1、7.2.2同角三角函数关系学 习 目 标核 心 素 养1理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，tan (重点)2能正确运用上述关系式进行化简、求值和证明(重点、难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养结合如图所示的单位圆，设点P(x，y)为单位圆与角的终边的交点，则x，y满足什么关系？设角的终边与单位圆交于点P，则点P的坐标是什么？那么sin 与cos 满足什么关系？tan 与sin ，cos 之间满足什么关系？同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos2 1(2)商数关系：tan 思考：sin2cos21恒成立吗？提示不一定1思考辨析(正确的打“”，
2、错误的打“”)(1)对任意角，sin23cos231都成立()(2)对任意角，tan 都成立()(3)sin 是cos 的充分条件()提示(1)符合同角三角函数的关系(2)等式tan 的条件是即2k，kZ(3)因为的范围不明确，故cos ，由sin 不能推出cos 答案(1)(2)(3)2已知是第二象限角，且cos ，则tan 2是第二象限角，sin 0又sin2cos21，sin ，tan 23已知tan 2，则由tan 2知cos 0，所以利用同角三角函数基本关系式求值【例1】(1)已知sin ，求cos ，tan 的值；(2)已知sin 2cos 0，求2sin cos cos2的值思路
3、点拨 (2)先由已知条件求出tan ，再将式子化成关于tan 的形式，代入求解，也可直接代入，利用平方关系化简解(1)因为sin 0，sin 1，所以是第三或第四象限角由sin2cos21得cos21sin21如果是第三象限角，那么cos 0于是cos ，从而tan 如果是第四象限角，那么cos ，tan (2)法一：由sin 2cos 0，得tan 2所以2sin cos cos21法二：由sin 2cos 0得2cos sin ，所以2sin cos cos2sin2cos2(sin2cos2)11求三角函数值的方法(1)已知sin (或cos )求tan 常用以下方式求解(2)已知tan
4、 求sin (或cos )常用以下方式求解当角的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角分区间(象限)讨论2已知角的正切求关于sin ，cos 的齐次式的方法(1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子、分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值(2)若关于sin ，cos 的二次齐次式无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan 的式子，再代入求值1已知tan 2，求sin ，cos 的值解法一：tan 20，为第二
5、或第四象限角，且sin 2cos ，又sin2cos21，由消去sin ，得(2cos )2cos21，即cos2当为第二象限角时，cos ，代入得sin ；当为第四象限角时，cos ，代入得sin 法二：tan 20，为第二或第四象限角由tan ，两边分别平方，得tan2，又sin2cos21，tan211，即cos2当为第二象限角时，cos 0，cos ，sin tan cos (2)三角函数式的化简、求值【例2】(1)化简：；(2)若角是第二象限角，化简：tan 思路点拨 (2)解(1)原式1(2)原式tan tan ，因为是第二象限角，所以sin 0，cos 0，所以原式1化简三角函数
6、式的常用方法(1)切化弦，即把非正弦、余弦函数都化成正弦、余弦函数，从而减少函数种类以便化简.(2)对含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.(3)对于化简高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或用“1”的代换，以降低函数次数，达到化简目的.提醒：在应用平方关系式求sin 或cos 时，其正负号是由角所在的象限决定，不可凭空想象.2化简：(1)；(2)解(1)原式1(2)原式cos 三角函数式的证明【例3】求证：思路点拨从左边利用“1sin2xcos2x”及平方差公式推右边便可解(sin xcos x)212sin xcos x，左边右边1在计算、化简或证明三角恒等
7、式时，常用的技巧有：减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切(如：已知tan ，求关于sin ，cos 的齐次式的问题)；“1”的代换(1sin2cos2)；多项式运算技巧的运用(如因式分解、通分、整体代换等)；条件或结论的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函数式的应用2利用同角三角函数的基本关系证明三角恒等式的方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对地变形，以消除差异(4)变更命题法，如要证明，可证adbc或证等(5)比较法，即设法证明“左边右边0”或“
8、1”3证明下列三角恒等式：(1)；(2)证明(1)左边右边左边右边，等式恒成立(2)左边右边所以原等式成立“sin cos ”同“sin cos ”间的关系探究问题1已知sin cos 的值，能求sin cos 的值吗？反之呢？提示设sin cos m，则(sin cos )2m2，即12sin cos m2，所以sin cos 反之也可以，利用(sin cos )212sin cos ，开方便可2已知sin cos 的值，如何求sin cos 或cos sin 的值？提示设sin cos t，则12sin cos t2，从而2sin cos t21，12sin cos 2t2，从而(sin
9、cos )22t2，对上式开方便可得出“sin cos ”或“cos sin ”的值【例4】已知sin cos ，且0求：(1)sin cos 的值；(2)求sin cos 的值思路点拨0,解(1)sin cos ，(sin cos )2，12sin cos ，即sin cos (2)(sin cos )212sin cos 1又0，且sin cos 0，sin 0，cos 0，sin cos 0，sin cos 1已知sin cos 求sin cos ，只需平方便可2已知sin cos 求sin cos 时需开方，此时要根据已知角的范围，确定sin cos 的正负4已知ABC中，sin Ac
10、os A，则A的值为 A(0，)，sin Acos A0，则sin Acos A0，(sin Acos A)212 sin Acos A，所以sin Acos A，解得sin A，cos A，又A，所以A1本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sin cos 与sin cos 关系的应用难点是三角函数式的化简与证明2掌握sin cos 与sin cos 之间的转换(1)(sin cos )212sin cos ；(2)(sin cos )212sin cos ；(3)(sin cos )2(sin cos )22；(4)(sin cos )2(sin cos )24sin cos 3掌握同角三角函数基本关系式的三个应用(1)利用同角三角函数的基本关系求值；(2)sin cos 与sin cos 关系的应用；(3)三角函数式的化简与证明的方法4本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin ，cos 的值时，易忽视对角所处象限的讨论，造成sin ，cos 漏解或多解的错误1若sin ，且为第四象限角，则tan 的值等于()A BC DBsin ，且为第四象限角，故cos ，tan 2已知tan ，则cos sin 等于由tan ，得解得cos sin 3若2，则tan 12，2，tan 14tan 2，即3tan 3，tan 14求证：证明右边左边，原等式成立
