1、2021届高三12月特训测试2020.12.28理科数学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答第卷时，选出每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在在答题卡对应的答题区域内.写在本试卷上无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并交回.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只
2、有一项符合题目要求的.1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，再求并集即可.【详解】集合表示函数的值域，故.由，得或，故.所以.故选：B.2. 已知复数，（，为虚数单位）.若，则复数，的虚部的和为（ ）A. B. C. -2D. 4【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法运算以及复数相等即可求解.【详解】由，则，即，所以，解得，所以，所以复数，的虚部的和为.故选：D3. 在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了
3、我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是( )A. 2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B. 2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C. 2019年我国居民每月消费价格逐月递增D. 2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降【答案】D【解析】【分析】根据统计折线图以及同比和环比的概念，对四个选项逐个分析可得答案.【详解】根据统计折线图以及同比增长率的概念可知2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比都是上涨的，故A不正确；2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格涨幅最高
4、，不是消费价格最高，故B不正确；2019年我国居民每月消费价格有涨有跌，故C.不正确；2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降，下降了0.4个百分点，故D正确.故选：D【点睛】本题考查了对统计折线图的分析和理解能力，考查了同比和环比的概念，属于基础题.4. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件，结合两角差余弦公式可得，再逆用两角和的正弦公式即得的值.【详解】，即.故选：C.【点睛】思路点睛：三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得
5、到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角5. 已知等差数列满足，则数列的前6项的和（ ）A. 21B. 25C. 28D. 32【答案】A【解析】【分析】先利用已知条件和等差数列的性质计算，再利用等差数列前n项和的公式计算即可.【详解】等差数列满足，故，即，故，所以故选：A【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于熟练掌握等差数列的性质，可以避开求首项和公差，减少运算量.6.
6、 已知非零向量满足，=若，则实数t的值为A. 4B. 4C. D. 【答案】B【解析】【详解】由，可设，又，所以所以，故选B7. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）A. 此函数的图象的一个对称中心坐标是.B. 此函数的图象的一条对称轴方程是.C. 此函数在区间内是增函数.D. 由函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象.【答案】C【解析】【分析】先化简函数，再利用代入法逐一验证ABC的正误，利用通过平移变换判断D错误即可.【详解】函数，时，故不是对称中心，A错误；时，不是最值，故不是对称轴，B错误；时，则，而在单调递增，即递增，故C正确；函数的图象向右平移个单位长度，得到，故D错误.故选：C
7、.【点睛】方法点睛：解决三角函数的图象性质，通常利用正弦函数的图象性质，采用整体代入法进行求解，或者带入验证.8. 已知椭圆（）的右焦点为，过点的直线交椭圆于A，两点，若线段的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得的值，结合可得出、的值，即得椭圆的方程.【详解】设点、，则的中点为，则，可得.若直线轴，则线段的中点在轴上，不合题意；故直线的斜率存在，且，直线的斜率为，由于A、两点都在椭圆上，则，两式作差得，所以，因为在直线AB上，故，所以，又，故所以，解得，因此，椭圆的标准方程为.故选：A.【点睛】方法点睛：解决中点弦的问
8、题的两种方法：（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.9. 已知圆锥的底面半径为1，圆心为，侧面展开图是一个半圆，设为圆锥的顶点， 、分别为底面圆周上的两个动点.则以下选项错误的是（ ）A. 圆锥的侧面积为B. 直线与圆锥底面所成角为60C. 有可能为等腰直角三角形D. 面积的最大值为【答案】C【解析】【分析】由条件先求出圆锥的母线长，然后由圆锥的性质和侧面展开图对选项进行逐一判断正误，可得答案.【详解】
9、如图，设为底面圆的圆心，则为圆锥的高.设圆锥的母线为，由底面半径为1，所以周长为其侧面展开图是一个半圆，则此半圆的半径为，此半圆的半圆弧长，所以所以侧面展开图的面积为：，所以选项A正确.由圆锥的性质可知与圆锥底面所成角为,则,所以，所以选项B正确.在中，,不可能为直角三角形，所以选项C不正确.在中，由所以，所以所以，所以选项D正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥展开图的基本量的计算，关键是计算母线长为2，其他问题再根据图形就迎刃而解.10. 数列满足且，则值为（ ）A. 10B. 8C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据数列的递推公式，代入逐步计算，得到周期性规律，即得结果.【详
10、解】因为，故，解得，由，解得，由，解得，该数列周期为3，根据规律以此类推.故选：D.11. 如图，设，是双曲线与椭圆的公共焦点，分别是，在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线与椭圆的定义可知，求出，再由即可求解.【详解】由，可得 由双曲线与椭圆的定义可知，(其中为椭圆的长轴长)，又四边形是矩形，即 ，.故选：C12. 设直线，分别是函数，图象上点，处的切线，且与垂直相交于点，分别与轴相交于点A，则的面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先设切点，依题意得到和切线方程，再令得到点A，
11、联立直线得到P点横坐标，即得，根据求得面积范围即可.【详解】设，当时，；当时，.的斜率为，的斜率为，由与垂直知，即，直线的方程为，即，则点，直线的方程为，即，由得，则点，所以，联立直线方程，消去y得P点横坐标，所以的面积，因为对勾函数在是单调递减的，取值范围为，故，即.故选：A.【点睛】方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题
12、，每小题5分，共20分.13. 设满足约束条件, 则的最大值为_.【答案】8【解析】【详解】作可行域，则直线过点B(5,2)时取最大值8.14. 若，则_.【答案】.【解析】【分析】令，可得，令，可得，化简，即可求解.【详解】由，令，可得，令，可得，又由.故答案为：.15. 已知定义在上的函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先判断函数的单调性，和奇偶性，不等式变形为，再根据函数的单调性，解抽象不等式.【详解】，得，所以函数是奇函数，（不恒为零），即函数在上单调递增，解得：或.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奇函数的定义判断函数是奇函数，
13、以及判断函数的单调性.16. 如图，格纸上小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为_.【答案】【解析】【分析】先根据三视图画出对应的直观图如图，再根据正方体性质求三棱锥的体积即可.【详解】该几何体的直观图如图所示，相当于放置在正方体中的一个三棱锥，正方体棱长为4，其中B，D是棱的中点.根据正方体性质知，E到平面ABC(即对角面ABCF)的距离是面对角线长的一半，故D到平面ABC的距离是其一半，即，又的面积是,故体积.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于能根据三视图画出对应的直观图，要求学生有一定的空间想象能力，才能突破该难点.三、解答题：本大题共70分.解
14、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cos C的最小值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得，再根据，即可得到，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1），利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得的最小值.试题解析：（1）由题意知，化简得：即，因为，所以，从而，由正弦定理得.（2）由（1）知，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用
15、、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.18. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越
16、到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取100户，得到这100户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图：（1）求的值，并求出这100户家庭人均年纯收入的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019（时间代码）123456人均月纯收入（元）275365415450470485由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入
17、与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响，该家庭2020年每月的人均月纯收入只能达到预估值的，试估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由.附：可能用到的数据：，；参考公式：线性回归方程中，.【答案】（1）；平均数为（千元）；（2）；能.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图概率和为1求出a，利用平均值等于求平均数即可；（2）先求，结合公式求b和a，写出回归方程；先利用回归直线和已知条件估计2020年每月收入，再计算年总收入，根据题意判断即可.【详解】解：（1）组距为1，频率之和为1，故，解得；平均数为（千元）；（2），故，所
18、以回归直线方程为：；设y是2020年该家庭人均纯收入，则时，即2020年每月收入依次成等差数列，首项为，最后一项为，故2020年总收入为 ，所以该家庭2020年能否达到小康标准.【点睛】方法点睛：(1)从频率分布直方图可以估计出的几个数据：众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标（2）求线性回归方程的步骤：求出；套公式求出；写出回归方程；利用回归方程进行预报.19. 如图，在四棱锥中，底面中，侧面平面，且，点在棱上，且（）证明：平面；（）求二面角的余弦值【答案】（
19、）证明见解析；（）【解析】【分析】（）要证明线面平行需证明线线平行，接交于点，连接，利用线段比例相等，证明；（）如图，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面法向量，利用法向量二面角的余弦值.【详解】命题意图 本题考查空间关系的证明以及利用空间向量计算二面角的余弦值解析（）如图，连接交于点，连接， 因为， ，所以，由条件得，所以，又平面，平面，所以平面（）如图，取的中点，连接，由条件可知， ，两两垂直，以， ，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ，因，所以所以， ，设平面的法向量为，则即令，则设平面的法向量为，则即令，则=，所以二面角的余弦值为【点睛】方法点睛：不管是证明面
20、面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.20. 若抛物线上的点到焦点的距离为2，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点.（1）若在线段上，是的中点，证明：；（2）过直线交于，以为直径的圆交轴于，证明：为定值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由焦点半径公式求得，得抛物线方程，准线方程，焦点坐标设设直线方程为，设，直线方程与抛物线方程联立，应用韦达定理可得，表示出坐标，只要证明，利用，可证；（2）设直线方程为，的中点为，同（1）方法求得，可得点坐标
21、，再求得弦长，可得圆方程，设，代入峭方程后易得，从而得到证明【详解】（1）由题意，抛物线方程为，焦点为，准线方程为，设直线方程为，设，由得，所以，又，要证，即证，即证，只要证，又，所以成立，所以（2）设直线方程为，的中点为，由得，所以，即，又，所以以为直径的圆方程为，令得，设，则，所以为定值【点睛】思路点睛：本题考查求抛物线方程，考查直线与抛物线相交中的定值问题解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入抛物线方程后应用韦达定理得（需要根据方便性，可能得），由弦长公式得弦长，得弦中点坐标，从而可得圆方程，再根据数量积的坐标表示证明21. 已知，曲线在点处的切线与直线垂直.
22、（1）试比较与的大小，并说明理由；（2）若函数有两个不同的零点，证明：（为自然对数底数）.【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）求出的导数，由两直线垂直的条件可得斜率之间的关系，即可得到切线的斜率和切点坐标，进而的解析式和导数，求出单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义可得所以化简得，可得，要证明，即证明，也就是求出，即证，令 ，则，即证令（t1）求出导数，判断单调性，即可得证【详解】（1）依题意得，所以，又由切线方程可得，即，解得此时，令，即，解得；令，即，解得所以的增区间为，减区间为所以，即，所以.（2）证明：不妨设因为所以化简得，可得
23、，.要证明，即证明，也就是因为，所以即证即，令，则，即证.令（），由故函数在是增函数，所以，即得证.所以.【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数证明不等式，利用导数研究函数的单调性以及导数的几何意义，解题的关键是求出函数，通过分析法将不等式转化为，构造函数（），考查了转化思想.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在极坐标系中，极点为，曲线，过点作两条互相垂直的直线与分别交于点，和，.（1）当时，求直线的极坐标方程；（2）求的最大值和最小值.【答案】（1）或；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】（1）由基本不等式得，直线的
24、倾斜角为或，易得其极坐标方程；（2）由圆的性质求得过的弦长的最大值和最小值，即和的最大值和最小值，由此得出的范围，引入函数，由勾形函数性质知其在上单调递减，在上单调递增，从而可求得题中所求范围【详解】（1）解：因为，当且仅当，即时取“”，故.所以直线的倾斜角为或，即直线的极坐标方程是或.（2）解：因为，故.又函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增.将，分别代入，所以的最大值为，最小值为.【点睛】本题考查求直线的极坐标方程，考查圆的极坐标方程，考查圆的性质，求范围时，引入函数，确定其单调性是解题关键23. 已知.（1）若存在使得，求的取值范围；（2）记是（1）中的最大值且，证明.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求出，再解不等式即得解；（2）先证明，再结合基本不等式证明即得证.【详解】（1）由题得，所以，所以.（2）由题得，所以，因为，所以，(当且仅当时取等)所以.所以得证.【点睛】本题主要考查利用三角绝对值不等式求最值，考查一元二次不等式的解法，考查不等式的证明和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
