1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(三)几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式一、选择题(每小题3分，共18分)1.已知f(x)=xa，若f(-1)=-4，则a等于()A.4B.-4C.5D.-5【解题指南】先求出函数的导数，然后把f(-1)=-4代入即可求出参数的值.【解析】选A.因为f(x)=xa，所以f(x)=axa-1，又因为f(-1)=-4，即a(-1)a-1=-4，解得a=4.2.(2014济南高二检测)在曲线f(x)=上切线的倾斜角为的点的坐标为()A.(1，1)B.(-1，
2、-1)C.(-1，1)D.(1，1)或(-1，-1)【解析】选D.因为f(x)=，所以f(x)=-，因为切线的倾斜角为，所以切线斜率为-1，即f(x)=-=-1，所以x=1，则当x=1时，f(1)=1；当x=-1时，f(1)=-1，则点坐标为(1，1)或(-1，-1).3.已知函数f(x)=lgx，则f(e)=()A.B.C.D.【解析】选C.因为f(x)=lgx，所以f(x)=，所以f(e)=.【变式训练】f(x)=logax，若f (e)=，则a=_.【解析】因为f(x)=，所以f(e)=.所以lna=1，a=e.答案：e4.(2014北京高二检测)已知曲线y=x3在点(2，8)处的切线方
3、程为y=kx+b，则k-b=()A.4B.-4C.28D.-28【解析】选C.因为y=3x2，所以k=y|x=2=12，切线方程为y-8=12(x-2)，即12x-y-16=0，y=12x-16，所以k=12，b=-16，所以k-b=28.【变式训练】已知函数f(x)=在(x0，y0)(x00)处的切线方程为y=-x+b，则b=_.【解析】因为f(x)=，所以f(x)=-，又f(x)=在(x0，y0)(x00)处的切线方程为y=-x+b，所以f(x0)=-=-，解得x0=2，所以y0=，又因为点在y=-x+b上，代入方程，解得b=1.答案：15.如果曲线y=f(x)在点(x0，f(x0)处的切
4、线方程为x+2y-3=0，那么()A.f(x0)0B.f(x0)0C.f(x0)=0D.f(x0)不存在【解析】选B.因为切线方程为x+2y-3=0，所以k=f(x0)=-0，所以x=1.答案：1【误区警示】解答此题时易忽视隐含条件x0，造成增根，致使答案错误.9.(2014南京高二检测)已知函数y=f(x)的图象在M(1，f(1)处的切线方程是y=x+2，则f(1)+f(1)=_.【解析】由已知切点在切线上，所以f(1)=+2=，切点处的导数为切线斜率，所以f(1)=，所以f(1)+f(1)=3.答案：3【变式训练】函数f(x)=lnx在点(e，1)处的切线方程为_.【解析】因为f(x)=l
5、nx，所以f(x) =，所以f(x)=lnx在点(e，1)处的切线斜率k=f(e)=，切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0.答案：x-ey=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.(2014长沙高二检测)求过曲线f(x)=cosx上一点P且与曲线在这点的切线垂直的直线方程.【解析】f(x)=cosx，所以f(x)=-sinx，则曲线f(x)=cosx在点P的切线斜率为f=-sin=-，所以所求直线的斜率为，所求直线方程为y-=，即y=x-+.11.(2014苏州高二检测)设曲线y=ex(x0)在点M(t，et)处的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的解析式.
6、【解析】对y=ex求导可得f(x)=(ex)=ex，故切线l在点M(t，et)处的斜率为f(t)=et，故切线l的方程为y-et=et(x-t).即etx-y+et(1-t)=0，令y=0可得x=t-1，令x=0可得y=et(1-t)，所以S(t)=|(t-1)et(1-t)|=(t-1)2et(t0).一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014广州高二检测)若f(x)=sinx，f()=，则下列的值中满足条件的是()A.B.C.D.【解析】选A.f(x)=cosx，f()=cos=，又cos=，故选A.2.曲线y=过点(4，2)的切线方程为()A.y=x+1B.y=x+1C.y=-x+
7、D.y=x【解题指南】先求出在点(4，2)处的导数，即得斜率，再利用点斜式方程写出切线方程.【解析】选B.y=，x=4时，k=y|x=4=，切线方程为y-2=(x-4)，即y=x +1.【举一反三】将点改为(1，1)，切线方程为_.【解析】k=y|x=1=，所以切线方程为y-1=(x-1)，即y=x+.答案：y=x+3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为()A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0【解析】选A.因为l与直线x+4y-8=0垂直，所以直线l的斜率为4，而y=4x3，由y=4得x=1，而x=1时，y=x4=1，
8、故直线l的方程为：y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0.【误区警示】本题易认为切线l的斜率即为直线x+4y-8=0的斜率，而导致结果错误.4.(2014长春高二检测)若函数f(x)=x2014，则f=()A.0B.1C.2014D.2013【解析】选B.f(x)=2014x2013，f=2014=1.二、填空题(每小题5分，共10分)5.(2014潍坊高二检测)点P是f(x)=x2上任意一点，则点P到直线y=x-1的最短距离是_.【解析】根据题意，设平行于直线y=x-1的直线与曲线f(x)=x2相切于点(x0，y0)，该切点即为与y=x-1距离最近的点.由题意知，曲线在(x0，y0)处的切
9、线斜率为1，即f(x0)=1，因为f(x)=2x，所以f(x0)=2x0=1，所以x0=，代入曲线方程得y0=，所以最短距离为d=.答案：【拓展延伸】利用求导公式解决综合问题的方法利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何最值问题.解题的关键是正确确定所求切线的位置，进而求出切点坐标，解题时还要注意数形结合思想的应用.6.曲线y=sin在点A处的切线方程是_.【解题指南】首先利用三角函数的诱导公式对函数进行化简，再判断点A是否为函数图象上的点，利用导数求切线的斜率，最后写出切线方程.【解析】y=sin=cosx，点A是曲线y=sin上的点，y=-sin=，
10、所求的切线方程为y-=，即x-2y+1=0.答案：x-2y+1=0三、解答题(每小题12分，共24分)7.(2013淮南高二检测)已知P(-1，1)，Q(2，4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P，Q的曲线y=x2的切线方程.(2)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.【解析】(1)因为y=2x，P(-1，1)，Q(2，4)都是曲线y=x2上的点.过P点的切线的斜率k1=y|x=-1=-2，过Q点的切线的斜率k2=y|x=2=4，过P点的切线方程：y-1=-2(x+1)，即：2x+y+1=0.过Q点的切线方程：y-4=4(x-2)，即：4x-y-4=0.(2)因为y=2x，直线PQ的斜
11、率k=1，切线的斜率k=y=2x0=1，所以x0=，所以切点M，与PQ平行的切线方程：y-=x-，即：4x-4y-1=0.【变式训练】求过点的抛物线y=x2的切线方程.【解析】设切点(x0，y0)，所以y0=，又切线斜率k=y=x0，所以切线方程：y-y0=x0(x-x0)，切线过(4，)，所以-y0=x0(4-x0)，所以y0=-2x0+，解得：x0=1或x0=7，所以切点为或，所以切线方程：y-=(x-1)或y-=(x-7)，即：2x-4y-1=0或14x-4y-49=0.8.求证：曲线y=(a为非零常数)上任何一点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为定值.【解题指南】设出切点坐标，求出切点处的导数即得切线斜率，写出切线方程，令x=0，y=0得与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式求得面积，即可使问题得证.【证明】设曲线上任意一切点为P，因为y=-，所以k=-，过P点的切线方程为：y-=-(x-x0)，切线与两坐标轴的交点为：(2x0，0)，显然三角形的面积为：|2x0|=2a2，为常数.故命题得证.关闭Word文档返回原板块
