1、考点过关检测（三十八）1(2019株洲检测)设函数f(x)exaxa，其中a为常数，f(x)的图象与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，且x1x2.(1)求a的取值范围；(2)设x0，证明：f(x0)0.解：(1)f(x)exa.若a0，则f(x)0，f(x)在R上单调递增，f(x)的图象与x轴最多有一个交点，与题意矛盾若a0，令f(x)0，得xln a，易得f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，则f(x)minf(ln a)a(2ln a)，又函数f(x)的图象与x轴有两个交点，则a(2ln a)0，解得ae2，又f(1)e0，f(ln a)0，当x时，f(
2、x)0，故a(e2，)满足题意综上，a的取值范围为(e2，)(2)证明：由(1)知1x1ln ax2，由题意可得解得a，所以f(x0)e，要证f(x0)0，只需证e.下面证明e，即证1.(*)令t(t0)，则(*)等价于et2t，令g(t)et2t，则g(t)et20，所以g(t)在(0，)上单调递增，所以g(t)e0200，所以e，而，所以ee，故e，即f(x0)0.2(202届高三吕州摸底)已知函数f(x)ax4ln x的两个极值点x1，x2满足x1x2，且ex23，其中e为自然对数的底数(1)求实数a的取值范围；(2)求f(x2)f(x1)的取值范围解：(1)f(x)a(x0)，由题意知
3、x1，x2为方程ax24xa0的两个根易知a0.则所以a0且0x11.令S(x)ax24xa，则由ex23可得解得a.故实数a的取值范围为.(2)f(x2)f(x1)ax24ln x2ax14ln x1，因为x1，所以f(x2)f(x1)ax24ln x2ax24ln 2a8ln x2.由(1)知a，代入得f(x2)f(x1)8ln x28ln x2.令tx，则t(e2,9)，于是可得h(t)4ln t，故h(t)0，所以h(t)在(e2,9)上单调递减，所以8ln 3f(x2)f(x1)，即f(x2)f(x1)的取值范围为.3(2019九江模拟)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函
4、数f(x)的单调区间；(2)当a1时，方程f(x)m(m2)有两个相异实根x1，x2，且x1x2，证明：x1x2.解：(1)由题意得，f(x)a(x0)当a0时，由x0，得1ax0，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上单调递增当a0时，由f(x)0，得0x，由f(x)0，得x，所以f(x)在上单调递增，在上单调递减 综上，当a0 时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由题意及(1)可知，方程f(x)m(m2)的两个相异实根x1，x2满足ln xxm0，且0x11x2，即ln x1x1mln x2x2m0.由题意，可知ln x1x1m2ln
5、22，又由(1)可知，f(x)ln xx在(1，)上单调递减，故x22.令g(x)ln xxm，则g(x)gx3ln xln 2.令h(t)t3ln tln 2(t2)，则h(t).当t2时，h(t)0，h(t)是减函数，所以h(t)h(2)2ln 20，所以g(x)g.因为x22且g(x1)g(x2)，所以h(x2)g(x2)gg(x1)g0，即g(x1)g.因为g(x)在区间(0,1)上单调递增，所以x1，故x1x2.4(2019厦门一模)已知函数f(x)x3x2logax(a0且a1)为定义域上的增函数，f(x)是f(x)的导函数，且f(x)的最小值小于等于0.(1)求a的值；(2)设函
6、数g(x)f(x)x34ln x6x，且g(x1)g(x2)0，求证：x1x22.解：(1)f(x)2x23x(x0)，由f(x)为增函数可得，f(x)0在(0，)上恒成立则由2x23x0可得2x33x2，令m(x)2x33x2，则m(x)6x26x，由m(x)0，得x1，由m(x)0，得0x1，所以m(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，在x1处取得极小值即最小值，所以m(x)minm(1)1，所以1，即1，当a1时，易得ae，所以1ae；当0a1时，则0，这与1矛盾，从而不能使f(x)0恒成立所以1ae.由f(x)min0，可得2x23x0，即2x33x2，由之前的讨论可知，
7、1，即1.当0a1时，1恒成立；当a1时，1ln a1ae.所以0a1或ae.综上，ae.(2)证明：g(x)x3x2ln xx34ln x6xx23ln x6x，因为g(x1)g(x2)0，所以x3ln x16x10，所以(xx)3ln(x1x2)6(x1x2)0，即(x1x2)22x1x2ln(x1x2)2(x1x2)0，即(x1x2)2x1x2ln(x1x2)2(x1x2)0，所以(x1x2)22(x1x2)ln(x1x2)x1x2.令x1x2t，g(t)ln tt，则g(t)1，易得g(t)在(0,1) 上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(t)g(1)1，所以(x1x2)22(x1x2)1，整理得(x1x2)24(x1x2)20，解得x1x22或 x1x22(舍去)，所以x1x22得证