1、第九章解析几何第九节直线与圆锥曲线的综合问题第三课时定点、定值、探索性问题A级基础过关|固根基|1.(2020届大同调研)椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e.(1)设E是直线yx2与椭圆的一个交点，求|EF1|EF2|取最小值时椭圆的方程；(2)已知N(0，1)，是否存在斜率为k的直线l与(1)中的椭圆交于不同的两点A，B，使得点N在线段AB的垂直平分线上？若存在，求出直线l在y轴上截距的取值范围；若不存在，说明理由解：(1)e，椭圆的方程可化为1，将1与yx2联立，消去y化简得4x212x123b20，由14416(123b2)0，解得b21，即b1，|EF1|EF2|2
2、a2b2，当且仅当b1时，|EF1|EF2|取得最小值2，椭圆的方程为y21.(2)存在直线l.设直线l在y轴上的截距为t，则直线l的方程为ykxt，代入y21，消去y整理得，(13k2)x26ktx3t230，直线l与椭圆交于不同的两点，1(6kt)212(t21)(13k2)0，即t213k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为Q，则x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2)2t，AB的中点Q的坐标为，当k0时，kQN，化简得13k22t，代入t213k2得，2t0.又2t13k21，t，故2t.当k0时，1t1.综上，存在直线l，当k0时，直线l在y轴上截距的范围为2，；
3、当k0时，直线l在y轴上截距的范围为(1，1)2(2019届太原市一模)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，右焦点为F2(1，0)，点B在椭圆C上(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l：yk(x4)(k0)与椭圆C由左至右依次交于M，N两点，已知直线A1M与A2N相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出定直线的方程解：(1)由F2(1，0)，知c1，由题意得所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)证明：因为yk(x4)，所以直线l过定点(4，0)，由椭圆的对称性知点G在直线xx0上当直线l过椭圆C的上顶点时，M(0，)，所以直线l的斜率k，由得 或所以N，由(1)知A1(2，
4、0)，A2(2，0)，所以直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，所以G，所以点G在直线x1上；当直线l不过椭圆C的上顶点时，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(34k2)x232k2x64k2120，所以(32k2)24(34k2)(64k212)0，则x1x2，x1x2，易得直线lA1M的方程为y(x2)，直线lA2N的方程为y(x2)，当x1时，由得2x1x25(x1x2)80，所以0显然成立，所以点G在直线x1上综上，点G在定直线上，定直线方程为x1.B级素养提升|练能力|3.(2019年北京卷)已知抛物线C：x22py经过点(2，1)(1)求抛物线C的
5、方程及其准线方程；(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点解：(1)由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2，所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1.(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，1)设直线l的方程为ykx1(k0)由得，x24kx40.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24.直线OM的方程为yx.令y1，得点A的横坐标xA.同理得点B的横坐标xB.设点D(0，n)，则，(n1)2(n1)2(n1)24(n1)2.令0，即4(n1)20，得n1
6、或n3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，3)4如图，分别过椭圆E：1(ab0)左、右焦点F1，F2的动直线l1，l2相交于P点，与椭圆E分别交于A，B与C，D不同四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1k2k3k4.已知当l1与x轴重合时，|AB|2，|CD|.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在定点M，N，使得|PM|PN|为定值？若存在，求出M，N点坐标并求出此定值；若不存在，请说明理由解：(1)当l1与x轴重合时，k1k2k3k40，即k3k4，l2垂直于x轴，得|AB|2a2，|CD|，解得a，b，椭圆E的方程为1.(2)存在定点M，
7、N使得|PM|PN|为定值理由：由(1)得，焦点F1，F2坐标分别为(1，0)，(1，0)，当直线l1或l2的斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(1，0)，当直线l1，l2的斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，(23m)x26mx3m60，x1x2，x1x2，k1k2m1m1.同理，k3k4.k1k2k3k4，即(m1m22)(m2m1)0，由题意知，m1m2，m1m220.设P为(x，y)，则20，即x21(x1)，又当直线l1或l2的斜率不存在时，P点坐标为(1，0)或(1，0)也满足此方程，点P(x，y)在椭圆x21上，存在点M(0，1)和点N(0，1)，使得|PM|PN|为定值，定值为2.
