1、32等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学 习 目 标核 心 素 养1掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点、易混点)2会用错位相减法求数列的前n项和(重点、难点)3能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题(重点)1通过等比数列前n项和公式的推导，培养逻辑推理的数学素养2通过等比数列前n项和公式的应用，提升数学运算素养1等比数列的前n项和公式阅读教材P26P27例5以上部分，完成下列问题等比数列前n项和公比已知量适用公式q1首项Snna1q1首项，公比，项数Sn首项，公比，末项Sn思考：(1)等比数列的前n项和公式中涉及哪些量？提示Sn，a1，q，n，an，共五个量(2)当
2、等比数列的公比q1时，其前n项和公式可化为SnAqnA的形式，其中的A是什么？提示A2等比数列前n项和公式的推导该等比数列an的前n项和为Sn公比为q，则Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn，得(1q)Sna1a1qn当q1时，Sn(q1)又因为ana1qn1，所以上式还可以写成Sn当q1时，Snna11等比数列an中，an2n，则它的前n项和Sn()A2n1 B2n2C2n11 D2n12D等比数列an的首项为2，公比为2所以Sn2n12，故选D2等比数列1，x，x2，x3，(x0)的前n项和Sn为()A BC DC当x1时，数列为常数列，又a11，所以S
3、nn当x1时，qx，Sn3等比数列an的前n项和Snk3n1，则k的值为()A全体实数 B1C1 D3B当n1时，a1S13k1；当n2时，anSnSn1k3nk3n12k3n1令3k12k得k14在等比数列an中，若a11，a4，则该数列的前10项和为_2设其公比为q，因为a11，a4a1q3所以q所以S102等比数列前n项和的基本计算【例1】(1)等比数列an的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8_(2)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和Sn_(3)在数列an中，a12，an12an，Sn为an的前n项和若Sn126，则n_(1)3
4、2(2)2n1(3)6(1)设an的首项为a1，公比为q，则解得，所以a8272532(2)因为数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a3a1a48，解得a11，a48，所以q38，q2，所以Sn2n1(3)a12，an12an，数列an是首项为2，公比为2的等比数列，又Sn126，126，n6等比数列前n项和的运算技巧(1)在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q1或q1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.(2)在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是基本量，在条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q列方程组求解.1在等比数列中(1)若a11，a516
5、，且q0，求S7；(2)若a3，S3，求a1和公比q解(1)因为an为等比数列且a11，a516，q0，a5a1q416，q2(负值舍去)，S7127(2)当q1时，S3，又a3a1q2，a1(1qq2)，即(1qq2)，解得q(q1舍去)，a16当q1时，S33a1，a1综上得或等比数列前n项和的实际应用【例2】某商场2018年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从2018年起，大约几年可使总销售量达到30 000台(lg 1602，lg 11004)?解根据题意，每年比上一年销售量增加10%，所以，从2018年起，每年销售量组成一个等比数列an，其中
6、a15 000，q110%11，Sn30 000，由等比数列前n项和公式得30 000，整理，得11n16，两边取对数，得nlg 11lg 16，所以n5(年)故大约5年可使总销售量达到30 000台解答数列应用题的步骤,对于一个实际问题，首先要弄清题目中所含的数量关系，考察是否可通过建立数列模型来解决，是否可以转化为等比数列的问题，基本思路清晰后再着手解题.要注意：(1)认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型.(2)合理设元，建立等比数列模型，依据其性质及方程思想求出未知元素，并依据结论作出合理解释.(3)实际问题解答完成后一定要有结论.2我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“
7、远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏 B3盏C5盏 D9盏B每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为an，则前7项的和S7381，公比q2，依题意，得381，解得a13，选择B等比数列前n项和的性质探究问题1在等差数列an中，Sm是其前m项和，则Sm，S2mSm，S3mS2m，成等差数列类比这种性质，若an是等比数列，前m项和为Sm(Sm0)，则Sm，S2mSm，S3mS2m，是否成等比数列？若是等比数列，公比是什么？提示设等比数列an的公比为q，则Sma1
8、a2am，S2mSmam1am2a2mqm(a1a2am)qmSm，S3mS2ma2m1a2m2a3mqm(am1am2a2m)qm(S2mSm)，所以数列Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列，公比为qm2把等比数列an的前n项和Sn(q1)化为Snqn，观察qn的系数和常数项有何关系？若一个数列an的前n项和满足上述关系，那么数列an是等比数列吗？提示qn的系数和常数项互为相反数，若一个数列an的前n项和满足上述关系，即SnAqnA(A0，q0且q1)，则数列an是等比数列【例3】(1)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n()A80 B30C26
9、D16(2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，则此数列的公比为_，项数为_(3)若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t_思路探究：(1)应用Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列求解；(2)根据所给等式列方程组求解；(3)利用a1，a2，a3是等比数列求解(1)B(2)28(3)(1)由题意知：Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n成等比数列，设公比为q，则S3nSn(S2nSn)(S3nS2n)2(1qq2)14，解得q2，所以S4nS3n2q32816，S4nS3n(S4nS3n)141630(2)设数列为an，其公比为q，项数
10、为2n，则奇数项，偶数项分别组成以q2为公比的等比数列，又a11，a2q，q1，所以由，得q2，所以85,4n256，故得n4，故项数为8(3)由题目条件Sn3n1t得a1S11t，a2S2S12，a3S3S26，因为an是等比数列，故aa1a3，即46(1t)，解得t，经验证，当t时，an是等比数列1(变条件)在例3(1)题中，若把条件换为“Sn2，S2n6”，求S4n解设数列an的公比为q，首项为a1，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列，Sn2，S2nSn4，故qn2所以Sn2，故得2，即2S4n2(116)302(变结论)例3(1)题的条件不变，求Sn2解设数列an的公比为q，
11、首项为a1，则Sn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列，则S3nSn(S2nSn)(S3nS2n)2(1qnq2n)14，解得qn2，由Sn2，得2，所以Sn21(qn)n2(12n)2n12等比数列前n项和性质的应用技巧：(1)在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算.若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0).(2)等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1).(3)等比数列an的公比为q，则SnmSnqnSm.(4)若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(A0，q0且q1)，则数列a
12、n是等比数列.1等比数列的前n项和公式共涉及五个量：a1，q，n，an，Sn，其中a1和q为基本量，且五个量“知三可求二”；在解决等比数列问题中，要学会用函数与方程、整体代换的思想方法分析问题，养成良好的思维习惯2在解等比数列问题时，要注意合理应用等比数列的性质3利用等比数列解决实际问题，关键是构建等比数列模型要确定a1与项数n的实际含义，同时要搞清是求an还是求Sn的问题1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)求数列a，a2，a3，an的和时可应用公式Sn()(2)若等比数列an的前n项和为Sn2na，则a1()(3)当等比数列an的公比q1时，数列S1，S2，S3，Sn，的图像是函数
13、yqx图像上一群孤立的点()答案(1)(2)(3)提示(1)不正确，当a0或a1时不能应用公式Sn；(2)不正确，a1；(3)正确2在等比数列an中，公比q2，S544，则a1()A4 B4C2 D2A由已知得S511a144，所以a143等比数列an中，前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15_210由等比数列性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，又S510，S10S540，所以S15S10160，所以S15S5(S10S5)(S15S10)2104设等比数列an前n项和为Sn，已知a26,6a1a330，求an，Sn解由已知a2a1q6,6a1a3a1(6q2)30，解得a13，q2或a12，q3所以当a13，q2时，an32n1，Sn32n3；所以当a12，q3时，an23n1，Sn3n1
