4)，(2a-b)(2-x，3)，则(2x1)(2-x)340，即-2x
9、23x140，解得x或x-2.18(12分)已知1i是方程x2bxc0的一个根(b，cR)(1)求b，c的值；(2)试证明1-i也是方程的根解：(1)因为1i是方程x2bxc0的根，所以(1i)2b(1i)c0，即bc(2b)i0，所以 解得(2)证明：由(1)知方程为x2-2x20，把1-i代入方程，左边(1-i)2-2(1-i)20右边，即方程成立所以1-i也是方程的根19(12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m，n，且满足|mn|.(1)求角A的大小；(2)若|，试判断ABC的形状解：(1)由|mn|得m2n22mn3，即1123，所以cosA.因为0A，所以A
10、.(2)因为|，所以sinBsinCsinA，所以sinBsin，即sinBcosB，所以sin.因为0B，所以B0，解得-k0，即k的取值范围是.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x1x2，y1y2)，由方程，得x1x2-，又y1y2k(x1x2)4，而P(0，2)，Q(6，0)，(6，-2)所以与共线x1x2-3(y1y2)，将代入上式，解得k-.由(1)知，k，故不存在符合题意的常数k.22(12分)已知椭圆E：1的右焦点为F(c，0)且abc0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|4.(1)求椭圆E的方程；
11、(2)是否存在过点P(2，1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得24成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由解：(1)由椭圆的对称性知|2a4，所以a2.又原点O到直线DF的距离为，所以，所以bc，又a2b2c24，abc0，所以b，c1.故椭圆E的方程为1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为yk(x-2)1，代入椭圆方程得(34k2)x2-8k(2k-1)x16k2-16k-80，所以x1x2，x1x2，96(2k1)0，所以k-.因为24，即54，所以4(x1-2)(x2-2)(1k2)5，即4(1k2)5，所以4-24(1k2)45，解得k，k-不符合题意，舍去所以存在满足条件的直线l，其方程为yx.
