1、第53讲：圆锥曲线常见题型解法【考纲要求】（1）圆锥曲线 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 了解圆锥曲线的简单应用 理解数形结合的思想（2）曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系 【方法点评】求圆锥曲线的方程，一般利用待定系数法，先定位，后定量。【变式演练1】 双曲线的中心在坐标原点O,焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交于双曲线P，Q两点，若，求双曲线方程。题型二圆锥曲线的几何性质解题方法利用圆锥曲线的几何性质解答。例2 已
2、知椭圆，A是椭圆长轴的一个端点，B是椭圆短轴的一个端点，F为椭圆的一个焦点若ABBF，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.解： 因为ABBF，所以kABkBF1，即1，即b2ac，所以a2c2ac，两边同除以a2，得e2e10，所以e(舍负)，故选B.【方法点评】求值一般利用方程的思想解答，所以本题的关键就是找到关于的方程。【变式演练2】已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于A，B两点若恰好将线段AB三等分，则()A B13 C D2题型三圆锥曲线的最值问题解题方法一般利用数形结合和函数的方法解答。例3 已知+4(y-1)2=4，求：(1)+y2的最大值与
3、最小值;(2)x+y的最大值与最小值（2）分析：显然采用(1)中方法行不通如果令u=x+y，则将此代入+4(y-1)2=4中得关于y的一元二次方程，借助于判别式可求得最值令x+y=u， 则有x=u-y,代入+4(y-1)2=4得：5-(2u+8)y+=0又0y2，(由(1)可知) -(2u+8)2-450（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值。题型四圆锥曲线的范围问题解题方法一般利用函数、基本不等式、数形结合等解答。例4 已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量。（
4、1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；【方法点评】由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用，因此，解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关键是：正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系，把有关向量的问题转化为解析几何问题.【变式演练4】设、分别是椭圆的左、右焦点。（）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。题型五直线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式、韦达定理、
5、弦长公式、点差法等解答。例5已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。在一点E(,0)，使得是等边三角形，若存在，求出；若不存在，请说明理由。题型六圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题解题方法一般利用判别式和数形结合解答。例6 已知曲线及有公共点,求实数a的取值范围可得：=2(1-a)y+-4=0 =4(1-a)2-4(a2-4)0， .如图247，可知：椭圆中心,半轴长,抛物线顶点为,所以当圆锥曲线在下方相切或相交时,.综上所述,当时,
6、曲线与相交.【变式演练6】设椭圆，抛物线。（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。题型七圆锥曲线的定点和定值问题解题方法过定点的问题，一般先求曲线的方程，再证明曲线过定点；定值的问题，就是求值问题，直接求解就可以了。例7 在直角坐标系中，点M到点的距离之和是4，点M的轨迹是C与x轴的负半轴交于点A，不过点A的直线与轨迹C交于不同的两点P和Q. （I）求轨迹C的方程； （II）当时，求k与b的关系，并证明直线过定点.解：（1）的距离之和是4，的轨迹C是长轴为4，焦点在x轴上焦中为
7、的椭圆，其方程为3分 （2）将，代入曲线C的方程，整理得 5分因为直线与曲线C交于不同的两点P和Q，所以设，则 7分即经检验，都符合条件当b=2k时，直线的方程为显然，此时直线经过定点（-2，0）点.即直线经过点A，与题意不符.当时，直线的方程为显然，此时直线经过定点点，且不过点A.综上，k与b的关系是：且直线经过定点点【方法点评】证明曲线过定点，一般先求曲线的方程，再证明它过定点。【变式演练7】在抛物线x24y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；(2)为定值.又点在抛物线上，则整理得为所求轨迹方程【方法点评】点
8、P之所以在动，就是因为点B在动，所以点P是被动点，点B是主动点，这种情景，应该利用代入法求轨迹方程。【变式演练8】已知ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程题型九存在性问题解题方法一般先假设存在，再探求，最后检验。例9 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为，且经过点，过点P（2，1）的直线与椭圆C在第一象限相切于点M . （1）求椭圆C的方程； （2）求直线的方程以及点M的坐标； （3）是否存过点P的直线与椭圆C相交于不同的两点A、B，满足？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由.解：（）设椭圆C的方程为，由题意得解得，故椭圆C的方程为.4分 （）因为过点P（2
9、，1）的直线l与椭圆在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可调直线l的议程为由得. 因为直线与椭圆相切，所以 整理，得解得 所以直线l方程为将代入式，可以解得M点横坐标为1，故切点M坐标为9分 （）若存在直线l1满足条件，的方程为，代入椭圆C的方程得因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，设A，B两点的坐标分别为所以所以，解得 因为A，B为不同的两点，所以.于是存在直线1满足条件，其方程为1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：（a,b0）的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若|MF2|=|F
10、1F2|,则C的离心率是A. B。 C. D. ，所以PQ的垂直平分线方程为：，令，得，所以，所以，即，所以。故选B2.【2012高考真题新课标理8】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ） 3.【2012高考真题新课标理4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ） 【解析】因为是底角为的等腰三角形，则有,，因为，所以,，所以，即，所以，即，所以椭圆的离心率为，选C.4.【2012高考真题福建理8】已知双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. C.3 D.5【解析】由
11、抛物线方程易知其焦点坐标为，又根据双曲线的几何性质可知，所以，从而可得渐进线方程为，即，所以，故选5.【2012高考真题全国卷理8】已知F1、F2为双曲线C：x-y=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cosF1PF2=(A) （B） (C) (D)【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根据余弦定理得,选C.6.【2012高考真题重庆理14】过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= .7.【2012高考真题辽宁理20】(本小题满分12分) 如图，椭圆
12、：，a，b为常数)，动圆，。点分别为的左，右顶点，与相交于A，B，C，D四点。 ()求直线与直线交点M的轨迹方程; ()设动圆与相交于四点，其中，。若矩形与矩形的面积相等，证明：为定值。（2）证明：设，由矩形与矩形的面积相等，得，因为点均在椭圆上，所以由，知，所以。从而，因而为定值8.【2012高考真题上海理22】（4+6+6=16分）在平面直角坐标系中，已知双曲线：（1）过的左顶点引的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线交于、两点，若与圆相切，求证：；（3）设椭圆：，若、分别是、上的动点，且，求证：到直线的距离是定值. 由，得. 设P(x1
13、, y1)、Q(x2, y2)，则.（lb ylfx） 又2，所以 ， 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. 16分9、（2012高考真题山东理21）（本小题满分13分）在平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，是抛物线上位于第一象限内的任意一点，过三点的圆的圆心为，点到抛物线的准线的距离为来源:高&考%资(源#网 wxc（）求抛物线的方程；（）是否存在点，使得直线与抛物线相切于点若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；（）若点的横坐标为，直线与抛物线有两个不同的交点，与圆有两个不同的交点，求当时，的最小值又取中点，由垂径定理知，所以，所以存在，.（）
14、依题，圆心，圆的半径， 圆心到直线的距离为，所以，.又联立，设，则有，. 所以，.于是， 记，所以在，上单增，所以当，取得最小值，所以当时，取得最小值.【反馈训练】1、求下列抛物线的方程（1）顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上点（3，a）到焦点的距离是5；（2）顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线所得的弦长为。3、过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点 ，求面积的最大值 。4、椭圆的焦点为FF，点P为其上的动点，当FP F为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。5、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。6、如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、（
15、）求椭圆和双曲线的标准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.7、已知常数m 0 ，向量a = (0, 1)，向量b = (m, 0)，经过点A(m, 0)，以为方向向量的直线与经过点B(- m, 0)，以b-为方向向量的直线交于点P，其中R(1) 求点P的轨迹E；(2) 若，F(4, 0)，问是否存在实数k使得以Q(k, 0)为圆心，|QF|为半径的圆与轨迹E交于M、N两点，并且|MF| + |NF| =若存在求出k的值；若不存在，试说明理由8、已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F(0，)，且长轴长与短轴长的比是1.(1)求
16、椭圆C的方程；(2)若椭圆C上在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：直线AB的斜率为定值；(3)在(2)的条件下，求PAB面积的最大值9 已知双曲线=1(m0,n0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线于点P、Q (1)求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；(2)当mn时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率 【变式演练详细解析】【变式演练1详细解析】设所求的双曲线方程为,右焦点为F(c,0)由题设过F点的直线l方程为： 整理消去y 化为：()现分析的取值若=0，则有这显然与已知直线l 的斜率相等而已知直
17、线l 平行于双曲线的渐近线，则直线l 与双曲线只能交于一点与题设矛盾， 因此若（）方程两个根为 则有：则：其中：【变式演练3详细解析】解：（）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。（）设，。（1）当轴时，。（2）当与轴不垂直时，设直线的方程为。由已知，得。把代入椭圆方程，整理得，。当且仅当，即时等号成立。当时，综上所述。当最大时，面积取最大值。（以下同解法一）（）显然直线不满足题设条件，可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或即 由韦达定理，得：。则线段AB的中点为。线段的垂直平分线方程为：令y=0,得，则为正三角形，到直线AB的距离d为。解得满足式此时。【变式演练6详细
18、解析】故，得重心坐标. 由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。【变式演练7详细解析】(1)抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1 A、B到准线的距离分别d1y1+1，d2=y2+1(如图246所示)【变式演练8详细解析】设，由重心公式，得又在抛物线上，将，代入，得，即所求曲线方程是【变式演练9详细解析】（）将直线依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故（）设A、B两点的坐标分别为、，则由式得来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM解得可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.2、【解析】由椭圆方程 ，得， 设 是关于l对称点 ，
19、 可求出 坐标为(-9,6) ， 过的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短。由 ,得，, 所求椭圆方程为 .3、【解析】解 ： 椭圆焦点 ，设过焦点(0,1) ，直线方程为y=kx+1 与联立 ，消去y, 得 ， 其中两根为A,B横坐标 。 将三角形AOB看作与组合而成 ，|OF| 是公共边 ，它们在公共边上的高长为即当直线为 y=1时 , 得到的面积最大值为 。4、【解析】由椭圆的知焦点为F1（,0）F2（,0）.设椭圆上的点可设为P（3cos,2sin）.为钝角来源:高&考%资(源#网 wxc =9cos254sin2=5 cos21
20、b0)由题意，得解得a24，b22.所以椭圆C的方程为1.(2)由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k.又由(1)知，P(1，)，则直线PB的方程为yk(x1)所以kAB为定值(3)由(2)，设直线AB的方程为yxm.由得4x22mxm240.由(2m)216(m24)0，得m28.此时xAxB，xAxB.点P到直线AB的距离d，|AB| .SPABd|AB| 当且仅当m28m2即m24时，Smax.9 【解析】 (1)设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,y1),又有A1(m,0),A2(m,0),则A1P的方程为 y=A2Q的方程为 y= 得 y2= 又因点P在双曲线上，故代入并整理得=1 此即为M的轨迹方程 (2)当mn时，M的轨迹方程是椭圆
