1、第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差（等比）数列的公差（公比）1.(2017北京理10)若等差数列和等比数列满足，则_.解析 由，则，由，则，则.故.2.（2017全国1理4）记为等差数列的前项和若，则的公差为（ ）.A1 B2 C4 D8解析 ，联立，得，即，所以.故选C.3.（2017全国2理3）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A1盏 B3盏 C5盏 D9盏解析 设顶层灯数为，解得故选B.4.（2017全
2、国3理14）设等比数列满足， ，则 _解析 因为为等比数列，设公比为由题意得，即显然，得，即，代入式可得，所以题型68 等差、等比数列求和问题的拓展1.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.A. B. C. D.解析 设首项为第1组，接下来两
3、项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推设第组的项数为，则组的项数和为，由题意得，令，得且，即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，即，得的最小值为，则.故选A.2.2017山东理19）已知是各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）如图所示，在平面直角坐标系中，依次联结点，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.解析 （1）设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为，所以，因此数列的通项公式为（2）过向轴作垂线，垂足分别为，由（1）得记梯形的面积为.由题意，所以 又 ，得 所以题型69 等差、等比数列的性质
4、及其应用1.（2017江苏09）等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则 解析 解法一：由题意等比数列公比不为，由，因此，得又，得，所以故填 解法二（由分段和关系）：由题意，所以，即下同解法一2.（2017全国2理15）等差数列的前项和为，则 解析 设首项为，公差为由，得，所以，.题型70 判断或证明数列是等差、等比数列1.（2017江苏19）对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列解析 （1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而当时，所以，因此等差数列是“数列”（2）由数列
5、既是“数列”，又是“数列”，因此，当时， 当时， 由知， 将代入，得，其中，所以是等差数列，设其公差为在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，从而数列是等差数列评注 这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考（2015南通基地密卷7第20题）设数列的各项均为正数，若对任意的，存在，使得成立，则称数列为“型”数列（1）若数列是“型”数列，且，求；（2）若数列既是“型”数列，又是“型”数列，证明数列是等比数列解析 （1）由题意得，成等比数列，且公比，所以（2）由是“型”数列得成等比数列，设公比为， 由是“型”数列得成等比数列，设公比为；成等比数列，设公比为；成等比数列，设公
6、比为； 则，所以，不妨令，则 所以，所以，综上，从而是等比数列2.(2017北京理20)设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（1）若，求的值，并证明是等差数列；（2）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列解析 （1），.当时，所以关于单调递减.从而，将代入，满足此式，所以对任意，于是，得是等差数列.（2）设数列和的公差分别为，则.所以.当时，取正整数，则当时，因此.此时，是等差数列.当时，对任意，.此时，是等差数列.当时，当时，有，所以.对任意正数，取正整数，故当时，.题型71 等差数列与等比数列的交汇问题暂无第二节 数列的通项公式与求和题型72
7、数列通项公式的求解题型73 数列的求和1.（2017天津理18）已知为等差数列，前项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，.（1）求和的通项公式；（2）求数列的前n项和.解析 （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以.由，可得 由，可得 联立，解得，由此可得.所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. (2)设数列的前n项和为，由，有，故，上述两式相减，得，得.所以数列的前项和为.2.（2017全国3理9）等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则数列前6项的和为（ ）.ABC3D8解析 因为为等差数列，且成等比数列，设公差为，则，即.因为，代入上式可得，又，则，所以.故选A.第三节 数列的综合题型74 数列与不等式的综合1.(2017浙江理22)已知数列满足：，.证明：当时.（1）；（2）；（3）.解析 （1）用数学归纳法证明：.当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故. 因此，所以.因此.（2）由，得.记函数.，知函数在上单调递增，所以，因此，即.（3）因为，得，以此类推，所以，故.由（2）知，即，所以，故.综上，.