1、考点测试6函数的单调性高考概览本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查题型为选择题、填空题，分值5分，难度为低、中、高各种档次考纲研读1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义2会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性一、基础小题1下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是()Ay|x| By3xCy Dyx24答案A解析函数y3x，y，yx24在(0,1)上均为减函数，y|x|在(0,1)上为增函数，故选A.2函数yx26x10在区间(2,4)上()A递减 B递增C先递减后递增 D先递增后递减答案C解析由函数yx26x10的图象开口向上，对称轴为直线x3，知yx
2、26x10在(2,4)上先递减后递增，故选C.3若函数f(x)(2a1)xb是R上的减函数，则实数a的取值范围为()A. BC. D答案D解析当2a10，即af(m1)，则实数m的取值范围是()A(，1) B(0，)C(1,0) D(，1)(0，)答案D解析由题意得m21m1，故m2m0，解得m0.故选D.5函数f(x)x在上的最大值是()A. B C2 D2答案A解析因为f(x)x在上为减函数，所以当x2时，f(x)取得最大值，且为2.故选A.6函数f(x)是增函数，则实数c的取值范围是()A1，) B(1，)C(，1) D(，1答案A解析f(x)在R上单调递增，c1，即实数c的取值范围是1
3、，)故选A.7设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()Ay在R上为减函数By|f(x)|在R上为增函数Cy在R上为增函数Dyf(x)在R上为减函数答案D解析A错误，如yx3，y在R上无单调性；B错误，如yx3，y|f(x)|在R上无单调性；C错误，如yx3，y在R上无单调性；故选D.8若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A. B6，4C3，2 D4，3答案B解析由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知f(x)在3，)上为增函数，在1,2上为减函数，故2,3，即a6，49若f(x)
4、x22ax与g(x)在区间1,2上都是减函数，则a的取值范围是()A(1,0)(0,1 B(1,0)(0,1)C(0,1) D(0,1答案D解析f(x)(xa)2a2，当a1时，f(x)在1,2上是减函数；g(x)，当a0时，g(x)在1,2上是减函数，则a的取值范围是0x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)ab BcbaCacb Dbac答案D解析因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减因为12ff(e)，所以bac.11设函数f(x)若函数yf(x)在区间(a，a1)上单调递增，则实数a的取值
5、范围是_答案(，14，)解析作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a1)上单调递增，需满足a4或a12，即a1或a4.12已知f(x)，若对任意x1，x2(2，)，有(x1x2)f(x1)f(x2)0，则a的取值范围是_答案解析由f(x)a，且yf(x)在(2，)上是增函数，得12a.二、高考小题13(2019全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()答案C解析因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以ff(log34)f(log34)又因为log3410，且函数f(x)在(0，)单调递减，所以f(log34)0可得x4或xf()，则a的取值范围是_答
6、案解析由题意知函数f(x)在(0，)上单调递减因为f(2|a1|)f()，且f()f()，所以f(2|a1|)f()，所以2|a1|，解得a1，所以a的取值范围是(1，)故选B.20(2019郑州模拟)函数y在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()Aa3 Ba3Ca3 Da3答案C解析y11，由题意知得a3.所以a的取值范围是a3.21(2019重庆模拟)定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1 C6 D12答案C解析由已知得，当2x1时，f(x)x2；当1f(x)，则实数x的取值范围是()A(，1)(2，)
7、B(，2)(1，)C(1,2) D(2,1)答案D解析因为当x0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线因为当x0时，函数f(x)x3为增函数，当x0时，f(x)ln (x1)也是增函数，所以函数f(x)是定义在R上的增函数因此，不等式f(2x2)f(x)等价于2x2x，即x2x20，解得2x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.解(1)令xy0得f(0)1.在R上任取x1x2，则x1x20，f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2)f(x1x2)f(x2)1f(
8、x2)，所以f(x)在R上是单调增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，又因为f(x)在R上是增函数，故x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x12(2019安徽肥东高级中学调研)函数f(x)2x的定义域为(0,1(1)当a1时，求函数f(x)的值域；(2)若f(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围解(1)因为a1，所以函数f(x)2x2，所以函数f(x)的值域为2，)(2)若函数f(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2(0,1且x1f(x2)成立，即f(x1)f(x2)(x1x2)0，只要a0)，F(x)若f(1)
9、0，且对任意实数x均有f(x)0成立(1)求F(x)的表达式；(2)当x2,2时，g(x)f(x)kx是单调函数，求实数k的取值范围解(1)因为f(1)0，所以ab10，所以ba1，所以f(x)ax2(a1)x1.因为对任意实数x均有f(x)0恒成立，所以所以所以a1，从而b2，所以f(x)x22x1，所以F(x)(2)g(x)x22x1kxx2(2k)x1.因为g(x)在2,2上是单调函数，所以2或2，解得k2或k6.故实数k的取值范围是(，26，)4(2019陕西西安长安区大联考)已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调增函数；(3)若f1，求f(x)在上的最值解(1)因为函数f(x)满足f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，则f(1)f(1)f(1)，解得f(1)0.(2)证明：设x1，x2(0，)，且x1x2，则1，所以f0，所以f(x1)f(x2)ff(x2)f(x2)ff(x2)f0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数(3)因为f(x)在(0，)上是增函数若f1，则fff2，因为ff(1)ff(5)0，所以f(5)1，则f(5)f(5)f(25)2，f(5)f(25)f(125)3，即f(x)在上的最小值为2，最大值为3.