1、 2012年长宁区高三数学质量检测试卷一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1、已知向量，若向量与垂直，则等于2、已知= 3、不等式的解集为4、（理）已知球的表面积为20，则该球的体积为 _ .（文）函数的反函数为，则5、（理）函数的反函数为，则（文）设复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则6、（理）圆的极坐标方程为，则该圆的半径为_（文）在等差数列中，公差不为零，且恰好是某等比数列的前三项，那么该等比数列公比的值等于_.7、（理）二项式的展开式中的系数为，则实数等于_ .（文）设定义
2、域为R的函数则函数的零点为_ .8、（理）在中，角所对的边分别是，若，则的面积等于 _ （文）已知实数满足约束条件则的最大值等于_ 9、（理）如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内 切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= （文）二项式的展开式中的系数为，则实数等于_ .10、（理）已知关于的实系数一元二次方程有实数根，则的最小值为_ .（文）如图，在半径为r 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前n个圆的面积之和，则= 11、（理）对于定义在R上的函数，有下述命题：若是奇函
3、数，则的图象关于点A（1，0）对称若函数的图象关于直线对称，则为偶函数若对，有2是的一个周期为函数的图象关于直线对称.其中正确的命题是_ .（写出所有正确命题的序号）（文）已知偶函数满足，且时，则方程根的个数是_ .12、从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 _ .13、（理）设定义域为R的函数 若关于x的函数的零点的个数为_ （文）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和 直线的距离之和的最小值是 .14、如图,在三棱锥中, 、两两垂直,且.设是底面内一点,定义,其中、分别是三棱锥、 三棱锥、三棱锥的体积.若,且恒成立,则正实数的最小值为_.二、
4、选择题：（本大题20分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。15、设，则“”是“”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件16、如图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ( )A BCD17、（理）已知向量,，,则与夹角的最小值和最大值依次是 （ ）A. B. C. D.（文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足，则科网等于 ( )A. B. C. D. 18、（理）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，P是它们的一个交点
5、，则F1PF2的形状是 （ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随变化而变化 （文）已知有相同两焦点F1、F2的椭圆和双曲线，是它们的一个交点， 则的形状是 （ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形三、解答题（本大题共5小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.19、（本题满分12分）（理）小明购买一种叫做“买必赢”的彩票，每注售价10元，中奖的概率为2，如果每注奖的奖金为300元，那么小明购买一注彩票的期望收益是多少元？（文）在中，角所对的边分别是，若，求的面积20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。（理）
6、如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD， E，F分别是BC，PC的中点。（1） 求异面直线PB与AC所成的角的余弦值；（2） 求三棱锥的体积。（文）棱锥的底面是正三角形，边长为1，棱锥的一条侧棱与底面垂直，其余两条侧棱与底面所成角都等于，设为中点。（1）求这个棱锥的侧面积和体积；（2）求异面直线与所成角的大小. 21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和(1)求、和；(2)（理）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；（文）是否存在实数，使对任
7、意的，不等式恒成立？若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。（理）定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。（1） 判断函数是否为“性质函数”？说明理由；（2） 若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；（3） 已知函数与的图像有公共点，求证：为“1性质函数”。（文）定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。（1） 若函数为“1性质函数”，求；（2） 判断函数是否为“性质函数”？说明理由；（3） 若函数为
8、“2性质函数”，求实数的取值范围；23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分其中6分、2分。设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于两点，已知.（1）求抛物线的方程；（2）（理）设，过点作方向向量为的直线与抛物线相交于两点，求使为钝角时实数的取值范围；（文）过点作方向向量为的直线与曲线相交于两点，求的面积并求其值域；（3）（理）对给定的定点，过作直线与抛物线相交于两点，问是否存在一条垂直于轴的直线与以线段为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由。（理）对，过作直线与抛物线相交于两点，问是否存在一条垂直于轴的直线
9、与以线段为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）（文）设，过点作直线与曲线相交于两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由。2012年长宁区高三数学检测试卷答案一、填空题（共14题，每题4分，共56分）1、2 2、 3、 4、（理） （文） 5、（理）（文） 6、（理） （文）4 7、(理)2 （文）8、（理） （文）8 9、（理）（文）2 10、（理） （文） 11、（理） （文）4 12、 13、（理）7 （文）1 14、1二、选择题（共4题，每题5分，共20分）15、B 16、A 17、（理）C （文）D 18、B三、解答题19、（本题满分12
10、分）（理）解：2+（-10）988分=-4(元) .10分答：所求期望收益是-4元。 .12分（文）解：由条件，。.4分， .8分。 .12分20、（本题满分14分，第（1）小题8分，第（2）小题6分）（理）解： （1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，.4分设与所成的角为，.6分异面直线PB与AC所成角的余弦值为。.8分（2）。.14分（文）解： （1），.2分，.3分，.5分.6分(2)取中点E，连接DE,则，为异面直线与所成角（或其补角）。.8分中，.10分设，则，.12分因此异面直线与所成角的大小为。.14分21、（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）解：（1）.1分，
11、当时，不满足条件，舍去.因此 .4分,。.6分（理）（2）当为偶数时，当时等号成立，最小值为，因此。 .9分当为奇数时，在时单调递增，时的最小值为，。 .12分综上，。 .14分（文）（2），.8分，当时等号成立， .10分最小值为， .12分因此。 .14分22、（本题满分16分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题6分）（理）解：（1）若存在满足条件，则即，.2分，方程无实数根，与假设矛盾。不能为“k性质函数”。 .4分（2）由条件得：，.5分即（，化简得，.7分当时，；.8分当时，由，即，。综上，。.10分（3）由条件存在使，即。.11分,.12分,.14分令，则，.15分,为“1性
12、质函数”。.16分（文）解：（1）由得，.2分，。 .4分（2）若存在满足条件，则即，.7分，方程无实数根，与假设矛盾。不能为“k性质函数”。 .10分（3）由条件得：，.11分即（，化简得， .13分当时，； .14分当时，由，即，。综上，。.16分23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第2小题6分，第3小题8分）解： （1）由条件得，抛物线C的方程为；.4分（理）（2）直线方程为代入得，设，则，。.6分为钝角，即，.8分因此，.9分综上得。.10分（文）（2）直线方程为代入，.6分恒成立。设，则，.7分，.9分。.10分（理）（3）设过所作直线方程为代入得，.11分设则，中点，.12分。.13分设存在直线满足条件，则, .14分对任意恒成立，无解，这样的直线不存在。 .16分当时，存在直线满足条件；.17分当且时，直线不存在。 .18分（文）（3）设所作直线的方向向量为，则直线方程为代入得，设，.12分又，则，为钝角，.14分即，该不等式对任意实数恒成立，.16分因此.17分又，因此，当时满足条件。.18分
