1、第四章 函数的应用 第一节 一元二次方程与二次函数 备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.理解并掌握二次函数的图象及性质.2.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题.在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象来解.一般从四个方面分析:开口方向;对称轴位置;判别式;端点函数值符号.知识链条完善 把散落的知识连起来 一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 含有未知数x,并且x的最高次数是二次的等式ax2+bx+c=0(a0),称为关于x的一元二次方程.2.一元二次方程的根 网络构建(1)当 0 时,方程有两个不相等的实数根 x1、2=.242
2、bbaca(2)当=0 时,方程有两个 的实数根 x1=x2=-2ba.相等(3)当 0)的图象与零点的关系 0=0 0)的图象与x轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)无交点零点的个数210拓展空间 1.概念理解 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的零点即函数图象与x轴交点的横坐标,也是方程ax2+bx+c=0(a0)的根.因此关于函数零点或方程根的问题,可同时从方程的判别式、根与系数的关系及函数的图象特征几个方面入手.2.一元二次方程根的分布与方程系数的关系(以开口向上为例)一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)根的分布也即函数y=ax2+bx+c(a0)零点所在的区间,这类问
3、题常借助函数y=ax2+bx+c(a0)的图象来解.一般从四个方面分析:开口方向;对称轴位置;判别式;区间端点的函数值.常见类型列表如下:根的分布 与方程系数的关系 函数图象(a0 为例)两根均大于某一实数 m,mx1x2 240,20bacbmaf m 两根均小于某一实数 m,x1x2m 240,20bacbmaf m 两根均大于实数 m 小于实数n,mx1x2n 240,20,0bacbmnaf mf n 一根在区间(m,n)之内,一根在区间(m,n)之外 mx1nx2或 x1mx2n 0,0f m f n 两根分别位于区间(m,n)两侧,x1mnx2 0,0,0f mf n 1.若 x1
4、,x2是方程 2x2-4x+1=0 的两个根,则12xx+21xx 的值为()(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 C 温故知新 解析:由题意得 x1+x2=2,x1x2=12,12xx+21xx=22121 2xxx x=21212122xxx xx x=21212xxx x-2=2212-2=6.B 2.设f(x)=1-(x-a)(x-b)(ab),m,n为y=f(x)的两个零点,且mn,则a,b,m,n的大小关系是()(A)amnb (B)mabn(C)abmn (D)mnab 解析:由题意得a,b是函数g(x)=(x-a)(x-b)的两个零点,而m,n相当于y=g(x)与y=1的两交
5、点的横坐标,二次函数g(x)=(x-a)(x-b)开口向上,故a,b,m,n的大小关系是mabn.故选B.3.若方程 x2-2mx+4=0 的两根满足一根大于 1,一根小于 1,则 m 的取值范围是()(A)(-,-52)(B)(52,+)(C)(-,-2)(2,+)(D)(-52,+)B 解析:设 f(x)=x2-2mx+4,则题设条件等价于 f(1)0,即 1-2m+4 52.解析:设 f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,由题意知 00,10,20,fff即210,320,410,kkk 解得 12k2+22.答案:(2+22,+)高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 一元二次方程的
6、求解(1)证明:=2(m-1)2+20,故无论m取什么实数,这个方程总有两个相异实数根.【例 1】已知关于 x 的方程 x2-(m-2)x-24m=0.(1)求证:无论 m 取什么实数,这个方程总有两个相异实数根;(2)解:因为 x1x2=-24m 0,所以 x10,x20,或 x10,x20.若 x10,x20,则 x2=-x1+2,所以 x1+x2=2,所以 m-2=2,所以 m=4.此时,方程为 x2-2x-4=0,所以 x1=1-5,x2=1+5.(2)若这个方程的两个实数根x1,x2满足|x2|=|x1|+2,求m的值及相应的x1,x2.若x10,x20,则-x2=x1+2,所以x1
7、+x2=-2,所以m-2=-2,所以m=0.此时,方程为x2+2x=0,所以x1=0,x2=-2.反思归纳 求解一元二次方程首先考虑因式分解,然后可用求根公式.若方程系数中含有参数,要注意利用判定根的个数.关于 x 的方程221x-21x+k=0,给出下列四个命题:存在实数 k,使得方程恰有 2 个不同实根;存在实数 k,使得方程恰有 4 个不同实根;存在实数 k,使得方程恰有 5 个不同实根;存在实数 k,使得方程恰有 8 个不同实根;其中假命题的个数是()(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 迁移训练 A 解析:关于 x 的方程(x2-1)2-|x2-1|+k=0 可化为 k=|x2-1
8、|-(x2-1)2,令 f(x)=|x2-1|-(x2-1)2,函数图象大致为 由图象可知,函数 f(x)为偶函数,当 k0 时,方程有两个不同实根.当 k=0 时,方程有 5 个不同实根,当 0k2.(2)不同两根在(1,3)之间;(3)有一根大于2,另一根小于2;解:(2)由已知条件 0,13,10,30,aff 解得 2a 115.(3)由已知条件f(2)2.(4)在(1,3)内有且只有一解.解:(4)由已知条件 f(1)f(3)0,解得115a3.检验:当 f(3)=0,a=115时,方程的两解为 x1=75,x2=3,当 f(1)=0,即 a=3 时,方程的两解为 x1=1,x2=5
9、,可知115a3.=0 a=2.即 a=2 时,f(x)=x2-4x+4=(x-2)2,方程的解为 x1=x2=2,所以 a=2,综上有 a=2 或 115a3.反思归纳 解决一元二次方程的根的特殊分布问题可借助于相应的一元二次函数图象,从开口方向、对称轴、根的正负等角度列举不等关系,综合求解.迁移训练 1.若方程x2+(m+2)x+m+5=0只有负根,则m的取值范围是 .解析:方程 x2+(m+2)x+m+5=0 只有负根,所以22450,20,50,mmmm 解得 m4.答案:4,+)2.已知关于x的方程x2+ax+2b-2=0(a,bR)有两个相异实根,若其中一根在区间(0,1)内,另一
10、根在区间(1,2)内,则41ba的取值范围是 .解析:令 f(x)=x2+ax+2b-2,由题意知,0220,11220,242220,fbfabfab 作出其表示的平面区域如图,41ba的几何意义是点 A(1,4)与阴影内的点的连线的斜率,直线 m 过点 B(-3,2),故 km=243 1=12;直线 l 过点 C(-1,1),故 kl=141 1=32;结合图象可知,41ba的取值范围是(12,32).答案:(12,32)考点三 二次函数的零点问题 解:当 x0 时,函数 g(x)的零点即方程 f(x)-x+3=0 的根.由 x2-3x-x+3=0,整理后解得 x1=1,x2=3.当 x
11、0,得 f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x.又因 f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2+3x,即 f(x)=-x2-3x.方程 f(x)-x+3=0 可化为 x2+4x-3=0,解得 x=-2-7(正根舍去).综上可知函数 g(x)的零点为 1,3,-2-7.【例3】已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x2-3x,求函数g(x)=f(x)-x+3的零点.反思归纳 (1)判断二次函数f(x)的零点个数也即判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实根个数,一般由判别式0,=0,0.联立23,1,yxxyax 消去 y,得 x2+(3-a)x+a=0,由0
12、,解得 a9;又 a0,所以 0a9.答案:(0,1)(9,+)考点四 易错辨析【例 4】已知关于 x 的方程 x2-(k+1)x+14k2+1=0,根据下列条件,分别求出 k 的值.(1)方程两实根的积为 5;解:(1)因为方程两实根的积为 5,所以2221211410,4115,4kkx xk k 32,k=4,所以,当 k=4 时,方程两实根的积为 5.(2)方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2.解:(2)由|x1|=x2得 当 x10 时,x1=x2,所以方程有两相等实数根,故=0 k=32;当 x10 k 32,故 k=-1 不合题意,舍去.综上可得,k=32时,方程的两实根 x
13、1,x2满足|x1|=x2.易错分析 根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意所求的字母应满足0.本例中易忽略此点,而只利用韦达定理,导致增根.所以在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式是否大于或等于零.因为韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根.迁移训练 已知函数 f(x)=2,24,x xmxmxm xm其中 m0.若存在实数 b,使得关于 x 的方程f(x)=b 有三个不同的根,则 m 的取值范围是 .解析:当xm时,f(x)=x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2;使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,只要4m-m23.答案:(3,+)点击进入课时训练
