1、课时作业54双曲线一、选择题1已知双曲线1，则其焦距为(D)AB2CD2解析：由双曲线方程知c29413，c，焦距为2，故选D2(2019北京卷)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a(D)AB4C2D解析：解法1：由双曲线方程可知b21，所以c，所以e，解得a，故选D解法2：由e，e21，b21，得51，得a，故选D3已知双曲线1(m0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为(D)A1B1Cx21D1解析：由题意，得2，解得m2，双曲线的标准方程为1，故选D4(2020合肥市教学质量检测)已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线方程为y2x，且经过点P(，4)，则双曲线的方程是(C)A
2、1B1C1Dx21解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y2x，所以2.又双曲线过点P(，4)，所以1.联立，解得a，b2，所以双曲线的方程为1，故选C5已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2y21上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是(D)A直线B圆C椭圆D双曲线解析：因为N为线段F1M的中点，O为线段F1F2的中点，所以|F2M|2|ON|2.因为P在线段F1M的中垂线上，所以|PF1|PM|，所以|PF1|PF2|F2M|2|ON|20，b0)，将点(2,1)代入可得1，由，得，故所求双曲线的方程为1.故选A8已知双曲
3、线1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则APF周长l的最小值为(B)A4B4(1)C2()D3解析：设双曲线的左焦点为F.双曲线的右焦点为F(，0)，APF的周长l|AF|AP|PF|AF|AP|2a|PF|，要使APF周长最小，只需|AP|PF|最小，如图，当A，P，F三点共线时|AP|PF|取得最小值，此时l2|AF|2a4(1)，故选B9(2019天津卷)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(D)ABC2D解析：由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x1，双
4、曲线的渐近线方程为yx.将x1代入yx，得y，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|4|OF|可得4，即b2a，b24a2，故双曲线的离心率e.10(2020广东省七校联合体联考)若双曲线C：1(a0，b0)的中心为O，过C的右顶点A1和右焦点F分别作垂直于x轴的直线，交C的渐近线于A，B两点和M，N两点，若OAB与OMN的面积比为14，则C的渐近线方程为(B)AyxByxCy2xDy3x解析：如图，因为ABMN，所以OABOMN，又OAB与OMN的面积比为14，所以，则ac，所以b2c2a2c2，则bc，所以双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为yxx，故选B11(2020石家庄教学质量
5、检测)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A为双曲线右支上一点，线段AF1交左支于点B，若AF2BF2，且|BF1|AF2|，则该双曲线的离心率为(B)ABCD3解析：设|AF2|x，点A在双曲线的右支上，|AF1|2ax.|BF1|，|BF1|，|AB|2a.点B在双曲线的左支上，|BF2|2a.AF2BF2，(2a)2(2a)2x2，化简得x2a，|AF1|4a，|AB|a，cosBAF2.在AF1F2中，由余弦定理得|AF1|2|AF2|22|AF1|AF2|cosBAF2|F1F2|2，即16a24a224a2a4c2，即13a25c2，双曲线的离心率为，故选B1
6、2(2020贵阳市监测考试)已知点F是双曲线C：1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是(B)A(1,2)B(2，)C(1,3D3，)解析：根据双曲线的对称性，可知AEF可使ABE为钝角三角形，即acb2a2acc22a2ace2e20(e1)，所以e2，选B二、填空题13(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x21(b0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是yx.解析：因为双曲线x21(b0)经过点(3,4)，所以91，得b，所以该双曲线的渐近线方程是ybxx.14
7、(2020石家庄模拟)已知双曲线C：x24y21，过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点，则直线l的方程为y(x2)解析：双曲线C的方程为x24y21，a1，b，渐近线方程为yx.P(2,0)在双曲线内部且直线l与双曲线有唯一公共点，直线l与双曲线的渐近线平行，直线l的斜率为，直线l的方程为y(x2)15(2020昆明市诊断测试)已知点P(1，)在双曲线C：1(a0，b0)的渐近线上，F为C的右焦点，O为原点，若FPO90，则C的方程为1.解析：设双曲线的一条渐近线方程为yx，由渐近线过点P(1，)，得，且|OP|2.焦点到渐近线的距离是b，即|PF|b，在RtOPF中，|OF|2|OP|2
8、|PF|2，即c222b2.又c2a2b2，所以a2，b2，所以双曲线C的方程为1.16(2020济南市质量评估)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作圆锥曲线论中记截了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面(与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线的一部分，且双曲线的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线的离心率为(A)ABCD2解析：设与平面平行的平面为，以AC，BD的交点在平面内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面内的射影
9、为x轴，在平面内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系根据题意可设双曲线：1(a0，b0)由题意可得双曲线的渐近线方程为yx，即，所以离心率e.17(2020济南市模拟)已知一族双曲线En：x2y2(nN*，且n2 019)，设直线x2与En在第一象限内的交点为An，点An在En的两条渐近线上的射影分别为Bn，Cn.记AnBnCn的面积为an，则a1a2a3a2 019.解析：因为双曲线的方程为x2y2(nN*，且n2 019)，所以其渐近线方程为yx，设点An(2，yn)，则4y(nN*，且n2 019)记An(2，yn)到两条渐近线的距离分别为d1，d2，则SAnBnCnd1d2，故a
10、n，因此an为等差数列，故a1a2a3a2 0192 019.18已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，渐近线方程是yx，点A(0，b)，且AF1F2的面积为6.(1)求双曲线C的标准方程；(2)直线l：ykxm(k0，m0)与双曲线C交于不同的两点P，Q，若|AP|AQ|，求实数m的取值范围解：(1)由题意得，SAF1F22cb6，a2b2c2，由求得a25，b24，双曲线C的标准方程是1.(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点为D(x0，y0)将ykxm与1联立，消去y，整理得(45k2)x210kmx5m2200，由45k20及0，得x1x2，x1x2，x0，y0kx0m.由|AP|AQ|知，ADPQ，kAD，化简得10k289m，将代入，得m0.由10k289m0，得m.综上，实数m的取值范围是m或0m.
