1、第三节 直线与椭圆的位置关系(二)备考方向明确 方向比努力更重要 复习目标学法指导1.直线与椭圆的位置关系.2.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法.1.理解研究直线与椭圆位置关系的基本思路.2.理解几何法与代数法求解的基本步骤.知识链条完善 把散落的知识连起来 网络构建 一、最值问题 1.椭圆上的点到某一焦点距离的最大值为a+c,最小值为a-c,即椭圆长轴的端点到其中一个焦点的距离为a-c,到另一个焦点的距离为a+c.2.椭圆的焦点三角形面积的最大值为bc,即短轴端点与两焦点组成的焦点三角形面积最大.拓展空间 1.概念理解 椭圆中最值可结合几何图形理解,也可转化为函数求最值问题,解题
2、时应结合具体情况进行分析.2.与最值相关的结论 因椭圆方程22xa+22yb=1 在形式上可化为(xa)2+(yb)2=1,与三角函数中 sin2+cos2=1 在形式上相同,所以椭圆方程也可设为cos,sinxayb(其中为参数),从而使问题转化为三角函数问题.1.过椭圆22xa+22yb=1(ab0)的焦点且与长轴垂直的弦,称为椭圆的通径,其长为定值22ba.二、定值、定点问题 2.设 P 点是椭圆22xa+22yb=1(ab0)上异于长轴端点的任一点,F1,F2为焦点,记 F1PF2=,则|PF1|PF2|=221cosb,12PFFS=b2tan2.三、范围问题 1.椭圆22xa+22
3、yb=1(ab0)中,-axa,-byb.2.椭圆离心率为e,0e1.拓展空间 1.概念理解 椭圆中求范围问题,常借助椭圆上点的坐标的范围或离心率的范围进行求解,解题时常构建不等式或不等式组,从而达到确定范围的目的.椭圆中求范围问题也可化为函数求值域问题.1.直线 y=b(0bb0)的右焦点为 F,椭圆 C 上的两点 A,B关于原点对称,且满足 FA FB=0,|FB|FA|3|FB|,则椭圆 C 的离心率的取值范围为()B(A)22,1)(B)22,3-1(C)3-1,1)(D)22,32 解析:如图所示,作出椭圆左焦点 F,由椭圆的对称性可知,四边形 AFBF为平行四边形,又 FA FB=
4、0,即 FAFB,故平行四边形 AFBF为矩形,所以|AB|=|FF|=2c.设ABF=(0b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰好有 6 个不同的点 P,使得F1F2P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是()D (A)(3,23)(B)(12,1)(C)(23,1)(D)(3,12)(12,1)解析:当点 P 位于椭圆的两个短轴端点时,F1F2P 为等腰三角形,此时有 2 个.若点 P 不在短轴的端点时,要使F1F2P 为等腰三角形,则有|PF1|=|F1F2|=2c 或|PF2|=|F1F2|=2c.不妨设|PF1|=|F1F2|=2c.此时|PF2|=2a-2
5、c.所以有|PF1|+|F1F2|PF2|,即 2c+2c2a-2c,所以3ca,即 ca3,又当点 P 不在短轴上,所以|PF1|BF1|,即 2ca,所以 ca 12.所以椭圆的离心率满足3 e1 且 e 12,所以选 D.5.已知点 F1,F2分别是椭圆 x2+2y2=2 的左、右焦点,点 P 是该椭圆上的一个动点,则|1PF+2PF|的最小值为()B (A)1(B)2(C)3(D)4 解析:设 P(x,y),则 x2+2y2=2,易知 a=2,b=1,c=1,所以 F1(-1,0),F2(1,0),所以1PF=(-1-x,-y),2PF=(1-x,-y),所以1PF+2PF=(-2x,
6、-2y),所以|1PF+2PF|=22(2)(2)xy=222y.因为 y21,所以|1PF+2PF|的最小值为 2.故选 B.6.已知点 A 在椭圆225x+29y=1 上,点 P 满足 AP=(-1)OA (R)(O 是坐标原点),且 OA OP=72,则线段 OP 在 x 轴上的投影长度的最大值为 .解析:因为 AP=(-1)OA,所以 OP=OA,即 O,A,P 三点共线,因为OA OP=72,所以|OA|OP|=|OA|2=72,设 A(x,y),OA 与 x 轴正方向的夹角为,线段 OP 在 x轴上的投影长度为|OP|cos|=|x|=272 xOA=2272 xxy=721692
7、5 xx72169225=15,当且仅当|x|=154时取等号.答案:15 高频考点突破 在训练中掌握方法 考点一 最值问题【例 1】P,Q,M,N 四点都在椭圆 x2+22y=1 上,F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点,已知 PF与 PQ 共线,MF 与 MN 共线,且 PF MF=0,求四边形 PMQN 的面积的最小值和最 大值.解:由题意知MN和PQ是椭圆的两条弦,相交于焦点F(0,1),且PQMN,直线PQ,NM中至少有一条存在斜率,不妨设PQ的斜率为k,又PQ过点F(0,1),故PQ的方程为y=kx+1,设P(x1,y1),Q(x2,y2),由221,1,2ykxyx得(2+k2)x
8、2+2kx-1=0,则 x1=22222kkk,x2=22222kkk,从|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=22228(1)(2)kk,即|PQ|=222 2(1)2kk,当 k0 时,MN 的斜率为-1k,推得|MN|=2212 2 1()12()kk ,故四边形面积 S=12|PQ|MN|=222214(1)(1)1(2)(2)kkkk=222214(2)252kkkk,令 u=k2+21k得 S=4(2)52uu=2(1-152u).因 u=k2+21k2,当 k=1 时,u=2,S=169,且 S 是以 u 为自变量的增函数,所以 169Sb0),离心率 e=2 23,且
9、过点(22,13).(1)求椭圆方程;解:(2)不妨设 AB 的方程 y=kx+1(k0),则 AC 的方程为 y=-1kx+1,由221,19ykxxy得(1+9k2)x2+18kx=0 xB=21819kk,同理可得 xC=2189kk,从而有|AB|=21k2189kk,|AC|=2211819kkk,于是 SABC=12|AB|AC|=162222(1)(19)(9)kkkk=16222119()82kkkk.令 t=k+1k2,有 SABC=2162964tt=162649tt 278,当且仅当 t=38时,ABC 面积取得最大值 278.(2)RtABC以A(0,b)为直角顶点,边
10、AB,AC与椭圆交于B,C两点,求ABC面积的最大值.【例 2】已知椭圆24x+22y=1 上的两个动点 P,Q 及定点 M(1,62),F 是椭圆的左焦点,且|PF|,|MF|,|QF|成等差数列.求证:线段 PQ 的垂直平分线恒过一个定点 A.考点二 直线与椭圆的定点、定值 证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意得a=2,b=2,c=2,e=22.由椭圆的焦半径公式,得|PF|=2+22 x1,|QF|=2+22 x2,|MF|=2+22.因为 2|MF|=|PF|+|QF|,所以 2(2+22)=4+22 (x1+x2),所以 x1+x2=2.当 x1x2时,由2211222
11、224,24,xyxy得1212yyxx=-12 1212xxyy.设线段 PQ 的中点 N(1,n),所以 kPQ=1212yyxx=-12n,所以线段 PQ 的垂直平分线方程为y-n=2n(x-1),所以(2x-1)n-y=0,该直线恒过一个定点 A(12,0).当 x1=x2时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A(12,0).综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A(12,0).反思归纳 本题是圆锥曲线的综合问题,涉及等差数列、定点问题.迁移训练 已知椭圆 E:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为 12,且过点 P(1,32).直线 l:y=kx+m 交椭圆 E 于不同的两点 A,
12、B,设线段 AB 的中点为 M.(1)求椭圆E的方程;解:(1)由于椭圆的离心率为 12,则 a2b2c2=431,故设椭圆 E:24x+23y=(0),又椭圆过点 P(1,32),从而=14+34=1,从而椭圆 E 的方程为24x+23y=1.解:(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程22,143ykxmxy得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,则22122212248(43)0,8,43412,43kmkmxxkmxxk 从而 y1+y2=k(x1+x2)+2m=2643mk,(2)当AOB 的面积为 32(其中 O 为坐标原点)且 4k2-4m2+30 时,试
13、问在坐标平面上是否存在两个定点 C,D,使得当直线 l 运动时,|MC|+|MD|为定值?若存在,求出点 C,D 的坐标和定值;若不存在,请说明理由.从而点 M 的坐标为(2443kmk,2343mk),由于|AB|=21k|x1-x2|=21k 22248(43)43kmk,点 O 到直线 l 的距离为 d=21mk,则AOB 的面积 SAOB=12|AB|d=23 2222(43)43mkmk.由题得 SAOB=23 2222(43)43mkmk=32,从而化简得 3(4k2+3)2-16m2(4k2+3)+16m4=0,故(4k2+3)-4m23(4k2-3)-4m2=0,即 m2=24
14、34k 或m2=23(43)4k.又由于 4k2-4m2+30,从而 m2=23(43)4k.当 m2=23(43)4k 时,由于 xM=2443kmk,yM=2343mk,从而(2Mx)2+(3My)2=(2243kmk)2+(2343mk)2=2222(43)(43)mkk=34,即点 M 在椭圆23x+294y=1 上.由椭圆的定义得,存在点 C(-32,0),D(32,0)或 D(-32,0),C(32,0),使得|MC|+|MD|为定值 23.思路点拨:(1)由圆 G 过椭圆的右焦点和上顶点,可分别得出 c,b 的值;(2)将直线 l 的方程代入椭圆方程得到一元二次方程,设 C(x1
15、,y1),D(x2,y2),可求得 x1+x2,x1x2,由点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的内部,得 FC FD 0 可解之.考点三 范围问题【例 3】已知圆 G:x2+y2-2x-2 y=0 经过椭圆22xa+22yb=1(ab0)的右焦点 F 及上顶点 B.过椭圆外一点 M(m,0)(ma)作倾斜角为 56 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点.(1)求椭圆的方程;(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部,求m的取值范围.解:(1)因为圆 G:x2+y2-2x-2 y=0 经过点 F,B,所以 F(2,0),B(0,2),所以 c=2,b=2,所以 a2=b2+c2=6,故椭
16、圆的方程为26x+22y=1.(2)由题意知直线 l 的方程为 y=-33 (x-m),m6,由221,623(),3xyyxm 消去 y,得 2x2-2mx+(m2-6)=0.由=4m2-8(m2-6)0,解得-23 m6,所以6 m23.设 C(x1,y1),D(x2,y2),则 x1+x2=m,x1x2=262m,所以 y1y2=-33(x1-m)-33(x2-m)=13x1x2-3m(x1+x2)+23m.因为 FC=(x1-2,y1),FD=(x2-2,y2),所以 FC FD=(x1-2)(x2-2)+y1y2=43x1x2-63m (x1+x2)+23m+4=2(3)3m m.因
17、为点 F 在圆 E 的内部,所以 FC FD 0,即 2(3)3m m 0,解得 0m3.又6 m23,所以6 mb0)的左焦点为 F,离心率为 12,点 P(1,32)在椭圆上.过点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与AB 垂直的直线交于点 N,直线 AN 与 x 轴交于点 M.(1)求椭圆C的方程;解:(1)由题意知:221,2191,4caab 又 a2=b2+c2,解得2,3,ab 所以椭圆方程 C:24x+23y=1.(2)求点M的横坐标的取值范围.解:(2)左焦点 F(-1,0),设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB:x=
18、my-1(m0),则直线FN:x=-1my-1.联立方程组223412,1,xyxmy (3m2+4)y2-6my-9=0,y1+y2=2634mm,y1y2=-2934m,把 y=y2代入 x=-1my-1 得 x=-1my2-1,所以 N(-2ym-1,y2).设 M(a,0),又 A,M,N 三点共线,所以11yxa=221yyam,a=-1211212y yyx ymyy=-1211212(1)y yymyymyy=-121212y ymy ymyy-1 所以 a+1=-12121()my ymyy,所以|a+1|=12121()my ymyy=2222193412134mmmmm=3
19、4211m 34,所以 a+1 34,即 a-14.所以 M 的横坐标的取值范围为(-,-74)(-14,+).解题规范夯实 在平凡的事情上精益求精 直线与椭圆相关的定点问题【例题】已知椭圆 L:22xa+22yb=1(ab0)的离心率为22,过点(1,22),与 x 轴不重合的直线 l 过定点 T(m,0)(m 为大于 a 的常数),且与椭圆 L 交于两点 A,B(可以重合),点 C 为点 A 关于 x 轴的对称点.(1)求椭圆L的方程;(1)解:由题意得222222,2111,2,caababc 解得222,1,ab 所以椭圆 L 的方程为22x+y2=1.(2)证明:由对称性可知若直线
20、BC 过定点,则定点必在 x 轴上.设直线 l 的方程为 x=ty+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x1,-y1),代入22x+y2=1,可得(t2+2)y2+2tmy+m2-2=0,则2212221228(2)0,(*)2,22,2tmtmyytmy yt 设直线 BC 的方程为 y+y1=2121yyxx(x-x1),令 y=0,则 x=122112x yx yyy=12122ty yyy+m=2m,所以直线 BC 过定点 M(2m,0).(2)求证:直线BC过定点M,并求出定点M的坐标;解:记OBC 的面积为 S,则 S=12|OM|y2-(-y1)|=1m222tmt=22
21、tt,由(*)可知|t|22m (m2),(i)若22m 2,即 m2 时,Smax=222222mm;(ii)若2 4,|y1-y2|2=(y1+y2)2-4y1y2=2221615(4)mm=21649tt=-49(21t-1649 1t),因为1t=849(0,14),所以当1t=849时,212 maxyy=6449,所以当 m=344时,OMN 的面积最大值 Smax=12 74 87=1.(2)求OMN的面积的最大值.4.(1)在RtABC中,AB=AC=1,如果一个椭圆通过A,B两点,它的一个焦点为点C,另一个焦点在AB上,求这个椭圆的离心率;解:(1)设椭圆的焦半距为 c,另一
22、个焦点为 F,如图所示.因为 AB=AC=1,ABC 为直角三角形,所以 1+1+2=4a,则 a=224.设|FA|=x,所以12,122,xaxa 解得 x=22,所以12+(22)2=4c2,所以 c=64,e=ca=6-3.(2)如图,焦点在 x 轴上的椭圆24x+22yb=1 的离心率 e=12,F,A 分别是椭圆的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点,求 PF PA 的最大值和最小值.解:(2)设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2,因为 e=ca=12,所以 c=1,所以 b2=a2-c2=3.故椭圆方程为24x+23y=1.所以-2x02,-3 y03.又 F(-1,
23、0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-x0,-y0)所以 PF PA=20 x-x0-2+20y=2014 x-x0+1=14(x0-2)2.当 x0=2 时,PF PA 取得最小值 0,当 x0=-2 时,PF PA 取得最大值 4.类型二 定点、定值问题 5.如图,已知椭圆22xa+22yb=1(ab0)的离心率为22,以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1,F2为顶点的三角形的周长为 4(2+1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点,直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A,B 和 C,D.(1)解:由题意知,椭圆的离心率为
24、 ca=22,得 a=2 c,又 2a+2c=4(2+1),所以可解得a=22,c=2,所以 b2=a2-c2=4,所以椭圆的标准方程为28x+24y=1;所以椭圆的焦点坐标为(2,0),因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为24x-24y=1.(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,证明k1k2=1;(2)证明:设 P(x0,y0),则 k1=002yx,k2=002yx,所以 k1k2=20204yx=1.(3)设=1AB+1CD,求证 为定值.(3)证明:设直线 AB 方程为 y=k(x+2),则直线 CD 方程为
25、 y=k(x-2),由22(2),184yk xxy 得(2k2+1)x2+8k2x+8k2-8=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=-22821kk,x1x2=228821kk,|AB|=21k|x1-x2|=224 2(1)21kk,同理|CD|=224 2(1)1kk,=1AB+1CD=22214 2(1)kk+2224 2(1)kk=3 28.即为定值.类型三 范围问题(1)解:设椭圆 C 的方程为22xa+22yb=1(ab0),因为长轴长是短轴长的2 倍,所以椭圆方程为222xb+22yb=1.因为 M(2,2)在椭圆 C 上,所以2222b+22(2)b=1,
26、所以 b2=4,所以椭圆 C的方程为28x+24y=1.6.已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的2 倍,且经过点M(2,2).(1)求椭圆C的方程;(2)过圆 O:x2+y2=83上任意一点作圆的一条切线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点.(2)证明:当切线 l 的斜率不存在时,切线方程为 x=2 63(或 x=-2 63),与椭圆28x+24y=1 的两个交点为(2 63,2 63)(或-2 63,2 63),满足OA OB,即 OAOB;当切线l的斜率存在时,可设l的方程为y=kx+m,将l方程与椭圆方程联立得22,1,84ykxmxy 消去 y 得 x2+2(k
27、x+m)2=8.求证:OAOB;即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0,则=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8k2-m2+4)0,即 8k2-m2+40.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2412kmk,x1x2=222812mk,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=222(28)12kmk-222412k mk+m2=222812mkk.因为 l 与圆 x2+y2=83相切,所以21mk=83,所以 3m2=8k2+8,所以 OA OB=x1x2+y1y2=22238812mkk=0,所以 OAOB
28、.综上,OAOB.解:当 l 的斜率存在时,由可知(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=224()12kmk-4222812mk=22228(84)(12)kmk,|AB|=221212()()xxyy=2212(1)()kxx=222228(84)(1)(12)kmkk=4242324513441kkkk=24232(1)3441kkk.求|AB|的取值范围.当 k0 时,|AB|=22321(1)1344kk,因为 4k2+21k+48,所以 0221144kk 18,所以 323 323(1+221144kk)12,所以 4 63b0)与双曲线23x-y2=1 的离心率互为倒数
29、,且直线 x-y-2=0经过椭圆的右顶点.解:(1)因为双曲线的离心率为 2 33,所以椭圆的离心率 e=ca=32.又因为直线 x-y-2=0经过椭圆的右顶点,所以椭圆的右顶点为点(2,0),即 a=2,c=3,b=1,所以椭圆方程为24x+y2=1.(1)求椭圆C的标准方程;解:(2)由题意可设直线的方程为 y=kx+m(k0,m0),M(x1,y1),N(x2,y2).联立22,1,4ykxmxy 消去 y,并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,则 x1+x2=-2814kmk,x1x2=224(1)14mk,于是 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2
30、+km(x1+x2)+m2.(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求OMN面积的取值范围.又直线 OM,MN,ON 的斜率依次成等比数列,故11yx 22yx=22121212()k x xkm xxmx x=k2,化简解得 k=12.又由=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)0,得 0m2b0)的离心率为22,其左、右焦点分别是 F1,F2,过点 F1的直线 l 交椭圆 C 于 E、G 两点,且EGF2的周长为 42.(1)求椭圆C的方程;解:(2)由题意知直线 AB 的斜率存在,即 t0.设直线 AB
31、的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由22(2),1,2yk xxy得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.由=64k4-4(2k2+1)(8k2-2)0,得 k2 12.x1+x2=22812kk,x1x2=228212kk.因为 OA+OB=t OP,所以(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),x=12xxt=228(12)ktk,y=12yyt=1t k(x1+x2)-4k=24(12)ktk.(2)若过点 M(2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A,B,设 P 为椭圆上一点,且满足 OA+OB=t OP (O 为坐标原点),当|PA
32、-PB|2 53时,求实数 t 的取值范围.因为点 P 在椭圆 C 上,所以2222(8)(12)ktk+2222(4)(12)ktk=2,所以 16k2=t2(1+2k2).因为|PA-PB|2 53,所以212k|x1-x2|2 53,所以(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2 209,所以(1+k2)42264(12)kk-4228212kk0,所以 k2 14.所以 14k2 12.因为 16k2=t2(1+2k2),所以 t2=221612kk=8-2812k,又 321+2k22,所以 83t2=8-2812k4,所以-2t-2 63或 2 63t0,所以 m23,即 k2 13
33、,解得 k33 或 k3,求实数 k 的取值范围;解:(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2623kmk,x1x2=223623mk,设直线 OA,OB 的斜率为 k1,k2,因为直线 OA,AB,OB 的斜率成等比数列,所以 k1k2=1212y yx x=k2,即1212()()kxm kxmx x=k2,化简,得 2+3k2=6k2,即 k2=23.(2)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点),求OAB的面积的 范围.因为|AB|=21k|x1-x2|=253(6)32 m,原点 O 到直线 AB 的距离 h=21mk=35|m|,所以 SOAB=12|AB|h=662233(6)22mm66 2233(6)222mm=62,当 m=2 时,直线 OA 或 OB 的斜率不存在,等号取不到,所以 S(0,62).点击进入课时训练