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2016-2017高中数学人教A版必修2习题:第二章2.doc

1、第二章点、直线、平面之间的位置关系2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.2 平面与平面垂直的判定A级基础巩固一、选择题1一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角()A相等B互补C不确定 D相等或互补答案:C2对于直线m,n和平面,能得出的一个条件是()Amn,m,n Bmn,m,nCmn,n,m Dmn,m,n解析:因为mn,n,所以m.又m,所以.答案:C3如图所示,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,BAC90,则二面角BPAC的大小为()A90B60C45D30解析:因为PA平面ABC,BA平面ABC,CA平面ABC,所以BAPA,CAPA,因此,B

2、AC为二面角BPAC的平面角,又BAC90.答案:A4如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,ADAB,BCD45,BAD90,将ABD沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成几何体ABCD,则在几何体ABCD中,下列结论正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC解析:由已知得BAAD,CDBD,又平面ABD平面BCD,所以CD平面ABD,从而CDAB,故AB平面ADC.又AB平面ABC,所以平面ABC平面ADC.答案:D5已知m,l是直线,是平面,给出下列命题:若l垂直于平面内两条相交直线,则l;若l,则l平行于内所有直线;若m,

3、l,且lm,则;若l,且l,则.其中正确的是()A BC D解析:是线面垂直、面面垂直的判定定理,故均正确l,则l与内的直线可能平行,也可能异面,故不正确两个平面平行时,分别在两平面内存在相互垂直的直线,故不正确答案:B二、填空题6.如图所示,在正四面体PABC(棱长均相等)中,E是BC的中点则平面PAE与平面ABC的位置关系是_解析:因为PBPC,E是BC的中点,所以PEBC,同理AEBC,又AEPEE,所以BC平面PAE.又BC平面ABC,所以平面PAE平面ABC.答案:垂直7过正方形ABCD的顶点A作线段AP平面ABCD,且APAB,则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是_解析:可

4、将图形补成以AB、AP为棱的正方体,不难求出二面角的大小为45.答案:458.如图所示,在三棱锥SABC中,SBC,ABC都是等边三角形,且BC1,SA,则二面角SBCA的大小为_解析:如图所示,取BC的中点O,连接SO,AO.因为ABAC,O是BC的中点,所以AOBC,同理可证SOBC,所以SOA是二面角SBCA的平面角在AOB中,AOB90,ABO60,AB1,所以AO1sin 60.同理可求SO.又SA,所以SOA是等边三角形,所以SOA60,所以二面角SBCA的大小为60.答案:60三、解答题9.(2014北京卷)如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1

5、AC2,BC1,E是A1C1的中点(1)求证:平面ABE平面B1BCC1;(2)求三棱锥EABC的体积(1)证明:在三棱柱ABCA1B1C1中,BB1底面ABC,所以BB1AB.又ABBC,所以AB平面B1BCC1.因为AB平面ABE,所以平面ABE平面B1BCC1.(2)解:因为AA1AC2,BC1,ABBC,所以AB.所以三棱锥EABC的体积VSABCAA112.10如图所示,在三棱锥SABC中,侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形,BAC90,O为BC的中点(1)证明SO平面ABC;(2)求二面角ASCB的余弦值(1)证明:如图所示,由题设ABACSBSCSA.连接OA,ABC为等腰直角

6、三角形,所以OAOBOCSA,且AOBC.又SBC为等腰三角形,故SOBC,且SOSA.从而OA2SO2SA2,所以SOA为直角三边形,SOAO.又AOBCO,所以SO平面ABC.(2)解:取SC的中点M,连接AM,OM.由(1)知SOOC,SAAC,得OMSC,AMSC.所以OMA为二面角ASCB的平面角由AOBC,AOSO,SOBCO,得AO平面SBC.所以AOOM.又AMSA,AOSA,故sinAMO.所以二面角ASCB的余弦值为.B级能力提升1设m,n是不同的直线,是不同的平面,则下列命题中正确的是()A若m,n,mn,则B若m,n,mn,则C若m,n,mn,则D若m,n,mn,则解析

7、:由已知m,n,mn,图图如图可知与可能平行,也可能相交,故A,B错对于D,n,mn,则m,又m,则,所以错误综上可知C选项正确答案:C2矩形ABCD的两边AB3,AD4,PA平面ABCD,且PA,则二面角ABDP的度数为_解析:过点A作AEBD,连接PE,则AEP为所求角因为由AB3,AD4知BD5,又ABADBDAE,所以AE.所以tanAEP.所以AEP30.答案:303(2015课标全国卷节选)如图所示,四边形ABCD为菱形,ABC120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE2DF,AEEC.证明:平面AEC平面AFC.证明:连接BD,设BDACG,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB1.由ABC120,可得AGGC.由BE平面ABCD,ABBC,可知AEEC.又AEEC,所以EG,且EGAC.在RtEBG中,可得BE,故DF.在RtFDG中,可得FG.在直角梯形BDFE中,由BD2,BE,DF,可得EF.从而EG2FG2EF2,所以EGFG.又ACFGG,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.

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