1、四川省泸县第四中学2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是虚数单位，复数满足，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用复数除法的运算法则可以直接求出复数的表达式.【详解】，故本题选D.【点睛
2、】本题考查了复数的除法运算法则，考查了数学运算能力.2.已知函数的定义域为A，则 （ ）A. 或B. 或C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求集合，再由补集运算即可得.【详解】已知函数的定义域为，所以，得，即，故.故选D【点睛】本题考查了集合的补集运算，不等式的解法，属于基础题.3.函数的图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，得的图象关于原点对称，当时，得，对选项分析判断即可.【详解】由，得的图象关于原点对称，排除C,D.当时，得，排除B.故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用了函数的奇偶性等性质，属于基础题.4.已知随机变量，且，则A. B. C. D.
3、 【答案】B【解析】【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案.【详解】由于，故选B.【点睛】本题主要考查正态分布中概率的计算，难度不大.5.展开式中x2的系数为（ ）A. 15B. 60C. 120D. 240【答案】B【解析】【详解】展开式的通项为，令6-r=2得r=4，展开式中x2项为，所以其系数为60,故选B6.随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为,所以,解得.即等于.故选B.7.函数在上的最小值为（ ）A. -2B. 0C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得函数的导数，得到函数在区间上的单调性，即可求解函数的最小值，得到答案【详解】由
4、题意，函数，则，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数在区间上最小值为，故选D【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的最值问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性，进而求解函数的最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题8.函数的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A. 为函数的单调递增区间B. 为函数的单调递减区间C. 函数在处取得极小值D. 函数在处取得极大值【答案】D【解析】【分析】利用导数和函数的单调性之间的关系，以及函数在某点取得极值的条件，即可求解，得到答案【详解】由题意，函数的导函数的图象可知：当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，函数
5、单调递减；当时，函数单调递增；所以函数单调递减区间为，递增区间为，且函数在和取得极小值，在取得极大值，故选D【点睛】本题主要考查了导函数与原函数的关系，以及函数的单调性与极值的判定，其中解答中根据导函数的图象得出原函数的单调性是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题9.已知函数，满足，则实数的取值范围是（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (1,3)D. (2,4)【答案】A【解析】【分析】首先求出函数的定义域，把代入函数中化简，解出不等式的解，即可得到答案【详解】函数的定义域为，由可得：，两边平方：则（1）或（2）解（1）得：无解 ，解（2）得：，所以实数的
6、取值范围是：；故答案选A【点睛】本题主要考查对数不等式的解，解题时注意定义域的求解，有一定综合性，属于中档题10. 高三(1)班需要安排毕业晚会4个音乐节目、2个舞蹈节目和l个曲艺节目的演出顺序要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ）A 800B. 5400C. 4320D. 3600【答案】D【解析】先排4个音乐节目和1个曲艺节目共有种排法，再从5个节目的6隔空插入两个不同的舞蹈节目有种排法，共有种排法，故选D11.过双曲线的右焦点与轴垂直的直线与渐近线交于A,B两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意，得代入，得交点，则.
7、整理，得，故选D.考点：1、双曲线渐近线；2、双曲线离心率.12.已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】令则当或时，单调递增，当时，单调递减当时，取得极大值，且；当时，取得极小值，且函数有三个不同的零点，直线与函数的图象有三个交点，即实数的取值范围为选C点睛：研究方程根（或函数零点）的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出大致的函数图象，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每
8、小题5分，共20分.13.设函数若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为_【答案】 【解析】【分析】首先根据奇函数的定义，得到，即，从而确定出函数的解析式，之后对函数求导，结合导数的几何意义，求得对应切线的斜率，应用点斜式写出直线的方程，最后整理成一般式，得到结果.【详解】因为函数是奇函数，所以，从而得到，即，所以，所以，所以切点坐标是，因，所以，所以曲线在点处的切线方程为，故答案是.【点睛】该题考查的是有关函数图象在某点处的切线问题，涉及到的知识点有奇函数的定义，导数的几何意义，属于简单题目.14.函数的单调递增区间为_.【答案】【解析】函数有意义，则： ，且： ，由 结合函数定义域可得函数的单
9、调递增区间为，故答案为.15.有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有_种（用数字作答）.【答案】150【解析】【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可.【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种故答案为150【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题16.在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A底面ABCD，
10、底面ABCD是正方形，AB2，A1A4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为_【答案】【解析】【分析】连接BC1，则BC1AD1，可得MBC1为异面直线AD1与BM所成角，由已知求解三角形MBC1 的三边长，再由余弦定理求异面直线AD1与BM所成角的余弦值【详解】如图，连接BC1，则BC1AD1，MBC1为异面直线AD1与BM所成角，在正四棱柱AC1中，由AB2，A1A4，M为A1A的中点，得，在MBC1中，由余弦定理得：cosMBC1故答案为【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
11、1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.“微信运动”是手机推出的多款健康运动软件中的一款，某学校140名老师均在微信好友群中参与了“微信运动”，对运动10000步或以上的老师授予“运动达人”称号，低于10000步称为“参与者”，为了解老师们运动情况，选取了老师们在4月28日的运动数据进行分析，统计结果如下：运动达人参与者合计男教师602080女教师402060合计10040140（）根据上表说明，能否在犯错误概率不超过0.05的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关？（）从具有“运动达人”称号的教师中，采用按性别分层
12、抽样的方法选取10人参加全国第四届“万步有约”全国健走激励大赛某赛区的活动，若从选取的10人中随机抽取3人作为代表参加开幕式，设抽取的3人中女教师人数为，写出的分布列并求出数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”称号与性别有关；（2）见解析.【解析】【分析】（1）计算比较3.841即可得到答案；（2）计算出男教师和女教师人数，的所有可能取值有，分别计算概率可得分布列，于是可求出数学期望.【详解】（1）根据列联表数据得：不能在犯错误的概率不超过的前提下认为获得“运动达人”
13、称号与性别有关（2）根据分层抽样方法得：男教师有人，女教师有人由题意可知，的所有可能取值有则；的分布列为：【点睛】本题主要考查独立性检验统计思想，超几何分布的分布列与数学期望，意在考查学生的分析能力，计算能力.18.已知函数在处有极小值（1）求、的值；（2）求出函数的单调区间【答案】单调增区间为和，函数的单调减区间为【解析】(1)由已知，可得f(1)13a2b1，又f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0.由解得(2)由(1)得函数的解析式为f(x)x3x2x.由此得f(x)3x22x1.根据二次函数的性质，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.因此，在区间和(1，)上，函数f(x
14、)为增函数；在区间上，函数f(x)为减函数19.如图,棱锥的底面是矩形, 平面,.（1）求证: 平面;（2）求二面角的大小;【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】试题分析：（1）利用空间向量证明线面垂直，即证平面的一个法向量为 ，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明为平面的一个法向量，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用空间向量求二面角，先利用解方程组的方法求出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小【详解】试题解析:证：（1）建立如图所示的直角坐标系，则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.
15、在RtBAD中，AD=2，BD=，AB=2.B（2，0，0）、C（2，2，0），即BDAP，BDAC，又APAC=A，BD平面PAC.（2）由（1）得.设平面PCD的一个法向量为，则， 即，故平面PCD的法向量可取为PA平面ABCD，为平面ABCD的法向量. 设二面角PCDB的大小为，依题意可得.20.已知函数.()讨论函数的单调性；()设，若对任意的，恒成立，求的取值范围.【答案】() (1)若，在上单调递增；(2)若，在上单调递增；在上单调递减； ().【解析】【分析】（I）先求得函数的导数和定义域，然后对分成两类，讨论函数的单调性.（II）将原不等式恒成立转化为“对任意的恒成立”，根据（
16、I）的结论，结合函数的单调性，以及恒成立，求得的取值范围.【详解】() ,(1)若，则，函数在上单调递增；(2)若，由得；由得 函数在上单调递增；在上单调递减. ()由题设，对任意的恒成立即对任意的恒成立即对任意的恒成立 ,由()可知，若，则，不满足恒成立,若，由()可知，函数在上单调递增；在上单调递减. ，又恒成立，即, 设，则函数在上单调递增，且，解得的取值范围为 .【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调区间，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，综合性很强，属于难题.21.已知抛物线的内接等边三角形的面积为（其中为坐标原点）（1）试求抛物线
17、的方程；（2）已知点两点在抛物线上，是以点为直角顶点的直角三角形求证：直线恒过定点；过点作直线的垂线交于点，试求点的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲线【答案】（1）；（2）证明见解析；，是以为直径的圆（除去点.【解析】【分析】（1）设A（xA，yA），B（xB，yB），由|OA|OB|，可得2pxA2pxB，化简可得：点A，B关于x轴对称因此ABx轴，且AOx30可得yA2p，再利用等边三角形的面积计算公式即可得出；（2）由题意可设直线PQ的方程为：xmy+a，P（x1，y1），Q（x2，y2）与抛物线方程联立化为：y2mya0，利用PMQ90，可得0利用根与系数的关系可得m，或（m），进而得出
18、结论；设N（x，y），根据MNNH，可得0，即可得出【详解】（1）解依题意，设，则由，得，即，因为，所以，故，则，关于轴对称，所以轴，且，所以.因为，所以，所以，故，故抛物线的方程为.（2）证明 由题意可设直线的方程为，由，消去，得，故，.因为，所以.即.整理得，即，得，所以或.当，即时，直线的方程为，过定点，不合题意舍去.故直线恒过定点.解 设，则，即，得，即，即轨迹是以为直径的圆（除去点）.【点睛】本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、直线经过定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（二）
19、选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，线的极坐标方程是.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）己知直线与曲线交于、两点，且，求实数的值.【答案】（1）的普通方程；的直角坐标方程是；（2）【解析】【分析】（1）把直线l的标准参数方程中的t消掉即可得到直线的普通方程，由曲线C的极坐标方程为2sin（），展开得（sin+cos），利用即可得出曲线的直角坐标方程；（2）先求得圆心到直线的距离为，再用垂径定理即可求解【详解】（1）由直线的参数
20、方程为，所以普通方程为由曲线的极坐标方程是，所以，所以曲线的直角坐标方程是（2）设的中点为，圆心到直线的距离为，则，圆，则，,由点到直线距离公式，解得，所以实数的值为.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.选修45：不等式选讲已知关于的不等式的解集为(1)求的最大值；(2)已知，且，求的最小值及此时，的值【答案】(1)；(2)，时，最小值为 【解析】试题分析: (1)由绝对值三角不等式可得 最小值为.再解不等式即得的最大值；（2）由柯西不等式得 ，即得的最小值，再根据等于号成立条件解得，的值试题解析: (1)因为 .当或时取等号，令所以或解得或的最大值为(2)由柯西不等式， ,，等号当且仅当，且时成立即当且仅当，时，的最小值为