1、第7讲空间角的计算1在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值是()A. B. C. D.2如图X871，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正切值是()A. B. C. D.图X871图X8723若正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成角的正弦值为()A. B. C. D.4在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_5已知三棱柱ABCA1B
2、1C1所有棱长均相等，且BAA1CAA160，那么异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为_6如图X872，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2 ，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为_7(2017年新课标)如图X873，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90， E是PD的中点(1)证明：直线CE/ 平面PAB；(2)点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o ，求二面角MABD的余弦值图X8738如图X874，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCAA12，点P为棱B1
3、C1的中点，点Q为线段A1B上一动点(1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ平面A1BC；(2)设，试问：是否存在实数，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由图X8749如图X875，在RtABC中，ABBC3，点E，F分别在线段AB，AC上，且EFBC，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为60.(1)求证：EFPB；(2)当点E为线段AB上靠近B点的三等分点时，求直线PC与平面PEF所成角的正弦值图X87510(2019年天津)如图X876，AE平面ABCD，CFAE，ADBC，ADAB，ABAD1，AEB
4、C2.(1)求证：BF平面ADE；(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；(3)若二面角EBDF的余弦值为，求线段CF的长图X876第7讲空间角的计算1D解析：如图D227，建立空间直角坐标系，图D227易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n(1,0,0)，sin |cosn，|.2B解析：BB1与平面ACD1所成角即DD1 与平面ACD1所成角，即DD1O，其正切值是 .3B解析：方法一(间接法)，由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知B1D平面ACD，B1DDC.故B1DC为直角三角形不妨设棱长为1，则有AD，B1D，DC.S.设A到平面B1DC的距离为h，则有VV，hSB
5、1DSADC.h.h.设直线AD与平面B1DC所成的角为，则sin .方法二(向量法)，如图D228，取AC的中点O为坐标原点，建立空间直角坐标系不妨设各棱长为2，则有A(0，1,0)，D(0,0,2)，C(0,1,0)，B1(，0,2)设n(x，y，z)为平面B1CD的法向量，则有n(0,2,1)设直线AD与平面B1DC所成的角为，sin cos A，n.图D228图D2294.解析：如图D229，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)，(0,2,0)，设平面A1BC1的一个法向量为n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1
6、,2)，设D1C1与平面A1BC1所成角为，则sin |cos，n|.即直线D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为.5.解析：如图D230，设三棱柱ABCA1B1C1的棱长为x，令a，b，c，则|a|b|c|x且a，ba，cb，c60，abacbcx2.又ac，bac，(ac)(bac)x2.又|ac|x，|bac|x.设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos |cos，|.图D2306.解析：取A1B1的中点H，连接AH，由题意易知C1H平面ABB1A1，C1AH即为AC1与平面ABB1A1所成的角在RtC1HA中，C1H，C1A2 ，C1AH，即AC1与侧面ABB1A所成角为.7(1
7、)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.E是PD的中点，EFAD，EFAD.由BADABC90得BCAD，又BCAD，EFBC.四边形BCEF为平行四边形，CEBF.又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB.(2)解：由已知得BAAD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长，建立如图D231所示的空间直角坐标系Axyz，图D231则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，(1,0，)，(1,0,0)，设M(x，y，z)(0x1)则(x1，y，z)，(x，y1，z)，BM与底面ABCD所成的角为45，而n(0,0,1)是底面ABCD的法向量，|co
8、s，n|sin 45， ，即(x1)2y2z20.又M在棱PC上，设，则 x，y1，z.由，解得(舍去)，M，从而.设m(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则即可取m(0，2)于是cosm，n，因此二面角MABD的余弦值为.8(1)证明：连接AB1，AC1，显然A，Q，B1三点共线点P，Q分别为B1C1和A1B的中点，PQAC1.在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，BC平面ACC1A1.BCAC1.又ACAA1，四边形ACC1A1为正方形AC1A1C.A1C，BC平面A1BC，AC1平面A1BC.而PQAC1，PQ平面A1BC.(2)解：以C为原点，分别以CA，CB，CC1为x轴、
9、y轴、z轴建立空间直角坐标系，连接A1P，B1Q，设Q(x，y，z)，(x，y2，z)(2，2,2)Q(2，22，2)当点Q在线段A1B上运动时，平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量，设平面A1PB的法向量为n1(x1，y1，z1)，由得令y12，得n1(1,2,1)设平面B1PQ的法向量为n2(x2，y2，z2)，由得令z21，得n2(1，0，)，取n2(1，0，)cosn1，n2，92920.或.9(1)证明：在RtABC中，ABBC，EFBC，EFAB.翻折后垂直关系没变，仍有EFPE，EFBE，EF平面PBE，EFPB.(2)解：EFPE，EFBE，PEB为二面角PEFB的平面
10、角，PEB60.又PE2，BE1，由余弦定理得PB，PB2EB2PE2，PBEB，PB，BC，EB两两垂直图D232以B为原点，BC所在直线为x轴，BE所在直线为y轴，BP所在直线为z轴，建立如图D232所示空间直角坐标系则P(0,0，)，C(3,0,0)，E(0,1,0)，F(2,1,0)，(0,1，)，(2,1，)，设平面PEF的一个法向量为n(x，y，z)，由可得n(0，1)，(3,0，)，sin ，故PC与平面PEF所成角的正弦值为.10(1)证明：如图D233，依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0.又直线BF平面ADE，BF平面ADE.(2)解：依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x1，y1，z1)为平面BDE的法向量，则即不妨令z11，可得n(2,2,1)因此有cos，n.直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)解：设m(x2，y2，z2)为平面BDF的法向量，则即不妨令y21，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意，线段CF的长为.图D233
